Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Matrices (Prépa, 1re année)

Les matrices traduisent en tableaux de nombres les applications linéaires entre espaces de dimension finie : composer devient multiplier, inverser une application revient à inverser une matrice. Ce chapitre fournit les outils de calcul concrets (produit, inverse, rang, pivot de Gauss, trace) qui servent dans toute l'algèbre linéaire et dans la résolution des systèmes.

Produit : pour $A\in\mathcal M_{n,p}$, $B\in\mathcal M_{p,q}$, $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}$. Associatif, bilinéaire, non commutatif, non intègre.
$E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}$ ; $\dim\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)=np$.
$(AB)^\top=B^\top A^\top$, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, $(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top$.
Binôme : $(A+B)^m=\sum_k\binom mkA^kB^{m-k}$ si $AB=BA$.
$\dim\mathcal S_n=\frac{n(n+1)}2$, $\dim\mathcal A_n=\frac{n(n-1)}2$, $\mathcal M_n=\mathcal S_n\oplus\mathcal A_n$.
$2\times2$ : $A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ si $ad-bc\neq0$.
Triangulaire inversible $\iff$ coefficients diagonaux non nuls ; inverse triangulaire de même type.
Pour $A$ carrée : inversible $\iff$ $AB=I_n$ pour un $B$ $\iff$ $BA=I_n$ pour un $B$ $\iff$ $\operatorname{Ker}A=\{0\}$ $\iff$ $\operatorname{rg}A=n$.
$\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal C}(u)$ : colonne $j$ = coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal C$. $Y=AX$. $\operatorname{Mat}(v\circ u)=\operatorname{Mat}(v)\operatorname{Mat}(u)$. $\dim\mathcal L(E,F)=\dim E\dim F$.
$u$ isomorphisme $\iff$ sa matrice est inversible, et $\operatorname{Mat}(u^{-1})=\operatorname{Mat}(u)^{-1}$.
Passage : $P=P_{\mathcal B,\mathcal B'}=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(\mathcal B')$, $X=PX'$, $A'=Q^{-1}AP$ ; endomorphisme : $A'=P^{-1}AP$.
Équivalentes : $A'=Q^{-1}AP$ ; semblables : $A'=P^{-1}AP$. Semblables $\Rightarrow$ équivalentes, réciproque fausse.
Rang : $\operatorname{rg}A=\dim\operatorname{Im}A$ = rang des colonnes = rang des lignes ; $\operatorname{rg}(QAP)=\operatorname{rg}A$ pour $P,Q$ inversibles.
$\operatorname{rg}A=r\iff A$ équivalente à $J_r$. Même taille : équivalentes $\iff$ même rang.
$\operatorname{rg}A$ = taille maximale d'une matrice carrée inversible extraite.
Système $AX=B$ : $\mathcal S=\emptyset$ ou $X_0+\operatorname{Ker}A$, de dimension $p-\operatorname{rg}A$. Cramer : $X=A^{-1}B$.
Opérations sur les lignes = multiplication à gauche par une matrice inversible ; elles conservent rang et solutions. Rang = nombre de pivots.
Gauss-Jordan : $(A\mid I_n)\to(I_n\mid A^{-1})$ par opérations sur les lignes.
Trace : linéaire, $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$, invariante par similitude, $\operatorname{tr}p=\operatorname{rg}p$ pour un projecteur. Pas de $A,B$ avec $AB-BA=I_n$.