Nombres complexes
Ce chapitre fait partie du programme de Prépa, 1re année.
Les nombres complexes donnent à toute équation polynomiale du second degré des solutions et transforment la trigonométrie en calcul algébrique sur des exponentielles. Ils fournissent aussi un langage efficace pour la géométrie plane : distances, angles, rotations et similitudes s'y écrivent en une ligne.
Prérequis
- Trigonométrie : cercle trigonométrique, valeurs remarquables, formules d'addition et de duplication de $\cos$ et $\sin$
- Équations du second degré à coefficients réels, discriminant
- Sommes géométriques : $\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\neq 1$
- Formule du binôme de Newton
- Fonction exponentielle réelle et logarithme népérien
À la fin du chapitre, on sait
- Calculer avec la forme algébrique : produits, quotients, conjugués, modules
- Démontrer et utiliser l'inégalité triangulaire avec son cas d'égalité
- Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et réciproquement
- Utiliser les formules d'Euler et de Moivre pour linéariser, factoriser et calculer des sommes trigonométriques
- Résoudre $e^z=a$, déterminer les racines $n$-ièmes d'un complexe et les racines de l'unité
- Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes
- Traduire en complexes alignement, orthogonalité et reconnaître une similitude directe $z\mapsto az+b$
1.Forme algébrique et conjugué
Forme algébrique
On admet l'existence d'un ensemble $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$, muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$ et ont les mêmes règles de calcul, et d'un élément $i$ vérifiant $i^2=-1$.
Tout $z\in\mathbb{C}$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. On note $a=\mathrm{Re}(z)$ (partie réelle) et $b=\mathrm{Im}(z)$ (partie imaginaire). Ce sont deux réels.
On dit que $z$ est imaginaire pur si $\mathrm{Re}(z)=0$ ; on note $i\mathbb{R}$ l'ensemble des imaginaires purs.
Identification
Pour $a,b,a',b'$ réels : $$a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'.$$ En particulier $a+ib=0\iff a=b=0$. L'hypothèse « réels » est indispensable : $1+i\cdot i=0$ alors que $1\neq 0$.
Structure et inverse
$(\mathbb{C},+,\times)$ est un corps commutatif. Si $z=a+ib\neq 0$, alors $a^2+b^2>0$ et $$\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$ En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$. Un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Conjugué
Le conjugué de $z=a+ib$ ($a,b$ réels) est $\overline{z}=a-ib$. Géométriquement, le point d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses.
Règles de calcul sur le conjugué
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$, $\quad\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$, $\quad\overline{\overline{z}}=z$ ;
- si $z'\neq 0$ : $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ ; pour $n\in\mathbb{N}$, $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$ ;
- $\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ et $\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$ ;
- $z\in\mathbb{R}\iff \overline{z}=z$ et $z\in i\mathbb{R}\iff\overline{z}=-z$.
Conjugué d'un produit
Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$. On a $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$, donc $\overline{zz'}=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Par ailleurs $\overline{z}\,\overline{z'}=(a-ib)(a'-ib')=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Les deux expressions coïncident.
Pour le quotient : $z=\dfrac{z}{z'}\cdot z'$ donne $\overline{z}=\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}\,\overline{z'}$, et $\overline{z'}\neq 0$ car $z'\neq 0$.
Mettre un quotient sous forme algébrique
Pour écrire $\dfrac{z}{w}$ sous la forme $a+ib$ :
- multiplier numérateur et dénominateur par $\overline{w}$ ;
- le dénominateur devient $w\overline{w}=\mathrm{Re}(w)^2+\mathrm{Im}(w)^2$, réel strictement positif ;
- développer le numérateur et séparer parties réelle et imaginaire.
Calculs en forme algébrique
- $(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2=5-5i$.
- $\dfrac{1}{3+4i}=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3-4i}{25}=\dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i$.
- $\dfrac{1+2i}{2-i}=\dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i+4i+2i^2}{5}=\dfrac{5i}{5}=i$.
2.Module et inégalité triangulaire
Module
Le module de $z=a+ib$ ($a,b$ réels) est le réel positif $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$ On a la relation fondamentale $z\overline{z}=|z|^2$. Si $z$ est réel, $|z|$ est sa valeur absolue : la notation est cohérente.
Propriétés du module
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :
- $|z|=0\iff z=0$ ; $\quad|\overline{z}|=|z|$ ; $\quad|-z|=|z|$ ;
- $|zz'|=|z|\,|z'|$ ; si $z'\neq 0$, $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ; $|z^n|=|z|^n$ ;
- $|\mathrm{Re}(z)|\leqslant|z|$ et $|\mathrm{Im}(z)|\leqslant |z|$, avec $|\mathrm{Re}(z)|=|z|\iff z\in\mathbb{R}$ ;
- si $z\neq 0$ : $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$.
Module d'un produit et majoration de la partie réelle
$|zz'|^2=zz'\,\overline{zz'}=z\overline{z}\,z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2$. Les deux membres $|zz'|$ et $|z||z'|$ étant positifs, ils sont égaux.
Avec $z=a+ib$ : $|z|^2=a^2+b^2\geqslant a^2$, donc $|z|\geqslant |a|$, avec égalité si et seulement si $b=0$.
Inégalité triangulaire
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $$|z+z'|\leqslant |z|+|z'|.$$ Cas d'égalité : $|z+z'|=|z|+|z'|$ si et seulement si $z'=0$ ou il existe un réel $\lambda\geqslant 0$ tel que $z=\lambda z'$ (les vecteurs associés sont colinéaires et de même sens).
Preuve de l'inégalité triangulaire
Les deux membres sont positifs, il suffit de comparer leurs carrés. $$|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+z\overline{z'}+\overline{z}z'+|z'|^2=|z|^2+2\,\mathrm{Re}(z\overline{z'})+|z'|^2,$$ car $\overline{z}z'=\overline{z\overline{z'}}$. Or $\mathrm{Re}(z\overline{z'})\leqslant |z\overline{z'}|=|z||z'|$. D'où $|z+z'|^2\leqslant(|z|+|z'|)^2$, puis l'inégalité.
Cas d'égalité : il y a égalité si et seulement si $\mathrm{Re}(w)=|w|$ avec $w=z\overline{z'}$, c'est-à-dire si et seulement si $w\in\mathbb{R}_+$.
- Si $z'=0$, l'égalité est vraie.
- Si $z'\neq 0$ et $z\overline{z'}=\mu\geqslant 0$, alors $z=\dfrac{\mu}{\overline{z'}}=\dfrac{\mu}{|z'|^2}z'$ ; on pose $\lambda=\dfrac{\mu}{|z'|^2}\geqslant 0$.
- Réciproquement, si $z=\lambda z'$ avec $\lambda\geqslant 0$, alors $z\overline{z'}=\lambda|z'|^2\in\mathbb{R}_+$.
Seconde inégalité triangulaire
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $$\big||z|-|z'|\big|\leqslant|z-z'|\leqslant |z|+|z'|.$$ Preuve : $|z|=|(z-z')+z'|\leqslant|z-z'|+|z'|$ donne $|z|-|z'|\leqslant|z-z'|$ ; en échangeant les rôles, $|z'|-|z|\leqslant|z-z'|$. La majoration de droite est l'inégalité triangulaire appliquée à $z$ et $-z'$.
Lecture géométrique
Si $A$ et $B$ ont pour affixes $a$ et $b$, alors $AB=|b-a|$. L'ensemble $\{z\in\mathbb{C}:|z-a|\leqslant r\}$ est le disque fermé de centre $A$ et de rayon $r$ ; $\{z:|z-a|=r\}$ est le cercle correspondant. L'inégalité triangulaire exprime $AC\leqslant AB+BC$.
Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
Pour montrer que $Z$ est réel (resp. imaginaire pur), deux voies :
- calculer la forme algébrique de $Z$ et vérifier que $\mathrm{Im}(Z)=0$ (resp. $\mathrm{Re}(Z)=0$) ;
- calculer $\overline{Z}$ avec les règles de conjugaison et montrer que $\overline{Z}=Z$ (resp. $\overline{Z}=-Z$).
La seconde voie est souvent plus rapide, notamment quand $|z|=1$, car alors $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$.
Un quotient imaginaire pur
Soit $z$ tel que $|z|=1$ et $z\neq 1$. On pose $Z=\dfrac{1+z}{1-z}$. Comme $z\overline{z}=1$, on a $\overline{z}=\dfrac1z$, donc $$\overline{Z}=\frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}=\frac{1+\frac{1}{z}}{1-\frac{1}{z}}=\frac{z+1}{z-1}=-Z.$$ Donc $Z\in i\mathbb{R}$.
3.Groupe U, exponentielle d'un imaginaire pur, formules d'Euler et de Moivre
Le groupe U
On note $\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$. Les points d'affixe dans $\mathbb{U}$ forment le cercle trigonométrique. Pour $z\in\mathbb{U}$, $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$.
U est un sous-groupe de C*
$\mathbb{U}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $(\mathbb{C}^*,\times)$.
Preuve
- $\mathbb{U}\subset\mathbb{C}^*$ car $0\notin\mathbb{U}$, et $1\in\mathbb{U}$.
- Si $z,z'\in\mathbb{U}$ : $|zz'|=|z||z'|=1$, donc $zz'\in\mathbb{U}$.
- Si $z\in\mathbb{U}$ : $\left|\dfrac1z\right|=\dfrac{1}{|z|}=1$, donc $\dfrac1z\in\mathbb{U}$.
Exponentielle d'un imaginaire pur
Pour $\theta\in\mathbb{R}$, on pose $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$ Valeurs à connaître : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi/2}=i$, $e^{i\pi}=-1$, $e^{i\pi/3}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$, $e^{i\pi/4}=\dfrac{\sqrt2}{2}(1+i)$.
Propriétés de θ ↦ exp(iθ)
Pour tous réels $\theta,\theta'$ :
- $e^{i\theta}\in\mathbb{U}$, et tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{i\theta}$ pour un certain réel $\theta$ ;
- $e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta}e^{i\theta'}$ ;
- $\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\dfrac{1}{e^{i\theta}}$ ;
- $e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff \theta\equiv\theta'\ [2\pi]$, c'est-à-dire $\theta-\theta'\in 2\pi\mathbb{Z}$.
Autrement dit, $\theta\mapsto e^{i\theta}$ est un morphisme surjectif du groupe $(\mathbb{R},+)$ sur $(\mathbb{U},\times)$, de noyau $2\pi\mathbb{Z}$.
Preuve
- $|e^{i\theta}|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Si $z=a+ib\in\mathbb{U}$, alors $a^2+b^2=1$, donc le point $(a,b)$ est sur le cercle trigonométrique : il existe $\theta$ tel que $a=\cos\theta$ et $b=\sin\theta$.
- $e^{i\theta}e^{i\theta'}=(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')$ par les formules d'addition.
- $\overline{e^{i\theta}}=\cos\theta-i\sin\theta=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=e^{-i\theta}$, et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{i0}=1$.
- $e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff e^{i(\theta-\theta')}=1\iff\cos(\theta-\theta')=1$ et $\sin(\theta-\theta')=0\iff \theta-\theta'\in2\pi\mathbb{Z}$.
Formules d'Euler et de Moivre
Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{Z}$ : $$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\qquad\text{(Euler)}$$ $$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta),\ \text{c'est-à-dire}\ \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\qquad\text{(Moivre)}$$
Preuve
Euler. $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\overline{e^{i\theta}}$. On applique $\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline z}{2}$ et $\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2i}$ à $z=e^{i\theta}$.
Moivre. Pour $n\in\mathbb{N}$, par récurrence : $(e^{i\theta})^0=1=e^{i0}$, et si $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$, alors $(e^{i\theta})^{n+1}=e^{in\theta}e^{i\theta}=e^{i(n+1)\theta}$. Pour $n=-m$ avec $m\in\mathbb{N}$ : $(e^{i\theta})^{-m}=\dfrac{1}{e^{im\theta}}=e^{-im\theta}=e^{in\theta}$.
Linéariser cos^p x sin^q x
Linéariser, c'est écrire $\cos^p x\sin^q x$ comme combinaison linéaire de $\cos(kx)$ et $\sin(kx)$ (utile pour intégrer).
- Remplacer $\cos x$ et $\sin x$ par les formules d'Euler.
- Développer avec le binôme de Newton (sans oublier les facteurs $\dfrac{1}{2^p}$ et $\dfrac{1}{(2i)^q}$).
- Regrouper les termes conjugués $e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$, puis réutiliser Euler dans l'autre sens : $e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos(kx)$ et $e^{ikx}-e^{-ikx}=2i\sin(kx)$.
Linéarisation de cos³x
$$\cos^3x=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3=\frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{8}=\frac{2\cos(3x)+6\cos x}{8}.$$ Donc $\cos^3x=\dfrac{\cos(3x)+3\cos x}{4}$. Contrôle en $x=0$ : $1=\dfrac{1+3}{4}$. Conséquence : $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{\sin 3x}{12}+\frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{12}+\frac34=\frac23.$
Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x
C'est l'opération inverse de la linéarisation.
- Écrire $\cos(nx)=\mathrm{Re}\big((\cos x+i\sin x)^n\big)$ et $\sin(nx)=\mathrm{Im}\big((\cos x+i\sin x)^n\big)$ (Moivre).
- Développer avec le binôme.
- Garder les termes réels (puissances paires de $i\sin x$) ou imaginaires, et utiliser $\sin^2x=1-\cos^2x$ si l'on veut un polynôme en $\cos x$.
cos(3x) en fonction de cos x
Avec $c=\cos x$ et $s=\sin x$ : $(c+is)^3=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3$. Donc $$\cos(3x)=c^3-3cs^2=c^3-3c(1-c^2)=4\cos^3x-3\cos x,\qquad \sin(3x)=3c^2s-s^3=3\sin x-4\sin^3x.$$
Technique de l'angle moitié
Pour factoriser $e^{ia}\pm e^{ib}$, on met en facteur $e^{i\frac{a+b}{2}}$ : $$e^{ia}+e^{ib}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{a-b}{2}}+e^{-i\frac{a-b}{2}}\right)=2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}},$$ $$e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}}.$$ Cas particuliers fréquents : $1+e^{i\theta}=2\cos\left(\frac\theta2\right)e^{i\theta/2}$ et $1-e^{i\theta}=-2i\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\theta/2}$. On en déduit module et argument, ou les formules de factorisation $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$ (partie réelle de la première formule).
Somme de cosinus
Soit $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}$. On calcule $C_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)=\mathrm{Re}\left(\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}\right)$. Comme $e^{i\theta}\neq 1$, la somme géométrique vaut $$\sum_{k=0}^{n}\left(e^{i\theta}\right)^k=\frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}=\frac{e^{i(n+1)\theta/2}\cdot 2i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{e^{i\theta/2}\cdot2i\sin\frac{\theta}{2}}=e^{in\theta/2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac\theta2}.$$ Le quotient de sinus est réel, donc $$C_n=\frac{\cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$ Contrôle pour $n=1$ : $\dfrac{\cos\frac\theta2\sin\theta}{\sin\frac\theta2}=2\cos^2\frac\theta2=1+\cos\theta$.
4.Forme trigonométrique, argument et exponentielle complexe
Forme trigonométrique, argument
Tout $z\in\mathbb{C}^*$ s'écrit $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in\mathbb{R}$. Nécessairement $r=|z|$, et $\theta$ est unique modulo $2\pi$ : c'est un argument de $z$, noté $\arg z$ (défini à $2\pi$ près). L'unique argument appartenant à $]-\pi,\pi]$ est l'argument principal.
Justification : $\dfrac{z}{|z|}\in\mathbb{U}$, donc s'écrit $e^{i\theta}$. Si $re^{i\theta}=r'e^{i\theta'}$ avec $r,r'>0$, en prenant le module $r=r'$, puis $e^{i\theta}=e^{i\theta'}$, donc $\theta\equiv\theta'\ [2\pi]$.
Le nombre $0$ n'a pas d'argument.
Calcul sur les arguments
Pour $z,z'\in\mathbb{C}^*$ et $n\in\mathbb{Z}$, modulo $2\pi$ :
- $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'$ ;
- $\arg\left(\dfrac1z\right)\equiv-\arg z$ et $\arg\overline{z}\equiv-\arg z$ ;
- $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\equiv\arg z-\arg z'$ et $\arg(z^n)\equiv n\arg z$.
Preuve : si $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$, alors $zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$ avec $rr'>0$. Les autres règles s'en déduisent.
Il n'existe aucune formule pour l'argument d'une somme.
Obtenir la forme trigonométrique de a + ib
- Calculer $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
- Mettre $r$ en facteur : $z=r\left(\dfrac ar+i\dfrac br\right)$.
- Chercher $\theta$ tel que $\cos\theta=\dfrac ar$ et $\sin\theta=\dfrac br$ ; les deux conditions sont nécessaires (une seule laisse deux angles possibles).
Autre voie souvent plus rapide : factoriser par l'angle moitié, ou utiliser le produit et le quotient de formes connues.
Formes trigonométriques et puissances
- $z=1+i\sqrt3$ : $|z|=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=\frac12$, $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$, donc $z=2e^{i\pi/3}$. Alors $z^6=2^6e^{2i\pi}=64$.
- $w=-1+i$ : $|w|=\sqrt2$, $\cos\theta=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin\theta=\frac{\sqrt2}{2}$, donc $w=\sqrt2\,e^{3i\pi/4}$. Le calcul $\arctan\left(\frac{-1}{1}\right)$... ou $\arctan(b/a)=\arctan(-1)=-\frac\pi4$ donnerait un résultat faux : $w$ n'est pas dans le demi-plan $\mathrm{Re}>0$.
- $\dfrac{1+i\sqrt3}{-1+i}=\dfrac{2}{\sqrt2}e^{i(\pi/3-3\pi/4)}=\sqrt2\,e^{-5i\pi/12}$.
- $1+e^{i\theta}$ pour $\theta\in]-\pi,\pi[$ : $1+e^{i\theta}=2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2}$ avec $2\cos\frac\theta2>0$ ; c'est une forme trigonométrique, de module $2\cos\frac\theta2$ et d'argument $\frac\theta2$.
Transformer a cos t + b sin t
Pour $(a,b)\neq(0,0)$ réels, on écrit $a+ib=Re^{i\varphi}$ avec $R=\sqrt{a^2+b^2}$. Alors $$a\cos t+b\sin t=\mathrm{Re}\big((a-ib)e^{it}\big)=\mathrm{Re}\big(Re^{i(t-\varphi)}\big)=R\cos(t-\varphi).$$ Exemple : $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$, donc $\sqrt3\cos t+\sin t=2\cos\left(t-\frac\pi6\right)$. Ainsi l'équation $\sqrt3\cos t+\sin t=\sqrt2$ équivaut à $\cos\left(t-\frac\pi6\right)=\frac{\sqrt2}{2}$, soit $t\equiv\frac\pi6\pm\frac\pi4\ [2\pi]$, c'est-à-dire $t\equiv\frac{5\pi}{12}$ ou $t\equiv-\frac{\pi}{12}\ [2\pi]$.
Exponentielle complexe
Pour $z=x+iy$ ($x,y$ réels), on pose $$e^z=\exp(z)=e^xe^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$ Cette définition prolonge l'exponentielle réelle ($y=0$) et la notation $e^{i\theta}$ ($x=0$).
Propriétés de l'exponentielle complexe
Pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ :
- $e^{z+z'}=e^ze^{z'}$ ; $e^z\neq 0$ et $\dfrac{1}{e^z}=e^{-z}$ ;
- $|e^z|=e^{\mathrm{Re}(z)}$ et $\mathrm{Im}(z)$ est un argument de $e^z$ ;
- $e^z=e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\mathbb{Z}$ ;
- $\exp$ est surjective de $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{C}^*$ : pour $a=re^{i\alpha}\in\mathbb{C}^*$ ($r>0$), $$e^z=a\iff z\in\left\{\ln r+i(\alpha+2k\pi):k\in\mathbb{Z}\right\}.$$
Preuve du troisième point : $e^{x+iy}=e^{x'+iy'}$ donne, en prenant les modules, $e^x=e^{x'}$, donc $x=x'$ ; il reste $e^{iy}=e^{iy'}$, donc $y-y'\in2\pi\mathbb{Z}$.
Résoudre exp(z) = 1 + i
$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$. Avec $z=x+iy$ : $e^xe^{iy}=\sqrt2e^{i\pi/4}$ équivaut à $e^x=\sqrt2$ et $y\equiv\frac\pi4\ [2\pi]$. Les solutions sont $$z=\frac{\ln2}{2}+i\left(\frac\pi4+2k\pi\right),\quad k\in\mathbb{Z}.$$
Pas de logarithme complexe
L'équation $e^z=a$ a une infinité de solutions : on ne définit pas de « $\ln$ » sur $\mathbb{C}$ dans le programme. Les règles $(e^z)^w=e^{zw}$ pour $w$ complexe n'ont pas de sens ici ; seule $(e^z)^n=e^{nz}$ pour $n\in\mathbb{Z}$ est valable.
5.Racines n-ièmes et équations du second degré
Racine n-ième
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $a\in\mathbb{C}$. On appelle racine $n$-ième de $a$ tout complexe $z$ tel que $z^n=a$. Les racines $n$-ièmes de $1$ sont les racines $n$-ièmes de l'unité ; leur ensemble est noté $\mathbb{U}_n$.
Racines n-ièmes de l'unité
Pour $n\in\mathbb{N}^*$ : $$\mathbb{U}_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}}:k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\},$$ et ces $n$ nombres sont deux à deux distincts. Ainsi $\mathbb{U}_n$ a exactement $n$ éléments ; c'est un sous-groupe de $\mathbb{U}$. Ses points forment un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point d'affixe $1$.
Preuve
Soit $z$ tel que $z^n=1$. Alors $|z|^n=1$ avec $|z|\geqslant0$, donc $|z|=1$ et $z=e^{i\theta}$. Par Moivre, $z^n=e^{in\theta}$, et $e^{in\theta}=1\iff n\theta\in2\pi\mathbb{Z}\iff\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$ avec $k\in\mathbb{Z}$. Réciproquement ces nombres vérifient $z^n=e^{2ik\pi}=1$.
Réduction : pour $k\in\mathbb{Z}$, la division euclidienne $k=qn+r$ avec $0\leqslant r\leqslant n-1$ donne $e^{2ik\pi/n}=e^{2iq\pi}e^{2ir\pi/n}=e^{2ir\pi/n}$.
Distinction : si $0\leqslant k,k'\leqslant n-1$ et $e^{2ik\pi/n}=e^{2ik'\pi/n}$, alors $\dfrac{2(k-k')\pi}{n}\in2\pi\mathbb{Z}$, donc $n$ divise $k-k'$ ; or $|k-k'|<n$, donc $k=k'$.
Sous-groupe : $1\in\mathbb{U}_n$ ; si $z^n=w^n=1$, alors $(zw)^n=1$ et $(1/z)^n=1$.
Somme des racines n-ièmes de l'unité ; le nombre j
Pour $n\geqslant2$, on pose $\omega=e^{2i\pi/n}$. Alors $\mathbb{U}_n=\{1,\omega,\dots,\omega^{n-1}\}$ et $$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0.$$ Preuve : $\omega\neq1$ car $0<\frac{2\pi}{n}<2\pi$, donc la somme géométrique vaut $\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=0$.
Cas $n=3$ : on note $j=e^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$. Alors $\mathbb{U}_3=\{1,j,j^2\}$, $1+j+j^2=0$, $j^3=1$ et $\overline{j}=j^2=\dfrac1j$.
Racines n-ièmes d'un complexe non nul
Soit $a=re^{i\alpha}\in\mathbb{C}^*$ ($r>0$) et $n\in\mathbb{N}^*$. Les racines $n$-ièmes de $a$ sont les $n$ nombres distincts $$z_k=r^{1/n}e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)},\quad k\in\{0,\dots,n-1\}.$$ Si $z_0$ est l'une d'elles, ce sont les nombres $z_0\omega$ pour $\omega\in\mathbb{U}_n$.
Preuve
Posons $z_0=r^{1/n}e^{i\alpha/n}$, avec $r^{1/n}$ la racine $n$-ième réelle positive de $r$. Par Moivre, $z_0^n=re^{i\alpha}=a$, et $z_0\neq0$. Alors $$z^n=a\iff z^n=z_0^n\iff\left(\frac{z}{z_0}\right)^n=1\iff\frac{z}{z_0}\in\mathbb{U}_n.$$ Le théorème précédent conclut ; les $z_0\omega$ sont distincts car les $\omega$ le sont.
Racines cubiques de 8i
$8i=8e^{i\pi/2}$. Les racines cubiques sont $2e^{i\left(\frac\pi6+\frac{2k\pi}{3}\right)}$, $k\in\{0,1,2\}$ :
- $k=0$ : $2e^{i\pi/6}=\sqrt3+i$ ;
- $k=1$ : $2e^{5i\pi/6}=-\sqrt3+i$ ;
- $k=2$ : $2e^{3i\pi/2}=-2i$.
Vérification : $(-2i)^3=-8i^3=8i$.
Racines carrées sous forme algébrique
Tout $\Delta\in\mathbb{C}^*$ admet exactement deux racines carrées, opposées. Quand l'argument de $\Delta$ n'est pas remarquable, on cherche $\delta=x+iy$ ($x,y$ réels) tel que $\delta^2=\Delta$ :
- identifier parties réelles et imaginaires : $x^2-y^2=\mathrm{Re}(\Delta)$ et $2xy=\mathrm{Im}(\Delta)$ ;
- ajouter l'égalité des modules : $|\delta|^2=|\Delta|$, soit $x^2+y^2=|\Delta|$ ;
- en déduire $x^2$ et $y^2$, puis choisir les signes grâce au signe de $xy$ (celui de $\mathrm{Im}(\Delta)$).
Racines carrées de 3 + 4i
On cherche $\delta=x+iy$ avec $$\begin{cases}x^2-y^2=3\\ 2xy=4\\ x^2+y^2=|3+4i|=5\end{cases}$$ Par somme et différence : $x^2=4$ et $y^2=1$. Comme $xy=2>0$, $x$ et $y$ sont de même signe. Les racines carrées sont $2+i$ et $-2-i$. Vérification : $(2+i)^2=4+4i-1=3+4i$.
Équation du second degré
Soit $a,b,c\in\mathbb{C}$ avec $a\neq0$, et $\Delta=b^2-4ac$. Soit $\delta$ une racine carrée complexe de $\Delta$. Les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $$z_1=\frac{-b+\delta}{2a},\qquad z_2=\frac{-b-\delta}{2a}.$$ Elles sont distinctes si $\Delta\neq0$, confondues (racine double $-\frac{b}{2a}$) si $\Delta=0$. De plus $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ pour tout $z$.
Preuve
Forme canonique : $$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\delta}{2a}\right)^2\right].$$ Par l'identité $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ : $$az^2+bz+c=a\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)=a(z-z_1)(z-z_2).$$ Comme $a\neq0$ et qu'un produit de complexes est nul si et seulement si un facteur l'est, les solutions sont $z_1$ et $z_2$.
Relations entre coefficients et racines
Avec les notations précédentes : $$z_1+z_2=-\frac ba,\qquad z_1z_2=\frac ca.$$ Réciproquement, deux complexes $u,v$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$ si et seulement si ce sont les deux racines (comptées avec multiplicité) de $z^2-sz+p=0$. Preuve : on développe $a(z-z_1)(z-z_2)=az^2-a(z_1+z_2)z+az_1z_2$ et on identifie les coefficients ; pour la réciproque, $(z-u)(z-v)=z^2-sz+p$.
Résolution de z² − (3 + i)z + 2 + 2i = 0
$\Delta=(3+i)^2-4(2+2i)=9+6i-1-8-8i=-2i$. On remarque $(1-i)^2=1-2i-1=-2i$ : on prend $\delta=1-i$. Les solutions sont $$z_1=\frac{3+i+1-i}{2}=2,\qquad z_2=\frac{3+i-(1-i)}{2}=1+i.$$ Contrôle : $z_1+z_2=3+i$ et $z_1z_2=2+2i$.
La notation racine carrée est réservée aux réels positifs
On n'écrit jamais $\sqrt{-2i}$ ni $\sqrt{\Delta}$ pour $\Delta$ complexe non réel positif : on écrit « soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ ». La règle $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ est fausse hors de $\mathbb{R}_+$ : elle conduirait à $-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1}=1$. Si $a,b,c$ sont réels et $\Delta<0$, on peut prendre $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ : les racines sont conjuguées.
6.Interprétation géométrique et similitudes directes
On munit le plan d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$. Au point $M(x,y)$ et au vecteur $\vec w(x,y)$ on associe l'affixe $z=x+iy$. Si $A$ et $B$ ont pour affixes $a$ et $b$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $b-a$.
Distances et angles
Soit $A,B,C$ d'affixes $a,b,c$ avec $A\neq B$ et $A\neq C$ :
- $AB=|b-a|$ ;
- une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ;
- $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=\dfrac{AC}{AB}$.
Alignement et orthogonalité
Pour $A,B,C$ distincts d'affixes $a,b,c$, on forme $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$ :
- $A,B,C$ alignés $\iff Z\in\mathbb{R}$ ;
- $(AB)\perp(AC)\iff Z\in i\mathbb{R}$ ;
- $ABC$ rectangle isocèle en $A$ $\iff Z=\pm i$ ;
- $ABC$ équilatéral $\iff Z=e^{\pm i\pi/3}$.
Pour montrer que $Z$ est réel ou imaginaire pur, on utilise la méthode du conjugué vue plus haut.
Un triangle rectangle isocèle
$A(1)$, $B(3+i)$, $C(-i)$. Alors $\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-1-i}{2+i}=\dfrac{(-1-i)(2-i)}{5}=\dfrac{-2+i-2i+i^2}{5}=\dfrac{-3-i}{5}$. Ce n'est ni réel ni imaginaire pur. Essayons le sommet $B$ : $\dfrac{c-b}{a-b}=\dfrac{-3-2i}{-2-i}=\dfrac{3+2i}{2+i}=\dfrac{(3+2i)(2-i)}{5}=\dfrac{8+i}{5}$. Puis le sommet $C$ : $\dfrac{b-c}{a-c}=\dfrac{3+2i}{1+i}=\dfrac{(3+2i)(1-i)}{2}=\dfrac{5-i}{2}$. Aucun angle n'est droit. En revanche, avec $C'(2-i)$ : $\dfrac{c'-a}{b-a}=\dfrac{1-i}{2+i}=\dfrac{(1-i)(2-i)}{5}=\dfrac{1-3i}{5}$, pas droit en $A$ non plus ; et $\dfrac{a-c'}{b-c'}=\dfrac{-1+i}{1+2i}=\dfrac{(-1+i)(1-2i)}{5}=\dfrac{1+3i}{5}$. La méthode tranche sans figure : on teste chaque sommet en calculant un seul quotient.
Transformations élémentaires
On identifie une transformation du plan à l'application $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ qui à l'affixe de $M$ associe l'affixe de son image.
- Translation de vecteur d'affixe $b$ : $z\mapsto z+b$.
- Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\mathbb{R}^*$ : $z\mapsto\omega+k(z-\omega)$.
- Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z\mapsto\omega+e^{i\theta}(z-\omega)$.
- Réflexion d'axe $(Ox)$ : $z\mapsto\overline{z}$.
On appelle similitude directe toute application $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{C}^*$ et $b\in\mathbb{C}$.
Décomposition d'une similitude directe
Soit $f:z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{C}^*$.
- Si $a=1$, $f$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
- Si $a\neq1$, $f$ a un unique point fixe $\Omega$ d'affixe $\omega=\dfrac{b}{1-a}$, et pour tout $z$ : $$f(z)-\omega=a(z-\omega).$$ En écrivant $a=\rho e^{i\alpha}$ ($\rho>0$), $f$ est la composée (commutative) de la rotation de centre $\Omega$ d'angle $\alpha$ et de l'homothétie de centre $\Omega$ de rapport $\rho$. On dit que $f$ est la similitude de centre $\Omega$, de rapport $\rho=|a|$ et d'angle $\alpha=\arg a$.
Une similitude directe multiplie les distances par $|a|$ et conserve les angles orientés.
Preuve
Si $a\neq1$ : $f(\omega)=\omega\iff a\omega+b=\omega\iff\omega=\dfrac{b}{1-a}$, d'où l'unicité du point fixe. En soustrayant $\omega=a\omega+b$ à $f(z)=az+b$, on obtient $f(z)-\omega=a(z-\omega)$. Avec $h:z\mapsto\omega+\rho(z-\omega)$ et $r:z\mapsto\omega+e^{i\alpha}(z-\omega)$, on a $h(r(z))-\omega=\rho e^{i\alpha}(z-\omega)=r(h(z))-\omega$, donc $f=h\circ r=r\circ h$.
Distances : $|f(z)-f(z')|=|a(z-z')|=|a|\,|z-z'|$. Angles : $\dfrac{f(c)-f(a_0)}{f(b_0)-f(a_0)}=\dfrac{a(c-a_0)}{a(b_0-a_0)}=\dfrac{c-a_0}{b_0-a_0}$ pour des points $A_0,B_0,C$ convenables.
Reconnaître une transformation z ↦ az + b
- Si $a=1$ : translation de vecteur d'affixe $b$.
- Sinon, calculer le point fixe $\omega$ en résolvant $\omega=a\omega+b$.
- Écrire $a=\rho e^{i\alpha}$ : si $\rho=1$, c'est une rotation d'angle $\alpha$ ; si $a\in\mathbb{R}$, une homothétie de rapport $a$ ; sinon, une similitude de rapport $\rho$ et d'angle $\alpha$, de centre $\Omega$.
- Contrôler en vérifiant $f(\omega)=\omega$.
Étude de z ↦ (1 + i)z + 1
Ici $a=1+i\neq1$. Point fixe : $\omega=(1+i)\omega+1\iff-i\omega=1\iff\omega=i$. Contrôle : $(1+i)i+1=i-1+1=i$. Comme $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$, on a $f(z)-i=\sqrt2e^{i\pi/4}(z-i)$ : $f$ est la similitude de centre $\Omega(i)$, de rapport $\sqrt2$ et d'angle $\frac\pi4$. Elle transforme un cercle de rayon $R$ en un cercle de rayon $R\sqrt2$.
Construire une similitude
On cherche la similitude directe $f$ qui envoie $A(0)$ sur $A'(1)$ et $B(1)$ sur $B'(1+2i)$. On écrit $f(z)=az+b$ : $f(0)=b=1$ et $f(1)=a+1=1+2i$, d'où $a=2i$. Donc $f(z)=2iz+1$ : rapport $2$, angle $\frac\pi2$, centre $\omega=\dfrac{1}{1-2i}=\dfrac{1+2i}{5}$. En général, il existe une unique similitude directe envoyant deux points distincts $A,B$ sur deux points distincts $A',B'$ : le système $aa_0+b=a'$, $ab_0+b=b'$ donne $a=\dfrac{b'-a'}{b_0-a_0}\neq0$.
Triangle équilatéral et nombre j
Le triangle $ABC$ d'affixes $a,b,c$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$. Vérification sur $a=1$, $b=j$, $c=j^2$ : $1+j^2+j^4=1+j^2+j=0$. Ce résultat n'est pas exigible mais se redémontre à partir de la caractérisation $\dfrac{c-a}{b-a}=e^{i\pi/3}$ et de la relation $-j^2=e^{i\pi/3}$. Les applications $z\mapsto a\overline{z}+b$ (similitudes indirectes, qui renversent les angles) ne sont pas au programme.