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Cours : Espaces préhilbertiens réels › Fiche résumé
Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Espaces préhilbertiens réels (Prépa, 1re année)

Ce chapitre ajoute à l'algèbre linéaire une notion de longueur et d'angle droit, grâce au produit scalaire. Il permet de résoudre des problèmes d'approximation (meilleure approximation d'une fonction par un polynôme, distance d'un point à un plan, moindres carrés) par une construction géométrique unique : la projection orthogonale.

  • Produit scalaire : forme bilinéaire, symétrique, positive, définie. Espace euclidien = préhilbertien de dimension finie.
  • Exemples usuels : $\sum x_iy_i$ sur $\mathbb{R}^n$ ; $\operatorname{tr}(A^\top B)=\sum a_{ij}b_{ij}$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ; $\int_a^bfg$ sur $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$.
  • Norme : $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; $\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2$.
  • Polarisation : $\langle x,y\rangle=\frac14(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)$. Parallélogramme : $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$.
  • Cauchy-Schwarz : $|\langle x,y\rangle|\leqslant\|x\|\|y\|$, égalité ssi $(x,y)$ liée. Preuve : discriminant de $t\mapsto\|x+ty\|^2$.
  • Inégalité triangulaire : $\|x+y\|\leqslant\|x\|+\|y\|$, égalité ssi vecteurs positivement colinéaires.
  • Pythagore : $x\perp y\iff\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$ ; pour une famille orthogonale, $\|\sum x_i\|^2=\sum\|x_i\|^2$ (sans réciproque si $p\geqslant3$).
  • Famille orthogonale sans vecteur nul $\implies$ libre.
  • Dans une BON : $x=\sum\langle e_i,x\rangle e_i$, $\langle x,y\rangle=\sum x_iy_i$, $\|x\|^2=\sum x_i^2$.
  • Gram-Schmidt : $e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}$, $w_k=v_k-\sum_{i<k}\langle e_i,v_k\rangle e_i$, $e_k=\frac{w_k}{\|w_k\|}$ ; $\operatorname{Vect}(e_1..e_k)=\operatorname{Vect}(v_1..v_k)$, $\langle e_k,v_k\rangle>0$, unicité.
  • Tout espace euclidien a une BON ; toute famille orthonormée se complète en BON.
  • Orthogonal : $A^\perp$ est un sous-espace ; $A^\perp=(\operatorname{Vect}A)^\perp$ ; $A\subset B\Rightarrow B^\perp\subset A^\perp$ ; $F\cap F^\perp=\{0\}$ ; $F\subset F^{\perp\perp}$.
  • $F$ de dimension finie : $E=F\oplus F^\perp$. $E$ euclidien : $\dim F^\perp=n-\dim F$, $F^{\perp\perp}=F$.
  • Projection orthogonale : $y=p_F(x)\iff y\in F$ et $x-y\in F^\perp$ ; dans une BON de $F$ : $p_F(x)=\sum\langle e_i,x\rangle e_i$.
  • Droite : $p_D(x)=\frac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u$. Hyperplan $u^\perp$ : $p_H(x)=x-\frac{\langle u,x\rangle}{\|u\|^2}u$, $d(x,H)=\frac{|\langle u,x\rangle|}{\|u\|}$.
  • Distance : $d(x,F)=\min_{y\in F}\|x-y\|=\|x-p_F(x)\|$, atteinte uniquement en $p_F(x)$ ; $d(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2$.
  • Bessel : $\sum_{i=1}^p\langle e_i,x\rangle^2\leqslant\|x\|^2$ pour $(e_i)$ orthonormée.
  • Base quelconque $(f_j)$ de $F$ : $p_F(x)=\sum\lambda_jf_j$ avec $\sum_j\lambda_j\langle f_i,f_j\rangle=\langle f_i,x\rangle$ pour tout $i$.