QCM : Limites et continuité (Prépa, 1re année)
Ce chapitre donne un sens précis à la phrase « $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ » et en tire les grands théorèmes sur les fonctions continues : valeurs intermédiaires, bornes atteintes, continuité uniforme. Ces résultats servent ensuite partout : existence de solutions d'équations, étude des suites récurrentes, dérivation, intégration.
Parmi les assertions suivantes, laquelle traduit le fait que $f : I \to \mathbb{R}$ est uniformément continue sur $I$ ?
Dans la continuité uniforme, $\eta$ ne dépend que de $\varepsilon$ : « $\exists \eta$ » vient avant « $\forall (x,y)$ ». La première assertion est la continuité simple ($\eta$ dépend de $x$), piège principal. La deuxième, avec $\eta$ placé avant $\varepsilon$, force $f$ à être constante sur les segments de longueur $\eta$, donc constante. La quatrième est toujours vraie : pour $x \neq y$, il suffit de prendre $\eta < |x-y|$.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ telle que $f\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$ quand $n \to +\infty$. Que peut-on affirmer avec certitude ?
Si $f$ tend vers $\ell$ en $0$, la caractérisation séquentielle appliquée à la suite $\left(\frac{1}{n}\right)$ donne $f\left(\frac{1}{n}\right) \to \ell$, donc $\ell = 0$ par unicité. En revanche, une seule suite ne prouve pas l'existence de la limite : la caractérisation porte sur toutes les suites. Contre-exemple aux trois autres choix : $f(x) = \frac{1}{x}\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ vérifie $f\left(\frac{1}{n}\right) = n \sin(n\pi) = 0$, mais n'a pas de limite en $0$ et n'y est pas bornée (prendre $x = \frac{2}{4n+1}$).
Que vaut $\lim\limits_{x \to 0^+} x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor$ ?
Pour $x > 0$, $\frac{1}{x} - 1 < \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq \frac{1}{x}$ ; en multipliant par $x > 0$ : $1 - x < x\left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \leq 1$. Par encadrement, la limite vaut $1$. Le piège « $0$ » vient de « $x \to 0$ donc le produit tend vers $0$ », en oubliant que l'autre facteur tend vers $+\infty$ (forme $0 \times \infty$). La discontinuité de la partie entière n'empêche pas l'existence de la limite.
Soit $f$ continue sur $]0, 1]$ et telle que $f(x) > 0$ pour tout $x \in ]0,1]$. Quelle assertion est toujours vraie ?
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). Les trois autres choix appliquent à tort le théorème des bornes atteintes, qui exige un segment fermé et borné : $x \mapsto \frac{1}{x}$ n'est pas bornée sur $]0,1]$, et $x \mapsto x$ n'atteint pas sa borne inférieure $0$ et n'est minorée par aucune constante $m > 0$.
Soit $g$ continue sur $[0, 2]$ avec $g(0) = 1$ et $g(2) = 3$. Quelle assertion est toujours vraie ?
Comme $2$ est compris entre $g(0) = 1$ et $g(2) = 3$ et que $g$ est continue sur l'intervalle $[0,2]$, le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'un $c \in [0,2]$ tel que $g(c) = 2$. Le théorème ne donne pas l'unicité (piège principal) : il faudrait la stricte monotonie, qui n'est pas supposée. L'image contient $[1,3]$ mais peut être plus grande, par exemple si $g$ monte jusqu'à $5$ avant de redescendre à $3$.
Laquelle de ces fonctions est uniformément continue sur l'intervalle indiqué ?
Pour $x, y \geq 0$, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq \sqrt{|x-y|}$ : avec $\eta = \varepsilon^2$, on obtient la continuité uniforme sur $[0, +\infty[$, intervalle pourtant non borné. Les trois autres sont continues mais pas uniformément continues : $x_n = n + \frac{1}{n}$, $y_n = n$ donne $x_n^2 - y_n^2 \geq 2$ ; $x_n = \frac{1}{n}$, $y_n = \frac{1}{n+1}$ donne un écart $1$ pour $\frac{1}{x}$ ; $x_n = e^{-n}$, $y_n = e^{-n-1}$ donne un écart $1$ pour $\ln$. Le théorème de Heine ne s'applique pas à ces trois cas, faute de segment.
Que peut-on dire de $x \mapsto \sqrt{x}$ sur le segment $[0, 1]$ ?
Par le théorème de Heine, elle est uniformément continue sur le segment $[0,1]$. Elle n'est pas lipschitzienne : $|\sqrt{x} - \sqrt{0}| \leq kx$ imposerait $\frac{1}{\sqrt{x}} \leq k$ pour tout $x \in ]0,1]$, ce qui est faux quand $x \to 0^+$. Le piège « $\frac{1}{2}$-lipschitzienne » vient de la dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ évaluée en $1$, alors qu'elle n'est pas bornée près de $0$. Le choix « non uniformément continue » oublie le théorème de Heine.
Soit $f(x) = x^3 + x$ sur $[0, 1[$. Quel est l'intervalle $f([0,1[)$ ?
$f$ est continue et strictement croissante sur $[0,1[$, avec $f(0) = 0$ et $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 2$. Par le théorème de la bijection, $f([0,1[) = [f(0), \lim_{1^-} f[ = [0, 2[$ : la borne $0$ de l'intervalle de départ est incluse, donc $0$ est incluse ; la borne $1$ est exclue, donc $2$ n'est pas atteinte. Les pièges consistent à fermer l'intervalle en $2$ (comme si $f(1)$ était pris) ou à recopier l'intervalle de départ.
Soit $f$ croissante sur $]0, 1[$ telle que $f(x) \leq 5$ pour tout $x \in ]0,1[$. Quelle assertion est toujours vraie ?
Par le théorème de la limite monotone, une fonction croissante et majorée sur $]0,1[$ admet en $1^-$ la limite finie $\sup_{]0,1[} f$, qui est inférieure ou égale à tout majorant, donc à $5$. Le majorant $5$ n'est pas forcément le plus petit : $f = 0$ tend vers $0$. L'inégalité stricte est fausse aussi : $f(x) = 5x$ tend vers $5$. Une fonction croissante peut être discontinue, comme la partie entière.
Quelle est la négation de « $f$ tend vers $\ell$ en $a$ », pour $a$ et $\ell$ réels ?
On échange chaque quantificateur ($\forall \leftrightarrow \exists$) et on nie l'implication : la négation de « $P \implies Q$ » est « $P$ et non $Q$ ». C'est exactement la formule utilisée pour construire la suite $(u_n)$ dans la preuve de la caractérisation séquentielle. Le piège principal consiste à garder l'implication et à nier seulement la conclusion (deuxième choix) : on obtient une assertion beaucoup trop forte. Les deux autres choix oublient de changer certains quantificateurs.