QCM : Matrices (Prépa, 1re année)
Les matrices traduisent en tableaux de nombres les applications linéaires entre espaces de dimension finie : composer devient multiplier, inverser une application revient à inverser une matrice. Ce chapitre fournit les outils de calcul concrets (produit, inverse, rang, pivot de Gauss, trace) qui servent dans toute l'algèbre linéaire et dans la résolution des systèmes.
Soit $A\in\mathcal M_{2,3}(\mathbb R)$ et $B\in\mathcal M_{3,4}(\mathbb R)$. Que peut-on dire des produits $AB$ et $BA$ ?
$AB$ existe car $A$ a $3$ colonnes et $B$ a $3$ lignes ; le résultat a le nombre de lignes de $A$ et le nombre de colonnes de $B$ : $2\times4$. Pour $BA$, $B$ a $4$ colonnes et $A$ a $2$ lignes : le produit n'est pas défini. Le piège est de croire que les deux produits existent toujours, ou de combiner les tailles dans le mauvais ordre.
Soit $A,B\in GL_n(\mathbb K)$. Quelle est l'inverse de $AB$ ?
On vérifie $(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I_n$, et de même dans l'autre sens. L'erreur classique $A^{-1}B^{-1}$ vient de l'oubli de la non-commutativité : l'ordre des facteurs s'inverse. $(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$ n'est égal à $(AB)^{-1}$ que si $A$ et $B$ commutent. Quant à $\frac1{AB}$, cette écriture n'a pas de sens pour une matrice.
On note $D:\mathbb R_2[X]\to\mathbb R_2[X]$, $P\mapsto P'$. Quelle est la matrice de $D$ dans la base $(1,X,X^2)$ ?
$D(1)=0$, $D(X)=1$, $D(X^2)=2X$. Les coordonnées de ces images forment les colonnes : $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,2,0)$. Le premier choix range les images en lignes (matrice transposée), erreur très fréquente. Le deuxième place le coefficient $2$ sur la ligne de $1$ au lieu de celle de $X$. Le troisième confond la dérivée avec $P\mapsto XP'$ décalée.
Soit $u\in\mathcal L(E)$, $\mathcal B,\mathcal B'$ deux bases de $E$, $P=P_{\mathcal B,\mathcal B'}$, $A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)$ et $A'=\operatorname{Mat}_{\mathcal B'}(u)$. Quelle relation est vraie ?
On écrit $u=\mathrm{id}\circ u\circ\mathrm{id}$ avec les bases $\mathcal B'\to\mathcal B\to\mathcal B\to\mathcal B'$ : $A'=\operatorname{Mat}_{\mathcal B,\mathcal B'}(\mathrm{id})\,A\,\operatorname{Mat}_{\mathcal B',\mathcal B}(\mathrm{id})=P^{-1}AP$. À droite, $P$ convertit les nouvelles coordonnées en anciennes. Le piège principal est d'inverser les rôles et d'écrire $PAP^{-1}$. La transposée ne coïncide avec l'inverse que pour des matrices particulières.
Quel est le rang de $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&10\end{pmatrix}$ ?
La colonne $C_2$ vaut $2C_1$, donc $\operatorname{rg}A\le2$. Les lignes $L_1=(1,2,3)$ et $L_3=(3,6,10)$ ne sont pas colinéaires ($3\times3\neq10$), donc $\operatorname{rg}A\ge2$. Ainsi $\operatorname{rg}A=2$. Répondre $1$ vient de la remarque $L_2=2L_1$ généralisée à tort à $L_3$ ; répondre $3$ vient de l'oubli de la relation entre colonnes. Des relations évidentes suffisent ici, sans échelonnement.
On considère $I_2$ et $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. Quelle affirmation est exacte ?
Les deux matrices sont de rang $2$, donc équivalentes. Toute matrice semblable à $I_2$ vaut $P^{-1}I_2P=I_2$, et $T\neq I_2$ : elles ne sont pas semblables. Le piège est de conclure à la similitude parce que rang et trace coïncident : ces invariants permettent seulement de prouver qu'il n'y a pas similitude. La dernière réponse est impossible, car semblables entraîne équivalentes.
Soit $A,B,C\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Quelle égalité est vraie en général ?
En appliquant $\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM)$ avec $M=AB$ et $N=C$, on obtient $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(CAB)$ : la permutation circulaire est permise. L'échange de deux facteurs seulement ($BAC$) ne l'est pas. La trace n'est pas multiplicative : avec $A=B=I_2$, $\operatorname{tr}(AB)=2$ alors que $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B=4$, ce qui exclut aussi $\operatorname{tr}(A^2)=(\operatorname{tr}A)^2$.
Un système $AX=B$ de $3$ équations à $3$ inconnues réelles a une matrice $A$ de rang $2$ et admet au moins une solution. Son ensemble de solutions est :
Le système étant compatible, $\mathcal S=X_0+\operatorname{Ker}A$, de dimension $p-\operatorname{rg}A=3-2=1$ : c'est une droite affine. Le singleton correspondrait au rang $3$ (système de Cramer). Le plan affine vient d'une confusion entre le rang et la dimension du noyau. Enfin, la non-inversibilité de $A$ n'empêche pas l'existence de solutions : elle empêche seulement l'unicité, et l'énoncé suppose le système compatible.
Soit $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$. Pour tout $n\in\mathbb N$, $A^n$ vaut :
On écrit $A=I_2+N$ avec $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $N^2=0$, et $I_2$ commute avec $N$. Le binôme donne $A^n=I_2+nN=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. Le premier choix vient de l'élévation coefficient par coefficient ($1^n=1$), qui n'est pas le produit matriciel. Le dernier confond $A^n$ et $nA$. Le choix avec $2^{n-1}$ provient d'une récurrence mal menée.
Quelle est l'inverse de $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ ?
$ad-bc=2\times3-1\times5=1\neq0$, donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$. Vérification : $\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Les pièges : oublier les signes moins sur l'antidiagonale, oublier d'échanger les coefficients diagonaux, ou inverser chaque coefficient, ce qui n'a aucun rapport avec l'inverse matriciel.