Erreurs fréquentes : Matrices (Prépa, 1re année)
Les matrices traduisent en tableaux de nombres les applications linéaires entre espaces de dimension finie : composer devient multiplier, inverser une application revient à inverser une matrice. Ce chapitre fournit les outils de calcul concrets (produit, inverse, rang, pivot de Gauss, trace) qui servent dans toute l'algèbre linéaire et dans la résolution des systèmes.
Écrire $(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$ ou $(AB)^\top=A^\top B^\top$.
L'ordre s'inverse : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ et $(AB)^\top=B^\top A^\top$. On le vérifie en calculant $(AB)(B^{-1}A^{-1})=I_n$.
Développer $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ ou appliquer le binôme sans vérifier la commutation.
En général $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$. La formule du binôme n'est valable que si $AB=BA$ ; c'est le cas avec $A=\lambda I_n$.
Conclure de $AB=0$ que $A=0$ ou $B=0$, ou de $AB=AC$ que $B=C$.
$\mathcal M_n(\mathbb K)$ n'est pas intègre : $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=0$. On ne simplifie par $A$ que si $A$ est inversible.
Ranger les images des vecteurs de base en lignes, ou se tromper de sens dans la formule $X=PX'$.
Les coordonnées de $u(e_j)$ forment la colonne $j$. La matrice de passage $P_{\mathcal B,\mathcal B'}$ a pour colonnes les vecteurs de $\mathcal B'$ écrits dans $\mathcal B$, et $X=PX'$ donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles.
Écrire $A'=PAP^{-1}$ au lieu de $A'=P^{-1}AP$.
Revenir à la composition $\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(u)=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal B'}(\mathrm{id})\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(\mathrm{id})=P^{-1}AP$ : à droite, $P$ transforme les nouvelles coordonnées en anciennes.
Penser que deux matrices de même rang, ou de même trace, sont semblables.
Même rang équivaut à équivalentes, pas à semblables. $I_2$ et $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ont même rang et même trace sans être semblables. Rang et trace servent seulement à prouver qu'il n'y a pas similitude.
Mélanger opérations sur les lignes et sur les colonnes pendant la résolution d'un système ou l'inversion par Gauss-Jordan.
Pour un système ou une inversion, uniquement des opérations sur les lignes. Les opérations sur les colonnes sont permises pour calculer un rang, car le rang est conservé dans les deux cas.
Diviser par un pivot dépendant d'un paramètre sans discuter son annulation.
Avant d'utiliser un pivot comme $m-1$, traiter séparément le cas $m=1$. Une discussion complète liste tous les cas où un pivot s'annule.