Erreurs fréquentes : Limites et continuité (Prépa, 1re année)
Ce chapitre donne un sens précis à la phrase « $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ » et en tire les grands théorèmes sur les fonctions continues : valeurs intermédiaires, bornes atteintes, continuité uniforme. Ces résultats servent ensuite partout : existence de solutions d'équations, étude des suites récurrentes, dérivation, intégration.
Conclure à l'unicité de la solution de $f(x) = y$ à partir du seul théorème des valeurs intermédiaires.
Le théorème des valeurs intermédiaires donne uniquement l'existence. L'unicité se prouve à part, en général par la stricte monotonie de $f$ (théorème de la bijection).
Affirmer qu'une fonction continue sur $]0,1]$ ou sur $\mathbb{R}$ est bornée ou atteint ses bornes.
Le théorème des bornes atteintes exige un segment $[a,b]$, fermé et borné. Contre-exemples : $\frac{1}{x}$ sur $]0,1]$, $\arctan$ sur $\mathbb{R}$. Sur un intervalle quelconque, on se ramène à un segment à l'aide des limites aux bornes.
Passer à la limite dans une inégalité stricte en la conservant stricte : de $f(x) > 0$, déduire $\lim f > 0$.
Le passage à la limite ne conserve que les inégalités larges : $\frac{1}{x} > 0$ et pourtant $\frac{1}{x} \to 0$ en $+\infty$. On écrit $\lim f \geq 0$.
Écrire $\lim g$ et passer à la limite dans $f \leq g \leq h$ avant d'avoir prouvé que $g$ a une limite.
Le passage à la limite dans les inégalités suppose l'existence des limites. Pour prouver l'existence, on utilise le théorème d'encadrement, qui donne à la fois l'existence et la valeur.
Croire qu'une suite $(u_n)$ telle que $f(u_n) \to \ell$ prouve que $f$ tend vers $\ell$.
La caractérisation séquentielle porte sur toutes les suites de limite $a$. Une seule suite ne sert qu'à montrer qu'une limite n'existe pas ou à identifier sa valeur si l'on sait déjà qu'elle existe.
Conclure $\ell = f(\ell)$ pour une suite récurrente sans vérifier que la suite converge ni que $f$ est continue en $\ell$.
Il faut d'abord prouver la convergence, puis vérifier que $\ell$ appartient à l'ensemble où $f$ est continue. Sans continuité, l'égalité peut être fausse (par exemple avec la partie entière).
Prendre un $\eta$ dépendant de $x$ pour prouver la continuité uniforme, ou confondre l'ordre des quantificateurs.
Dans la continuité uniforme, $\eta$ ne dépend que de $\varepsilon$ : le « $\exists \eta$ » est placé avant « $\forall (x,y)$ ». Pour la nier, on cherche deux suites avec $x_n - y_n \to 0$ et $f(x_n) - f(y_n)$ ne tendant pas vers $0$.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction à valeurs complexes.
Le théorème utilise l'ordre de $\mathbb{R}$. $t \mapsto e^{it}$ va de $1$ à $-1$ sur $[0,\pi]$ sans jamais s'annuler. On l'applique éventuellement à la partie réelle ou imaginaire, qui sont réelles.