Limites et continuité
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 1re année.
Ce chapitre donne un sens précis à la phrase « $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ » et en tire les grands théorèmes sur les fonctions continues : valeurs intermédiaires, bornes atteintes, continuité uniforme. Ces résultats servent ensuite partout : existence de solutions d'équations, étude des suites récurrentes, dérivation, intégration.
Prérequis
- Suites réelles : définition de la convergence avec $\varepsilon$, opérations, passage à la limite dans les inégalités, théorème d'encadrement
- Suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente)
- Borne supérieure, borne inférieure, caractérisation par $\varepsilon$
- Densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$
- Valeur absolue, inégalité triangulaire, partie entière
- Fonctions usuelles et limites de référence (croissances comparées, $\frac{\sin x}{x}\to 1$ en $0$)
À la fin du chapitre, on sait
- Écrire avec quantificateurs la définition d'une limite finie ou infinie, en un point réel ou en $\pm\infty$, et l'utiliser pour prouver une limite
- Utiliser la caractérisation séquentielle pour prouver qu'une limite existe ou n'existe pas
- Manipuler les opérations sur les limites, la composition, le passage à la limite dans les inégalités, l'encadrement et le théorème de la limite monotone
- Démontrer qu'une fonction est continue, la prolonger par continuité, utiliser la continuité pour trouver la limite d'une suite récurrente
- Énoncer et démontrer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des bornes atteintes, et les appliquer
- Utiliser le théorème de la bijection pour justifier l'existence et la continuité d'une réciproque
- Distinguer continuité, continuité uniforme et caractère lipschitzien, et connaître le théorème de Heine
1.Limite d'une fonction en un point
Dans tout le chapitre, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, et $f : I \to \mathbb{R}$. Le point $a$ est un élément de $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ qui appartient à $I$ ou qui est une extrémité de $I$ (éventuellement infinie). Ce sont exactement les points en lesquels on peut s'approcher de $a$ en restant dans $I$.
Les résultats s'étendent sans changement à une fonction définie sur une réunion d'intervalles, par exemple $\mathbb{R}^*$.
Voisinage, propriété vraie au voisinage d'un point
- Si $a \in \mathbb{R}$, on appelle voisinage de $a$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $[a-\eta, a+\eta]$ avec $\eta > 0$.
- Un voisinage de $+\infty$ est une partie contenant un intervalle $[A, +\infty[$ avec $A \in \mathbb{R}$ ; un voisinage de $-\infty$ contient un intervalle $]-\infty, A]$.
On dit qu'une propriété portant sur $f$ est vraie au voisinage de $a$ s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que la propriété soit vraie pour tout $x \in V \cap I$.
Limite finie en un point réel
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ si $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\quad |x - a| \leq \eta \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon.$$ On note $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ ou $f(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.
En mots : on peut rendre $f(x)$ aussi proche de $\ell$ que l'on veut, à condition de prendre $x$ assez proche de $a$. Le réel $\eta$ dépend de $\varepsilon$.
Les autres cas de limite
- $a \in \mathbb{R}$, limite $+\infty$ : $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\ |x-a| \leq \eta \implies f(x) \geq A$.
- $a = +\infty$, limite $\ell \in \mathbb{R}$ : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ x \geq B \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$.
- $a = +\infty$, limite $+\infty$ : $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in I,\ x \geq B \implies f(x) \geq A$.
Les cas avec $-\infty$ s'écrivent de même (remplacer $f(x) \geq A$ par $f(x) \leq A$, ou $x \geq B$ par $x \leq B$).
Toutes ces définitions se résument en une seule : $f$ tend vers $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $W$ de $a$ tel que $f(W \cap I) \subset V$.
Si $f$ est définie en $a$
Si $a \in I$ et si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $\ell = f(a)$. En effet, en prenant $x = a$ dans la définition, on obtient $|f(a) - \ell| \leq \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc $f(a) = \ell$.
Ainsi la fonction $g$ définie par $g(0) = 1$ et $g(x) = 0$ pour $x \neq 0$ n'a pas de limite en $0$. En revanche, sa restriction à $\mathbb{R}^*$ tend vers $0$ en $0$. Pour parler de cette limite, on écrit $\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x \neq a}} g(x)$ : c'est la limite en $a$ de la restriction de $g$ à $I \setminus \{a\}$.
Limite à gauche, limite à droite
Soit $a \in \mathbb{R}$. On dit que $f$ admet une limite à gauche en $a$ si la restriction de $f$ à $I \cap\, ]-\infty, a[$ admet une limite en $a$. On la note $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$. On définit de même la limite à droite $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ avec $I \cap\, ]a, +\infty[$.
Pour $\ell$ réel, la limite à droite s'écrit : $\forall \varepsilon>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x \in I,\ a < x \leq a+\eta \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$.
Lien entre limite et limites latérales
Soit $a$ un point intérieur à $I$.
- Si $a \in I$ : $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ existent et valent toutes deux $f(a)$.
- Si $f$ est définie sur $I \setminus \{a\}$ : $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Unicité de la limite
Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est unique.
Unicité (cas de limites finies, $a$ réel)
Supposons que $f$ tende vers $\ell$ et vers $\ell'$ en $a$, avec $\ell \neq \ell'$. Posons $\varepsilon = \frac{|\ell - \ell'|}{3} > 0$.
Il existe $\eta_1 > 0$ tel que pour $x \in I$, $|x-a| \leq \eta_1 \implies |f(x)-\ell| \leq \varepsilon$, et $\eta_2 > 0$ tel que $|x-a| \leq \eta_2 \implies |f(x)-\ell'| \leq \varepsilon$.
Posons $\eta = \min(\eta_1, \eta_2)$. Comme $a$ est un point de $I$ ou une extrémité de $I$, il existe $x \in I$ avec $|x-a| \leq \eta$. Pour ce $x$ : $$|\ell - \ell'| \leq |\ell - f(x)| + |f(x) - \ell'| \leq 2\varepsilon = \frac{2}{3}|\ell - \ell'|,$$ ce qui est impossible puisque $|\ell-\ell'| > 0$. Donc $\ell = \ell'$.
Les cas où une limite est infinie, ou $a = \pm\infty$, se traitent de la même façon : deux voisinages disjoints de $\ell$ et $\ell'$ ne peuvent pas contenir tous deux $f(x)$.
Limite finie implique bornée au voisinage
Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$.
Preuve
Cas $a$ réel. Avec $\varepsilon = 1$, il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $x \in I \cap [a-\eta, a+\eta]$, $|f(x) - \ell| \leq 1$, donc $|f(x)| \leq |\ell| + 1$. La fonction $f$ est bornée par $|\ell|+1$ sur le voisinage $[a-\eta, a+\eta]$. Le cas $a = \pm\infty$ est identique avec $[B, +\infty[$ ou $]-\infty, B]$.
Une limite prouvée avec $\varepsilon$
Montrons que $\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$.
Pour tout réel $x$, $|x^2 - 4| = |x-2|\,|x+2|$. Si $|x - 2| \leq 1$, alors $x \in [1,3]$ donc $|x+2| \leq 5$, et $|x^2-4| \leq 5|x-2|$.
Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\eta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{5}\right) > 0$. Si $|x - 2| \leq \eta$, alors $|x-2| \leq 1$ et $|x^2 - 4| \leq 5|x-2| \leq 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon$. La définition est vérifiée.
Prouver une limite finie avec la définition
- Écrire $|f(x) - \ell|$ et le factoriser ou le transformer pour faire apparaître $|x - a|$.
- Se restreindre à un voisinage fixé de $a$ (par exemple $|x-a| \leq 1$) sur lequel les autres facteurs sont bornés : on obtient $|f(x) - \ell| \leq C\,|x-a|$ ou une majoration du même type.
- Choisir $\eta$ comme le minimum de la restriction initiale et de la valeur qui rend la majoration inférieure à $\varepsilon$.
- Rédiger dans l'ordre : « Soit $\varepsilon > 0$. Posons $\eta = \dots$ Soit $x \in I$ tel que $|x-a| \leq \eta$. Alors $\dots \leq \varepsilon$. »
En pratique, on n'utilise la définition que lorsque les opérations et les théorèmes de comparaison ne suffisent pas.
2.Caractérisation séquentielle et opérations sur les limites
Caractérisation séquentielle de la limite
Soit $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- $f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ ;
- pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $I$ qui tend vers $a$, la suite $(f(u_n))$ tend vers $\ell$.
Preuve (cas $a$ et $\ell$ réels)
(1) implique (2). Supposons $f(x) \to \ell$ quand $x \to a$ et soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ de limite $a$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\eta > 0$ tel que pour $x \in I$, $|x - a| \leq \eta \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Comme $u_n \to a$, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $|u_n - a| \leq \eta$. Alors pour $n \geq N$, $|f(u_n) - \ell| \leq \varepsilon$. Donc $f(u_n) \to \ell$.
(2) implique (1), par contraposée. Supposons que $f$ ne tende pas vers $\ell$ en $a$. La négation de la définition s'écrit : $$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists x \in I,\quad |x-a| \leq \eta \ \text{ et } \ |f(x)-\ell| > \varepsilon.$$ Fixons un tel $\varepsilon$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, en appliquant ceci avec $\eta = \frac{1}{n+1}$, on choisit $u_n \in I$ tel que $|u_n - a| \leq \frac{1}{n+1}$ et $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon$.
La suite $(u_n)$ est à valeurs dans $I$ et tend vers $a$ par encadrement. Mais $|f(u_n) - \ell| > \varepsilon$ pour tout $n$, donc $(f(u_n))$ ne tend pas vers $\ell$. L'assertion (2) est fausse.
Pour les autres cas ($a$ ou $\ell$ infini), on adapte : par exemple pour $a = +\infty$, on prend $B = n$ et on obtient $u_n \geq n$.
Montrer qu'une fonction n'a pas de limite en $a$
- Trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ d'éléments de $I$, toutes deux de limite $a$.
- Calculer les limites de $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ et constater qu'elles sont différentes (ou que l'une n'existe pas).
- Conclure : si $f$ avait une limite $\ell$ en $a$, ces deux suites tendraient toutes deux vers $\ell$ par caractérisation séquentielle, ce qui contredit l'unicité de la limite d'une suite.
Une seule suite $(u_n)$ telle que $f(u_n) \to \ell$ ne prouve jamais que $f$ tend vers $\ell$ : la caractérisation porte sur toutes les suites.
$x \mapsto \cos(1/x)$ en $0$
La fonction $f : x \mapsto \cos\left(\frac{1}{x}\right)$ est définie sur $\mathbb{R}^*$.
Posons $u_n = \frac{1}{2n\pi}$ et $v_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ pour $n \geq 1$. Ces deux suites tendent vers $0$ et sont à valeurs dans $\mathbb{R}^*$. On a $f(u_n) = \cos(2n\pi) = 1$ et $f(v_n) = \cos((2n+1)\pi) = -1$.
Les suites $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ ont des limites différentes : $f$ n'a pas de limite en $0$. De même, $\sin$ n'a pas de limite en $+\infty$ : $\sin(n\pi) = 0$ et $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1$.
Opérations sur les limites
Soit $f$ et $g$ définies sur $I$, de limites respectives $\ell$ et $\ell'$ en $a$, et $\lambda \in \mathbb{R}$.
- Si $\ell, \ell'$ sont réels : $f + g \to \ell + \ell'$, $\lambda f \to \lambda \ell$, $fg \to \ell\ell'$.
- Si de plus $\ell' \neq 0$ : $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ et $\frac{f}{g} \to \frac{\ell}{\ell'}$.
- Les règles avec des limites infinies sont les mêmes que pour les suites : $+\infty + \ell' = +\infty$ si $\ell' \neq -\infty$, $\ell \times (+\infty) = +\infty$ si $\ell > 0$, $\frac{1}{g} \to 0$ si $g \to \pm\infty$, $\frac{1}{g} \to +\infty$ si $g \to 0$ avec $g > 0$ au voisinage de $a$.
- Formes indéterminées : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.
Ces règles se démontrent directement à partir des résultats sur les suites grâce à la caractérisation séquentielle.
Composition des limites
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{R}$ avec $f(I) \subset J$. Si $f(x) \to b$ quand $x \to a$ et $g(y) \to \ell$ quand $y \to b$ (avec $a, b, \ell \in \overline{\mathbb{R}}$), alors $g(f(x)) \to \ell$ quand $x \to a$.
Preuve
Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ de limite $a$. Par caractérisation séquentielle appliquée à $f$, la suite $(f(u_n))$, à valeurs dans $J$, tend vers $b$. Par caractérisation séquentielle appliquée à $g$, la suite $(g(f(u_n)))$ tend vers $\ell$.
Ceci vaut pour toute suite $(u_n)$ de $I$ de limite $a$, donc $g \circ f$ tend vers $\ell$ en $a$, encore par caractérisation séquentielle.
Limite de $x\sin(1/x)$ en $+\infty$
Sur $[1, +\infty[$, posons $f(x) = \frac{1}{x}$, à valeurs dans $J = ]0, 1]$, et sur $J$, $g(u) = \frac{\sin u}{u}$. On a $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ et $g(u) \to 1$ quand $u \to 0$ (limite de référence). Par composition, $$x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = g(f(x)) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1.$$ Le fait de travailler sur $J = ]0,1]$, qui ne contient pas $0$, évite le problème de la valeur de $g$ en $0$.
Fonctions à valeurs complexes
Pour $f : I \to \mathbb{C}$ et $\ell \in \mathbb{C}$, on dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si $|f(x) - \ell| \to 0$, la définition étant la même avec le module. On montre que cela équivaut à : $\mathrm{Re}(f) \to \mathrm{Re}(\ell)$ et $\mathrm{Im}(f) \to \mathrm{Im}(\ell)$. Unicité, caractérisation séquentielle, opérations et caractère borné au voisinage restent vrais. Tout ce qui utilise l'ordre (section suivante) n'a pas de sens dans $\mathbb{C}$.
3.Limites et ordre
Signe au voisinage d'une limite
Si $f$ tend vers $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ en $a$ et si $m < \ell$ ($m$ réel), alors $f(x) > m$ au voisinage de $a$. En particulier, une fonction de limite strictement positive est strictement positive au voisinage de $a$.
Preuve (cas $\ell$ réel)
Posons $\varepsilon = \frac{\ell - m}{2} > 0$. Au voisinage de $a$, $|f(x) - \ell| \leq \varepsilon$, donc $f(x) \geq \ell - \varepsilon = \frac{\ell + m}{2} > m$. Si $\ell = +\infty$, on applique directement la définition avec $A = m + 1$.
Passage à la limite dans une inégalité large
Si $f \leq g$ au voisinage de $a$, et si $f$ et $g$ admettent des limites $\ell$ et $\ell'$ dans $\overline{\mathbb{R}}$ en $a$, alors $\ell \leq \ell'$.
Preuve
Il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $I$ de limite $a$ (par exemple $u_n = a$ si $a \in I$, sinon une suite construite à partir de la définition d'extrémité). Comme $u_n \to a$, les $u_n$ sont dans le voisinage où $f \leq g$ à partir d'un certain rang, donc $f(u_n) \leq g(u_n)$ pour $n$ assez grand. Par caractérisation séquentielle, $f(u_n) \to \ell$ et $g(u_n) \to \ell'$. Le passage à la limite dans les inégalités pour les suites donne $\ell \leq \ell'$.
Les inégalités strictes deviennent larges
Pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$, et pourtant $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Le passage à la limite transforme une inégalité stricte en inégalité large.
Par ailleurs, ce théorème suppose que les limites existent. Il ne sert pas à prouver leur existence : c'est le rôle des deux théorèmes suivants.
Théorème d'encadrement
Soit $f, g, h$ définies sur $I$ telles que $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$. Si $f$ et $h$ tendent vers une même limite réelle $\ell$ en $a$, alors $g$ admet une limite en $a$ et cette limite vaut $\ell$.
Preuve (cas $a$ réel)
Soit $\eta_0 > 0$ tel que $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ pour $x \in I$, $|x - a| \leq \eta_0$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\eta_1, \eta_2 > 0$ tels que $|x-a| \leq \eta_1 \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$ et $|x-a| \leq \eta_2 \implies |h(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Posons $\eta = \min(\eta_0, \eta_1, \eta_2)$. Pour $x \in I$ tel que $|x-a| \leq \eta$ : $$\ell - \varepsilon \leq f(x) \leq g(x) \leq h(x) \leq \ell + \varepsilon,$$ donc $|g(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Ainsi $g \to \ell$ en $a$.
Théorème de minoration et de majoration
Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et si $f \to +\infty$ en $a$, alors $g \to +\infty$ en $a$.
Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et si $g \to -\infty$ en $a$, alors $f \to -\infty$ en $a$.
Deux encadrements classiques
1. Pour $x \neq 0$, $\left|x \sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x|$, c'est-à-dire $-|x| \leq x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x|$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $0$, donc $\lim\limits_{\substack{x\to 0\\x\neq 0}} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$.
2. Pour $x > 0$, par définition de la partie entière, $\frac{1}{x} - 1 < \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq \frac{1}{x}$. En multipliant par $x > 0$ : $$1 - x < x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq 1.$$ Les bornes tendent vers $1$ quand $x \to 0^+$, donc $\lim\limits_{x \to 0^+} x\left\lfloor \frac{1}{x}\right\rfloor = 1$.
Théorème de la limite monotone
Soit $a < b$ dans $\overline{\mathbb{R}}$ et $f$ croissante sur $]a, b[$.
- En $b$ : si $f$ est majorée, $f$ admet en $b^-$ la limite finie $\sup\limits_{]a,b[} f$ ; sinon, $f$ tend vers $+\infty$ en $b^-$.
- En $a$ : si $f$ est minorée, $f$ admet en $a^+$ la limite finie $\inf\limits_{]a,b[} f$ ; sinon, $f$ tend vers $-\infty$ en $a^+$.
Pour $f$ décroissante, on échange les rôles (appliquer le résultat à $-f$).
Preuve (en $b$, $f$ majorée)
L'ensemble $f(]a,b[)$ est non vide et majoré : il admet une borne supérieure $M$. Soit $\varepsilon > 0$. Par caractérisation de la borne supérieure, il existe $x_0 \in ]a,b[$ tel que $M - \varepsilon < f(x_0) \leq M$.
Pour tout $x \in [x_0, b[$, la croissance de $f$ et la définition de $M$ donnent $$M - \varepsilon < f(x_0) \leq f(x) \leq M,$$ donc $|f(x) - M| \leq \varepsilon$. Si $b$ est réel, on pose $\eta = b - x_0 > 0$ : pour $x \in ]a,b[$ avec $b - \eta \leq x < b$, on a bien $x \geq x_0$. Si $b = +\infty$, on prend $B = x_0$. Dans les deux cas, $f(x) \to M$ quand $x \to b^-$.
Si $f$ n'est pas majorée : soit $A \in \mathbb{R}$, il existe $x_0$ avec $f(x_0) > A$, et pour $x \in [x_0, b[$, $f(x) \geq f(x_0) > A$. Donc $f \to +\infty$ en $b^-$.
Conséquence en un point intérieur
Si $f$ est croissante sur $I$ et si $c$ est un point intérieur à $I$, alors $f$ admet des limites finies à gauche et à droite en $c$, et $$\lim_{x \to c^-} f(x) \leq f(c) \leq \lim_{x \to c^+} f(x).$$ En effet, sur $I \cap ]-\infty, c[$, $f$ est croissante et majorée par $f(c)$ ; sur $I \cap ]c, +\infty[$, elle est minorée par $f(c)$.
Choisir l'outil pour une limite
- Si l'expression est construite à partir de fonctions de limites connues sans forme indéterminée : opérations et composition.
- En cas de forme indéterminée : factoriser le terme dominant, utiliser une quantité conjuguée, les croissances comparées ou une limite de référence.
- Si l'expression contient un terme oscillant ou une partie entière ($\sin$, $\cos$, $\lfloor \cdot \rfloor$) : encadrer, puis théorème d'encadrement ou de minoration.
- Si la fonction est monotone et que seule l'existence compte : théorème de la limite monotone.
- Pour montrer qu'il n'y a pas de limite : deux suites (caractérisation séquentielle).
4.Continuité
Continuité en un point, sur un intervalle
Soit $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet une limite en $a$ ; d'après la remarque de la première section, cette limite vaut alors $f(a)$. Avec les quantificateurs : $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\quad |x - a| \leq \eta \implies |f(x) - f(a)| \leq \varepsilon.$$ On dit que $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$. On note $\mathcal{C}(I, \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continues sur $I$ à valeurs réelles.
Continuité à gauche, à droite
$f$ est continue à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, et continue à droite en $a$ si $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. En un point intérieur de $I$, $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à gauche et à droite en $a$.
La partie entière
Soit $n \in \mathbb{Z}$. Pour $x \in [n, n+1[$, $\lfloor x \rfloor = n$, donc $\lim\limits_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n = \lfloor n \rfloor$ : la partie entière est continue à droite en $n$. Pour $x \in [n-1, n[$, $\lfloor x \rfloor = n - 1$, donc $\lim\limits_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1 \neq n$ : elle n'est pas continue à gauche en $n$.
En un réel $a \notin \mathbb{Z}$, la partie entière est constante sur un voisinage de $a$, donc continue en $a$. Conclusion : $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$, continue à droite partout, discontinue en chaque entier.
Opérations et fonctions usuelles
- Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f + g$, $\lambda f$, $fg$ sont continues en $a$, ainsi que $\frac{f}{g}$ si $g(a) \neq 0$.
- Si $f$ est continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$ (avec $f(I) \subset J$), alors $g \circ f$ est continue en $a$.
- Les fonctions polynomiales, rationnelles (sur leur ensemble de définition), $\exp$, $\ln$, les puissances, $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, la valeur absolue sont continues sur leur ensemble de définition.
Ces résultats découlent directement des opérations sur les limites et de la composition.
Prolongement par continuité
Soit $a \in I$ et $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$. Si $f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$, la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par $$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases}$$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$ ; on la note souvent encore $f$.
Prolongements
- $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, tend vers $1$ en $0$ : elle se prolonge par continuité en posant la valeur $1$ en $0$.
- $x \mapsto x \ln x$, définie sur $]0, +\infty[$, tend vers $0$ en $0^+$ (croissances comparées) : elle se prolonge en une fonction continue sur $[0, +\infty[$ valant $0$ en $0$.
- $x \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ n'a pas de limite en $0$ (même méthode que pour $\cos(1/x)$) : elle n'est prolongeable par continuité en $0$ par aucune valeur.
Caractérisation séquentielle de la continuité
$f$ est continue en $a \in I$ si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $I$ de limite $a$, la suite $(f(u_n))$ tend vers $f(a)$.
C'est la caractérisation séquentielle de la limite appliquée avec $\ell = f(a)$.
La fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$
Soit $f = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ : $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$ sinon. Soit $a \in \mathbb{R}$.
Par densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, pour tout $n \geq 1$ il existe un rationnel $u_n$ et un irrationnel $v_n$ dans $\left]a, a + \frac{1}{n}\right[$. Les deux suites tendent vers $a$, avec $f(u_n) = 1$ et $f(v_n) = 0$. Les suites $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ ont des limites différentes, donc elles ne tendent pas toutes deux vers $f(a)$ : $f$ n'est continue en aucun point.
Limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$
Si $(u_n)$ est à valeurs dans $I$, vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$, converge vers $\ell \in I$, et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$.
Justification : $(u_{n+1})$ tend vers $\ell$ comme suite extraite ; par continuité, $(f(u_n))$ tend vers $f(\ell)$. Les deux suites sont égales, donc $\ell = f(\ell)$ par unicité de la limite.
Étapes :
- Prouver la convergence (monotonie et bornes, par exemple).
- Justifier que la limite $\ell$ appartient à $I$ (souvent par passage à la limite dans un encadrement $\alpha \leq u_n \leq \beta$ avec $[\alpha, \beta] \subset I$).
- Résoudre $f(\ell) = \ell$ et éliminer les solutions incompatibles avec les bornes.
Exemple : si $u_0 = 0$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ et si l'on a établi que $(u_n)$ converge vers $\ell \geq 0$, la continuité de $x \mapsto \sqrt{2 + x}$ sur $[0, +\infty[$ donne $\ell = \sqrt{2 + \ell}$, d'où $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Comme $\ell \geq 0$, $\ell = 2$.
Continuité des fonctions à valeurs complexes
Une fonction $f : I \to \mathbb{C}$ est continue en $a$ si $|f(x) - f(a)| \to 0$ quand $x \to a$, ce qui équivaut à la continuité de $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$ en $a$. Opérations, composition, caractérisation séquentielle et prolongement se transposent sans changement. Par exemple $t \mapsto e^{it} = \cos t + i \sin t$ est continue sur $\mathbb{R}$.
5.Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue sur l'intervalle $I$, et $a, b \in I$. Pour tout réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = y$.
Preuve par dichotomie
Quitte à échanger $a$ et $b$, on suppose $a \leq b$. Posons $g = f - y$ : $g$ est continue sur $[a,b]$ et $g(a)$, $g(b)$ sont de signes opposés au sens large. Quitte à remplacer $g$ par $-g$, on suppose $g(a) \leq 0 \leq g(b)$. Il s'agit de trouver $c \in [a,b]$ tel que $g(c) = 0$.
On construit deux suites par récurrence : $a_0 = a$, $b_0 = b$, puis, en notant $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ :
- si $g(m_n) \leq 0$, $a_{n+1} = m_n$ et $b_{n+1} = b_n$ ;
- sinon, $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = m_n$.
Par récurrence immédiate, pour tout $n$ : $a \leq a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \leq b$, $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$, $g(a_n) \leq 0$ et $g(b_n) \geq 0$ (dans le second cas, $g(m_n) > 0$).
La suite $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ décroissante et $b_n - a_n \to 0$ : ces suites sont adjacentes et convergent vers une même limite $c$. Par passage à la limite dans $a \leq a_n \leq b$, on a $c \in [a,b]$.
Par continuité de $g$ en $c$ et caractérisation séquentielle, $g(a_n) \to g(c)$ et $g(b_n) \to g(c)$. Par passage à la limite dans les inégalités, $g(c) \leq 0$ et $g(c) \geq 0$. Donc $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c) = y$.
Ce que le théorème ne dit pas
Le théorème donne l'existence de $c$, pas son unicité : la fonction $\sin$ prend la valeur $0$ trois fois sur $[-\pi, \pi]$. L'unicité demande un argument supplémentaire, en général la stricte monotonie.
La démonstration fournit aussi un algorithme : après $n$ étapes, $c$ est connu à $\frac{b-a}{2^n}$ près.
Corollaire : fonction continue qui ne s'annule pas
Une fonction continue sur un intervalle qui ne s'annule pas y garde un signe constant (strict).
En effet, si elle prenait une valeur strictement positive et une valeur strictement négative, elle s'annulerait entre les deux par le théorème des valeurs intermédiaires.
Image d'un intervalle par une fonction continue
Si $f$ est continue sur l'intervalle $I$, alors $f(I)$ est un intervalle.
Preuve
On rappelle qu'une partie $J$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si : pour tous $y_1 \leq y_2$ dans $J$, tout $y \in [y_1, y_2]$ est dans $J$.
Soit $y_1 \leq y_2$ dans $f(I)$ et $y \in [y_1, y_2]$. Il existe $a, b \in I$ tels que $f(a) = y_1$ et $f(b) = y_2$. Le réel $y$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ; par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c$ entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = y$. Comme $I$ est un intervalle, $c \in I$, donc $y \in f(I)$. Ainsi $f(I)$ est un intervalle.
Polynôme de degré impair
Soit $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ un polynôme réel de degré $n$ impair, avec $a_n > 0$ (sinon on considère $-P$). Pour $x \neq 0$, $P(x) = a_n x^n \left(1 + \varepsilon(x)\right)$ avec $\varepsilon(x) \to 0$ en $\pm\infty$. Comme $n$ est impair, $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ et $x^n \to -\infty$ en $-\infty$. Donc $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et $P(x) \to -\infty$ en $-\infty$.
Il existe donc $A > 0$ tel que $P(A) > 0$ et $P(-A) < 0$. La fonction $P$ est continue sur $[-A, A]$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ s'annule sur $[-A, A]$. Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.
Point fixe sur un segment
Soit $f : [0,1] \to [0,1]$ continue. Posons $g(x) = f(x) - x$, continue sur $[0,1]$. On a $g(0) = f(0) \geq 0$ et $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ car $f$ est à valeurs dans $[0,1]$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [0,1]$ tel que $g(c) = 0$, soit $f(c) = c$ : $f$ admet un point fixe.
Prouver qu'une équation $f(x) = y$ a une solution
- Ramener l'équation à la forme $g(x) = 0$ avec $g$ continue sur un intervalle (souvent $g = f - y$ ou $g(x) = f(x) - x$).
- Trouver deux points $\alpha, \beta$ de l'intervalle où $g$ prend des valeurs de signes opposés. Si l'intervalle est ouvert ou infini, utiliser les limites de $g$ aux bornes pour obtenir de tels points.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en citant la continuité.
- Pour l'unicité, prouver que $g$ est strictement monotone (ou injective).
On peut aussi raisonner directement avec l'image : si $g$ est continue sur $I$ et que $0$ est strictement compris entre deux valeurs (ou limites) de $g$, alors $0 \in g(I)$ car $g(I)$ est un intervalle.
Théorème de la bijection
Soit $f$ continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$. Alors :
- $J = f(I)$ est un intervalle, dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$ ;
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ ;
- la bijection réciproque $f^{-1} : J \to I$ est continue, strictement monotone, de même sens de variation que $f$.
Par exemple, si $f$ est continue strictement croissante sur $[a, b[$, alors $J = \left[f(a), \lim\limits_{b^-} f\right[$ ; si elle est strictement décroissante sur $]a,b[$, alors $J = \left]\lim\limits_{b^-} f, \lim\limits_{a^+} f\right[$. Une borne de $I$ incluse donne une borne de $J$ incluse.
Preuve
On traite $f$ strictement croissante.
Bijection. $J = f(I)$ est un intervalle par le théorème précédent. $f$ est injective : si $x < x'$, alors $f(x) < f(x')$, donc $f(x) \neq f(x')$. Ainsi $f$ est une bijection de $I$ sur $J$. Les bornes de $J$ sont $\inf f$ et $\sup f$ sur $I$, qui sont les limites aux bornes par le théorème de la limite monotone.
Monotonie de $f^{-1}$. Soit $y < y'$ dans $J$, $x = f^{-1}(y)$, $x' = f^{-1}(y')$. Si l'on avait $x \geq x'$, la croissance de $f$ donnerait $y \geq y'$, ce qui est faux. Donc $x < x'$ : $f^{-1}$ est strictement croissante.
Continuité de $f^{-1}$. Posons $g = f^{-1}$ : $g$ est croissante sur $J$ et $g(J) = I$ est un intervalle. Soit $c$ un point intérieur à $J$ (les extrémités se traitent de même d'un seul côté). Par la limite monotone, $\lambda = \lim\limits_{c^-} g$ et $\mu = \lim\limits_{c^+} g$ existent et $\lambda \leq g(c) \leq \mu$. Supposons $\lambda < g(c)$. Pour $x < c$, $g(x) \leq \lambda$ ; pour $x \geq c$, $g(x) \geq g(c)$. Donc aucune valeur de $g$ n'est dans $]\lambda, g(c)[$. Or, en prenant $x_0 < c$ dans $J$, l'intervalle $I$ contient $g(x_0) \leq \lambda$ et $g(c)$, donc tout $]\lambda, g(c)[$, qui est non vide : contradiction. Donc $\lambda = g(c)$, et de même $\mu = g(c)$. La fonction $g$ est continue en $c$.
Une équation à paramètre
Soit $f(x) = x^3 + x$ sur $\mathbb{R}$. $f$ est continue, strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes), avec $f(x) \to -\infty$ en $-\infty$ et $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.
Conséquence : pour tout $y \in \mathbb{R}$, l'équation $x^3 + x = y$ admet une unique solution réelle $\varphi(y) = f^{-1}(y)$, et la fonction $\varphi$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, sans qu'on en ait de formule simple.
Continuité et injectivité
Résultat classique, à savoir redémontrer : une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone. La continuité est indispensable : la fonction valant $x$ sur $[0,1[$ et $3 - x$ sur $[1, 2]$ est injective sur $[0,2]$ sans être monotone.
Fonctions à valeurs complexes
Le théorème des valeurs intermédiaires est faux pour les fonctions à valeurs complexes. La fonction $t \mapsto e^{it}$ est continue sur $[0, \pi]$, vaut $1$ en $0$ et $-1$ en $\pi$, mais ne s'annule jamais puisque $|e^{it}| = 1$. Le théorème repose sur l'ordre de $\mathbb{R}$.
6.Image d'un segment par une fonction continue
Théorème des bornes atteintes
Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ ($a \leq b$ réels) à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes : il existe $c, d \in [a,b]$ tels que $$f(c) = \min_{[a,b]} f \quad \text{et} \quad f(d) = \max_{[a,b]} f.$$
Preuve
$f$ est majorée. Supposons le contraire. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n$ ne majore pas $f$ : il existe $x_n \in [a,b]$ tel que $f(x_n) > n$. La suite $(x_n)$ est bornée ; par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers un réel $c$, et $c \in [a,b]$ par passage à la limite dans $a \leq x_{\varphi(n)} \leq b$. Par continuité de $f$ en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$, limite finie. Or $f(x_{\varphi(n)}) > \varphi(n) \geq n$, donc $f(x_{\varphi(n)}) \to +\infty$. Contradiction.
Le maximum est atteint. Soit $M = \sup_{[a,b]} f$, réel d'après ce qui précède. Pour tout $n \geq 1$, $M - \frac{1}{n}$ ne majore pas $f$ : il existe $y_n \in [a,b]$ tel que $M - \frac{1}{n} < f(y_n) \leq M$. Par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite $(y_{\psi(n)})$ converge vers $d \in [a,b]$. Par encadrement, $f(y_{\psi(n)}) \to M$ ; par continuité, $f(y_{\psi(n)}) \to f(d)$. Par unicité de la limite, $f(d) = M$.
Le minimum. On applique ce qui précède à $-f$, continue sur $[a,b]$.
Image d'un segment
Si $f$ est continue sur le segment $[a,b]$, alors $f([a,b])$ est un segment : $f([a,b]) = [m, M]$ avec $m = \min_{[a,b]} f$ et $M = \max_{[a,b]} f$.
Preuve : $f([a,b])$ est un intervalle (image d'un intervalle par une fonction continue), il contient $m$ et $M$ (bornes atteintes) et il est contenu dans $[m, M]$. C'est donc $[m, M]$.
Les hypothèses sont toutes nécessaires
- Intervalle non fermé : $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0, 1]$ et non majorée. $x \mapsto x$ est continue et bornée sur $[0, 1[$, mais n'atteint pas sa borne supérieure $1$.
- Intervalle non borné : $x \mapsto \arctan x$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$ mais n'atteint ni $-\frac{\pi}{2}$ ni $\frac{\pi}{2}$.
- Fonction non continue : $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ sur $[0, 1]$ vaut $x$ sur $[0,1[$ et $0$ en $1$ ; sa borne supérieure $1$ n'est pas atteinte.
Avant d'écrire « $f$ admet un maximum », vérifier : continuité, segment fermé et borné.
Minorer une fonction continue strictement positive par une constante
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(x) > 0$ pour tout $x$, alors il existe $m > 0$ tel que $f \geq m$ sur $[a,b]$.
Justification : par le théorème des bornes atteintes, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \min_{[a,b]} f$. On pose $m = f(c)$ : $m > 0$ car $f(c) > 0$, et $f \geq m$.
Sur $]0, 1]$, la fonction $x \mapsto x$ est strictement positive mais n'est minorée par aucune constante strictement positive : le segment est indispensable.
Minimum global sur $\mathbb{R}$
Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}$ telle que $f(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et en $-\infty$. Montrons que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$.
Par définition des limites, il existe $A > 0$ tel que $f(x) \geq f(0)$ pour tout $x$ avec $|x| \geq A$. Sur le segment $[-A, A]$, $f$ est continue : elle y admet un minimum $m = f(c)$ avec $c \in [-A, A]$. Comme $0 \in [-A, A]$, $m \leq f(0)$.
Pour $x \in [-A, A]$, $f(x) \geq m$. Pour $|x| \geq A$, $f(x) \geq f(0) \geq m$. Donc $f(x) \geq f(c)$ pour tout réel $x$ : $f$ admet un minimum global en $c$.
Cas complexe
Si $f : [a,b] \to \mathbb{C}$ est continue, alors $|f|$ est continue à valeurs réelles : elle est bornée et atteint ses bornes. En particulier $f$ est bornée. Parler du « maximum de $f$ » n'a en revanche pas de sens dans $\mathbb{C}$.
7.Continuité uniforme, théorème de Heine, fonctions lipschitziennes
Fonction lipschitzienne
Soit $k \geq 0$. On dit que $f : I \to \mathbb{R}$ est $k$-lipschitzienne si $$\forall (x, y) \in I^2,\quad |f(x) - f(y)| \leq k\,|x - y|.$$ On dit que $f$ est lipschitzienne s'il existe un tel $k$. Géométriquement : les pentes des cordes du graphe sont toutes comprises entre $-k$ et $k$.
Exemples de fonctions lipschitziennes
- Valeur absolue. Par l'inégalité triangulaire, $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$ : elle est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
- Sinus. Par la formule $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$ et l'inégalité $|\sin u| \leq |u|$ : $$|\sin x - \sin y| \leq 2 \left|\frac{x-y}{2}\right| \cdot 1 = |x - y|.$$ Le sinus est $1$-lipschitzien sur $\mathbb{R}$.
- Carré sur un segment. Pour $x, y \in [-R, R]$, $|x^2 - y^2| = |x + y|\,|x - y| \leq 2R\,|x - y|$ : $x \mapsto x^2$ est $2R$-lipschitzienne sur $[-R, R]$.
Lien avec la dérivée
Le chapitre sur la dérivation établira l'inégalité des accroissements finis : une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée vérifie $|f'| \leq k$ est $k$-lipschitzienne. C'est en pratique le moyen le plus rapide de prouver qu'une fonction dérivable est lipschitzienne.
Continuité uniforme
On dit que $f : I \to \mathbb{R}$ est uniformément continue sur $I$ si $$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall (x, y) \in I^2,\quad |x - y| \leq \eta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.$$ Comparer avec la continuité sur $I$ : $$\forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall y \in I,\quad |x - y| \leq \eta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon.$$ Dans la continuité, $\eta$ peut dépendre de $\varepsilon$ et de $x$. Dans la continuité uniforme, un même $\eta$ convient pour tous les points de $I$ : seule la place de « $\forall x$ » change.
Lipschitzienne implique uniformément continue implique continue
Sur un intervalle $I$ : $$f \text{ lipschitzienne} \implies f \text{ uniformément continue} \implies f \text{ continue}.$$
Preuve
Première implication. Soit $f$ $k$-lipschitzienne. Si $k = 0$, $f$ est constante et le résultat est clair. Sinon, soit $\varepsilon > 0$ ; posons $\eta = \frac{\varepsilon}{k} > 0$. Pour $x, y \in I$ tels que $|x - y| \leq \eta$, on a $|f(x) - f(y)| \leq k\eta = \varepsilon$. Le réel $\eta$ ne dépend que de $\varepsilon$.
Seconde implication. Si $f$ est uniformément continue, soit $x \in I$ et $\varepsilon > 0$. Le $\eta$ fourni par la continuité uniforme convient pour tout couple, en particulier pour les couples $(x, y)$ avec $x$ fixé : c'est la définition de la continuité en $x$.
Montrer qu'une fonction n'est pas uniformément continue
Critère. Si $f$ est uniformément continue sur $I$, alors pour toutes suites $(x_n)$, $(y_n)$ d'éléments de $I$ telles que $x_n - y_n \to 0$, on a $f(x_n) - f(y_n) \to 0$.
Preuve du critère : soit $\varepsilon > 0$ et $\eta$ associé ; il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $|x_n - y_n| \leq \eta$, donc $|f(x_n) - f(y_n)| \leq \varepsilon$.
Méthode.
- Repérer où $f$ « varie de plus en plus vite » (en l'infini, au bord d'un intervalle ouvert).
- Construire deux suites $(x_n)$, $(y_n)$ de $I$ avec $x_n - y_n \to 0$.
- Montrer que $f(x_n) - f(y_n)$ ne tend pas vers $0$ ; conclure par contraposée du critère.
Deux fonctions continues non uniformément continues
1. $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$. Posons $x_n = n + \frac{1}{n}$ et $y_n = n$ pour $n \geq 1$. Alors $x_n - y_n = \frac{1}{n} \to 0$ et $$f(x_n) - f(y_n) = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} - n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2.$$ Cette différence ne tend pas vers $0$ : $f$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$, bien qu'elle soit lipschitzienne sur chaque segment $[-R, R]$.
2. $g(x) = \frac{1}{x}$ sur $]0, 1]$. Posons $x_n = \frac{1}{n}$ et $y_n = \frac{1}{n+1}$. Alors $x_n - y_n = \frac{1}{n(n+1)} \to 0$, mais $g(y_n) - g(x_n) = (n+1) - n = 1$. Donc $g$ n'est pas uniformément continue sur $]0,1]$.
La racine carrée : uniformément continue mais non lipschitzienne
Inégalité clé. Pour $x \geq y \geq 0$ : $\left(\sqrt{y} + \sqrt{x - y}\right)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x$, donc $\sqrt{y} + \sqrt{x - y} \geq \sqrt{x}$, c'est-à-dire $\sqrt{x} - \sqrt{y} \leq \sqrt{x - y}$. Par symétrie, pour tous $x, y \geq 0$ : $$\left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \leq \sqrt{|x - y|}.$$ Continuité uniforme. Soit $\varepsilon > 0$ ; posons $\eta = \varepsilon^2$. Si $|x - y| \leq \eta$, alors $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{\eta} = \varepsilon$. La racine carrée est uniformément continue sur $[0, +\infty[$.
Non lipschitzienne. Si elle était $k$-lipschitzienne, on aurait pour $x > 0$ : $\sqrt{x} = |\sqrt{x} - \sqrt{0}| \leq kx$, soit $\frac{1}{\sqrt{x}} \leq k$. Or $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$ : contradiction. Même sur le segment $[0,1]$, elle n'est pas lipschitzienne.
Théorème de Heine
Toute fonction continue sur un segment $[a, b]$ est uniformément continue sur $[a, b]$.
Preuve
Par l'absurde, supposons $f$ continue sur $[a,b]$ mais non uniformément continue. La négation de la définition s'écrit : $$\exists \varepsilon > 0,\ \forall \eta > 0,\ \exists (x, y) \in [a,b]^2,\quad |x - y| \leq \eta \ \text{ et } \ |f(x) - f(y)| > \varepsilon.$$ Fixons un tel $\varepsilon$. Pour tout $n \geq 1$, avec $\eta = \frac{1}{n}$, on choisit $x_n, y_n \in [a,b]$ tels que $|x_n - y_n| \leq \frac{1}{n}$ et $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$.
La suite $(x_n)$ est bornée : par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un réel $c$, et $c \in [a,b]$. Comme $|y_{\varphi(n)} - x_{\varphi(n)}| \leq \frac{1}{\varphi(n)} \leq \frac{1}{n}$, on a aussi $y_{\varphi(n)} \to c$.
Par continuité de $f$ en $c$, $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, donc $f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)}) \to 0$. Cela contredit $|f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})| > \varepsilon$ pour tout $n$. Donc $f$ est uniformément continue.
Bilan des implications
| Propriété sur $I$ | Implique | Réciproque |
|---|---|---|
| lipschitzienne | uniformément continue | fausse : $\sqrt{\cdot}$ sur $[0,1]$ |
| uniformément continue | continue | fausse : $x \mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$, $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0,1]$ |
| continue sur un segment | uniformément continue (Heine) | — |
Le théorème de Heine sera utilisé dans le chapitre d'intégration, pour approcher une fonction continue sur un segment par des fonctions en escalier.