Fiche résumé : Limites et continuité (Prépa, 1re année)

Ce chapitre donne un sens précis à la phrase « $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ » et en tire les grands théorèmes sur les fonctions continues : valeurs intermédiaires, bornes atteintes, continuité uniforme. Ces résultats servent ensuite partout : existence de solutions d'équations, étude des suites récurrentes, dérivation, intégration.

Limite finie en $a$ réel : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in I,\ |x - a| \leq \eta \implies |f(x) - \ell| \leq \varepsilon$. Si $a \in I$ et la limite existe, elle vaut $f(a)$.
La limite est unique. Une fonction de limite finie est bornée au voisinage de $a$.
Caractérisation séquentielle : $f \to \ell$ en $a$ si et seulement si pour toute suite $(u_n)$ de $I$ tendant vers $a$, $f(u_n) \to \ell$. Deux suites donnant deux limites différentes prouvent l'absence de limite.
Opérations et composition : mêmes règles que pour les suites ; formes indéterminées $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.
Ordre : si $\ell > m$, alors $f > m$ au voisinage de $a$. Si $f \leq g$ et les limites existent, $\lim f \leq \lim g$ (inégalité large).
Encadrement : $f \leq g \leq h$, $f, h \to \ell$ réel $\implies$ $g \to \ell$. Minoration : $f \leq g$, $f \to +\infty \implies g \to +\infty$.
Limite monotone : $f$ croissante sur $]a,b[$ a en $b^-$ la limite $\sup f$ (finie si $f$ majorée, $+\infty$ sinon), en $a^+$ la limite $\inf f$.
Continuité en $a$ : $f(x) \to f(a)$. Équivaut à : $u_n \to a \implies f(u_n) \to f(a)$. Prolongement par continuité si limite finie en un point où $f$ n'est pas définie.
Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ convergente vers $\ell$, $f$ continue en $\ell$ $\implies$ $f(\ell) = \ell$.
TVI : $f$ continue sur un intervalle, $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\implies$ $\exists c$ entre $a$ et $b$, $f(c) = y$. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Bijection : $f$ continue strictement monotone sur $I$ $\implies$ bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$ (bornes = limites aux bornes), réciproque continue de même monotonie.
Bornes atteintes : $f$ continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint son minimum et son maximum ; $f([a,b]) = [m, M]$.
$k$-lipschitzienne : $|f(x) - f(y)| \leq k|x - y|$. Uniformément continue : $\forall \varepsilon,\ \exists \eta,\ \forall x, y,\ |x - y| \leq \eta \implies |f(x) - f(y)| \leq \varepsilon$.
Lipschitzienne $\implies$ uniformément continue $\implies$ continue ; réciproques fausses ($\sqrt{\cdot}$ sur $[0,1]$ ; $x^2$ sur $\mathbb{R}$).
Heine : continue sur un segment $\implies$ uniformément continue.
Non-continuité uniforme : trouver $x_n - y_n \to 0$ avec $f(x_n) - f(y_n) \not\to 0$.
Preuves à savoir refaire : caractérisation séquentielle, limite monotone, TVI par dichotomie, bornes atteintes et Heine par Bolzano-Weierstrass.