Les nombres complexes donnent à toute équation polynomiale du second degré des solutions et transforment la trigonométrie en calcul algébrique sur des exponentielles. Ils fournissent aussi un langage efficace pour la géométrie plane : distances, angles, rotations et similitudes s'y écrivent en une ligne.
Exercice 1 · Calculs en forme algébrique
application●●●
Calculer avec la forme algébriqueMettre un quotient sous forme algébriqueUtiliser les propriétés du module
Écrire sous forme algébrique les nombres suivants, puis donner leur module.
$z_1=(1+2i)^2(3-i)$.
$z_2=\dfrac{3+i}{1-2i}$.
$z_3=i^{2026}+(1+i)^8$.
Pour $z_1$ et $z_2$, contrôler le module obtenu à l'aide des règles $|zz'|=|z||z'|$ et $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.
On a $(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i$. Donc $$z_1=(-3+4i)(3-i)=-9+3i+12i-4i^2=-5+15i.$$ Module : $|z_1|=\sqrt{(-5)^2+15^2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$. Contrôle : $|z_1|=|1+2i|^2\,|3-i|=5\sqrt{10}$, car $|1+2i|^2=5$ et $|3-i|=\sqrt{10}$.
On multiplie par $\overline{1-2i}=1+2i$ : $$z_2=\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{3+6i+i+2i^2}{1+4}=\frac{1+7i}{5}=\frac15+\frac75i.$$ Module : $|z_2|=\dfrac{\sqrt{1+49}}{5}=\dfrac{5\sqrt2}{5}=\sqrt2$. Contrôle : $\dfrac{|3+i|}{|1-2i|}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt5}=\sqrt2$.
Comme $i^4=1$ et $2026=4\times506+2$, on a $i^{2026}=(i^4)^{506}i^2=-1$. Ensuite $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$, donc $(1+i)^8=(2i)^4=16i^4=16$. Ainsi $z_3=-1+16=15$, réel positif, de module $|z_3|=15$.
$|z_1|=\sqrt{3+1}=2$ et $z_1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)$. L'angle $\theta=-\frac\pi6$ vérifie $\cos\theta=\frac{\sqrt3}2$ et $\sin\theta=-\frac12$, donc $z_1=2e^{-i\pi/6}$.
$|z_2|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ et $z_2=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right)$. L'angle $-\frac{3\pi}{4}$ a pour cosinus $-\frac{\sqrt2}2$ et pour sinus $-\frac{\sqrt2}2$, donc $z_2=2\sqrt2\,e^{-3i\pi/4}$.
Forme algébrique : $$z_1z_2=(\sqrt3-i)(-2-2i)=-2\sqrt3-2\sqrt3\,i+2i+2i^2=-2(\sqrt3+1)+2(1-\sqrt3)\,i.$$ Forme trigonométrique : $z_1z_2=2\cdot2\sqrt2\,e^{i(-\pi/6-3\pi/4)}=4\sqrt2\,e^{-11i\pi/12}$, et $-\frac{11\pi}{12}\in]-\pi,\pi]$, c'est donc l'argument principal. Contrôle du module : $4(\sqrt3+1)^2+4(\sqrt3-1)^2=4\times 8=32=(4\sqrt2)^2$.
En identifiant les deux écritures (parties réelles et imaginaires, qui sont réelles) : $$\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right)=\frac{-2(\sqrt3+1)}{4\sqrt2}=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)=\frac{2(1-\sqrt3)}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$ Par parité, $\cos\frac{11\pi}{12}=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ et $\sin\frac{11\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$. Comme $\frac\pi{12}=\pi-\frac{11\pi}{12}$, on a $\cos\frac\pi{12}=-\cos\frac{11\pi}{12}$ et $\sin\frac\pi{12}=\sin\frac{11\pi}{12}$ : $$\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$
Par Moivre, $z_1^n=2^ne^{-in\pi/6}$ avec $2^n>0$. Donc $z_1^n\in\mathbb{R}_+^*$ si et seulement si $e^{-in\pi/6}=1$, c'est-à-dire $\frac{n\pi}{6}\in2\pi\mathbb{Z}$, soit $n\in12\mathbb{Z}$. Le plus petit entier $n\geqslant1$ est $n=12$, et $z_1^{12}=2^{12}=4096$.
Par Euler, $\sin^4x=\dfrac{(e^{ix}-e^{-ix})^4}{(2i)^4}$ avec $(2i)^4=16$. Le binôme donne $$(e^{ix}-e^{-ix})^4=e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix}=2\cos(4x)-8\cos(2x)+6.$$ Donc $$\sin^4x=\frac{\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}.$$ Contrôles : en $x=0$, $\frac{1-4+3}{8}=0=\sin^40$ ; en $x=\frac\pi2$, $\frac{1+4+3}{8}=1$.
$$I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{\sin4x}{32}-\frac{\sin2x}{4}+\frac{3x}{8}\right]_0^{\pi/2}=0-0+\frac{3\pi}{16}.$$ Donc $I=\dfrac{3\pi}{16}$.
$$\cos^2x\sin^2x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})^2(e^{ix}-e^{-ix})^2}{2^2(2i)^2}=\frac{(e^{2ix}-e^{-2ix})^2}{-16}=\frac{e^{4ix}-2+e^{-4ix}}{-16}=\frac{2\cos(4x)-2}{-16}.$$ Donc $\cos^2x\sin^2x=\dfrac{1-\cos(4x)}{8}$. Contrôle : $\cos^2x\sin^2x=\frac{\sin^2(2x)}{4}$ et $\sin^2(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}$, ce qui redonne $\frac{1-\cos 4x}{8}$.
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Exercice 6 · Équations du second degré à coefficients complexes
entrainement●●●
Résoudre une équation du second degré à coefficients complexesCalculer une racine carrée sous forme algébriqueUtiliser les relations coefficients-racines
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-(5+i)z+8+4i=0$. Contrôler le résultat avec les relations entre coefficients et racines.
Soit $\theta\in\mathbb{R}$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2\cos\theta\, z+1=0$ et donner les solutions sous forme exponentielle.
Discriminant : $$\Delta=(5+i)^2-4(8+4i)=25+10i-1-32-16i=-8-6i.$$ On cherche $\delta=x+iy$ ($x,y$ réels) avec $\delta^2=\Delta$ : $x^2-y^2=-8$, $x^2+y^2=|\Delta|=\sqrt{64+36}=10$, $2xy=-6$. Donc $x^2=1$, $y^2=9$ et $xy<0$ : on prend $\delta=1-3i$. Vérification : $(1-3i)^2=1-6i-9=-8-6i$.
Les solutions sont $$z_1=\frac{5+i+1-3i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i,\qquad z_2=\frac{5+i-1+3i}{2}=\frac{4+4i}{2}=2+2i.$$ Contrôle : $z_1+z_2=5+i$ et $z_1z_2=(3-i)(2+2i)=6+6i-2i+2=8+4i$, conformes à $-\frac ba$ et $\frac ca$.
Discriminant : $\Delta=4\cos^2\theta-4=-4\sin^2\theta=(2i\sin\theta)^2$. On prend $\delta=2i\sin\theta$. Les solutions sont $$z=\frac{2\cos\theta\pm2i\sin\theta}{2}=\cos\theta\pm i\sin\theta,$$ c'est-à-dire $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. Elles sont distinctes si $\sin\theta\neq0$ ; si $\theta\in\pi\mathbb{Z}$, $\Delta=0$ et il y a une racine double $\cos\theta=e^{i\theta}\in\{-1,1\}$. Contrôle : $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=1$.
Résultat :
$\{3-i,\ 2+2i\}$ ; $\{e^{i\theta},e^{-i\theta}\}$
Exercice 7 · Équations avec l'exponentielle complexe
entrainement●●●
Résoudre une équation $e^z=a$Utiliser $e^z=e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\mathbb{Z}$Se ramener à une équation du second degré par changement d'inconnue
Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
$e^z=-3$ ;
$e^{2z}-2e^z+2=0$ ;
Déterminer l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels que $e^z$ soit réel.
$-3=3e^{i\pi}$ avec $3>0$. D'après le cours, $e^z=3e^{i\pi}$ si et seulement si $z=\ln3+i(\pi+2k\pi)$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
Posons $w=e^z$ ; alors $e^{2z}=w^2$ et l'équation devient $w^2-2w+2=0$. Son discriminant vaut $4-8=-4=(2i)^2$, donc $w=\frac{2\pm2i}{2}=1\pm i$. L'équation équivaut donc à $e^z=1+i$ ou $e^z=1-i$.
L'ensemble des solutions est la réunion de ces deux familles, soit $\left\{\frac{\ln 2}{2}+i\left(\pm\frac\pi4+2k\pi\right):k\in\mathbb{Z}\right\}$.
Avec $z=x+iy$ : $e^z=e^x\cos y+ie^x\sin y$. Ce nombre est réel si et seulement si $e^x\sin y=0$, c'est-à-dire $\sin y=0$ car $e^x>0$, soit $y\in\pi\mathbb{Z}$. L'ensemble cherché est $\{x+ik\pi : x\in\mathbb{R},\ k\in\mathbb{Z}\}$, réunion de droites horizontales.
Exercice 8 · Sommes trigonométriques avec coefficients binomiaux
entrainement●●●
Calculer une somme trigonométrique avec l'exponentielleUtiliser la formule du binômeFactoriser par l'angle moitié
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $\theta\in\mathbb{R}$. On pose $$C_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\cos(k\theta),\qquad S_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk\sin(k\theta).$$
Calculer $C_n+iS_n$ à l'aide de la formule du binôme.
En déduire une expression factorisée de $C_n$ et de $S_n$.
Vérifier le résultat pour $n=2$ et $\theta=\frac\pi2$.
Par linéarité et Moivre, $$C_n+iS_n=\sum_{k=0}^n\binom nk e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^n\binom nk\left(e^{i\theta}\right)^k1^{n-k}=\left(1+e^{i\theta}\right)^n.$$
Par l'angle moitié, $1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2}$, donc $$C_n+iS_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)e^{in\theta/2}.$$ Le facteur $2^n\cos^n\frac\theta2$ est réel, et $C_n$, $S_n$ sont réels : ce sont les parties réelle et imaginaire de ce nombre. Donc $$C_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)\cos\left(\frac{n\theta}2\right),\qquad S_n=2^n\cos^n\left(\frac\theta2\right)\sin\left(\frac{n\theta}2\right).$$ Aucune restriction sur $\theta$ n'est nécessaire.
Pour $n=2$, $\theta=\frac\pi2$ : directement, $C_2=1+2\cos\frac\pi2+\cos\pi=0$ et $S_2=0+2\sin\frac\pi2+\sin\pi=2$. La formule donne $C_2=4\cos^2\frac\pi4\cos\frac\pi2=0$ et $S_2=4\times\frac12\times\sin\frac\pi2=2$. Les résultats concordent.
Exercice 9 · Identité du parallélogramme et inégalité triangulaire
entrainement●●●
Calculer avec le module et le conjuguéUtiliser l'inégalité triangulaire et son cas d'égalitéUtiliser la seconde inégalité triangulaire
Montrer que pour tous $z,z'\in\mathbb{C}$ : $|z+z'|^2+|z-z'|^2=2\left(|z|^2+|z'|^2\right)$. Donner une interprétation géométrique.
Déterminer l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels que $|z+1|=|z|+1$.
Montrer que pour tout $z$ tel que $|z|\leqslant\frac12$, on a $|1+z+z^2|\geqslant\frac14$. En déduire que $1+z+z^2$ ne s'annule pas sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $\frac12$.
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Exercice 10 · Triangles rectangles formés par 1, z et z²
entrainement●●●
Traduire l'orthogonalité en complexesMontrer qu'un complexe est imaginaire purReconnaître une droite ou un cercle à partir d'une équation
Pour $z\in\mathbb{C}$, on considère les points $A$, $M$, $N$ d'affixes respectives $1$, $z$, $z^2$.
Déterminer les $z$ pour lesquels $A$, $M$, $N$ sont deux à deux distincts.
On suppose cette condition réalisée. Déterminer l'ensemble des $z$ pour lesquels le triangle $AMN$ est rectangle en $A$, puis rectangle en $M$, puis rectangle en $N$. Décrire géométriquement chaque ensemble.
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Exercice 11 · Étude et construction de similitudes directes
entrainement●●●
Reconnaître une similitude directe $z\mapsto az+b$Déterminer centre, rapport et angleConstruire une similitude à partir de deux points et de leurs images
On considère $f:z\mapsto(1+i\sqrt3)z+\sqrt3$.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
Déterminer l'image par $f$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$.
Donner l'écriture complexe de $f\circ f$ et ses éléments caractéristiques.
Déterminer la similitude directe $g$ qui envoie le point d'affixe $0$ sur le point d'affixe $2$ et le point d'affixe $2$ sur le point d'affixe $2+2i$. Préciser sa nature.
$\omega\neq1$ car $\frac{2\pi}{5}\notin2\pi\mathbb{Z}$. Donc $1+\omega+\dots+\omega^4=\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0$ puisque $\omega^5=e^{2i\pi}=1$.
Comme $|\omega|=1$ et $\omega^5=1$ : $\omega^4=\omega^{-1}=\overline\omega$ et $\omega^3=\omega^{-2}=\overline{\omega^2}$. Donc $S=\omega+\overline\omega=2\,\mathrm{Re}(\omega)=2\cos\frac{2\pi}5$ et $T=\omega^2+\overline{\omega^2}=2\cos\frac{4\pi}{5}$.
D'après 1, $S+T=\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=-1$. Puis $$ST=\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7=\omega^3+\omega^4+\omega+\omega^2=-1,$$ car $\omega^6=\omega$ et $\omega^7=\omega^2$.
$S$ et $T$ ont pour somme $-1$ et pour produit $-1$ : ce sont les racines de $X^2+X-1=0$, dont le discriminant vaut $5$. Ces racines sont $\frac{-1+\sqrt5}{2}>0$ et $\frac{-1-\sqrt5}{2}<0$. Or $\frac{2\pi}{5}\in\left]0,\frac\pi2\right[$, donc $S=2\cos\frac{2\pi}5>0$. Ainsi $S=\frac{\sqrt5-1}{2}$ et $T=-\frac{1+\sqrt5}{2}$, d'où $$\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}{4},\qquad\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ Enfin $\frac\pi5=\pi-\frac{4\pi}5$, donc $\cos\frac\pi5=-\cos\frac{4\pi}5=\frac{1+\sqrt5}{4}$. Contrôle numérique : $\frac{\sqrt5-1}4\approx0{,}309$, valeur de $\cos72^\circ$.
$\omega^p=e^{2ip\pi/n}=1$ si et seulement si $\frac{p}{n}\in\mathbb{Z}$, c'est-à-dire $n\mid p$.
Si $n\mid p$ : chaque terme $\omega^{kp}=(\omega^p)^k$ vaut $1$, la somme vaut $n$.
Sinon $\omega^p\neq1$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(\omega^p)^k=\frac{1-(\omega^p)^n}{1-\omega^p}=\frac{1-(\omega^n)^p}{1-\omega^p}=0$.
Par le binôme, $(1+\omega^k)^n=\sum_{j=0}^n\binom nj\omega^{kj}$. En échangeant les sommes finies : $$\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n=\sum_{j=0}^{n}\binom nj\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kj}.$$ D'après 1, la somme intérieure vaut $n$ si $n\mid j$ et $0$ sinon. Pour $j\in\{0,\dots,n\}$, $n\mid j$ si et seulement si $j=0$ ou $j=n$. Donc la somme vaut $\binom n0n+\binom nnn=2n$.
Par l'angle moitié, $1+\omega^k=1+e^{2ik\pi/n}=2\cos\left(\frac{k\pi}n\right)e^{ik\pi/n}$. Par Moivre, $$(1+\omega^k)^n=2^n\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right)e^{ik\pi}=2^n(-1)^k\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right).$$ En sommant et avec la question 2 : $2^n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^n\frac{k\pi}n=2n$, d'où $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cos^n\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ Vérification pour $n=3$ : $1-\cos^3\frac\pi3+\cos^3\frac{2\pi}3=1-\frac18-\frac18=\frac34$, et $\frac{3}{2^2}=\frac34$.
Résultat :
$n$ si $n\mid p$, $0$ sinon ; $2n$ ; $\frac{n}{2^{n-1}}$
Exercice 14 · L'équation (z + 1)^n = (z − 1)^n
approfondissement●●●
Se ramener aux racines n-ièmes de l'unitéFactoriser par l'angle moitiéInterpréter un module comme une distance
Soit $n\geqslant2$. On considère l'équation $(E)$ : $(z+1)^n=(z-1)^n$, d'inconnue $z\in\mathbb{C}$.
Montrer que toute solution de $(E)$ vérifie $|z+1|=|z-1|$. En déduire, sans calcul de racines, que les solutions sont imaginaires pures.
Montrer que $1$ n'est pas solution et que $(E)$ équivaut à $\left(\dfrac{z+1}{z-1}\right)^n=1$.
Résoudre $(E)$ ; exprimer les solutions à l'aide de la fonction cotangente $\cot=\frac{\cos}{\sin}$.
Combien $(E)$ a-t-elle de solutions ? Vérifier pour $n=2$.
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Exercice 15 · Type CCINP : une transformation qui envoie le demi-plan supérieur sur le disque unité
examen●●●
Calculer avec le moduleRésoudre une équation homographiqueUtiliser l'exponentielle d'un imaginaire purRaisonner par double inclusion
On définit $f$ sur $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$ par $f(z)=\dfrac{z-i}{z+i}$. On note $\mathcal{P}=\{z\in\mathbb{C}:\mathrm{Im}(z)>0\}$ et $\mathcal{D}=\{w\in\mathbb{C}:|w|<1\}$.
Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(i)$ et $f(-1)$.
Montrer que $f$ ne prend jamais la valeur $1$, puis que pour tout $w\in\mathbb{C}\setminus\{1\}$, l'équation $f(z)=w$ admet une unique solution dans $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$, que l'on exprimera en fonction de $w$.
Pour $z=x+iy\neq-i$ ($x,y$ réels), calculer $|z+i|^2-|z-i|^2$. En déduire que $|f(z)|=1\iff z\in\mathbb{R}$, et que $|f(z)|<1\iff z\in\mathcal{P}$.
Pour $\varphi\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$, écrire $f(\tan\varphi)$ sous forme exponentielle. En déduire que $f(\mathbb{R})=\mathbb{U}\setminus\{1\}$.
Si $f(z)=1$, alors $z-i=z+i$, soit $2i=0$ : impossible. Soit $w\neq1$. Pour $z\neq-i$ : $$f(z)=w\iff z-i=w(z+i)\iff z(1-w)=i(1+w)\iff z=i\,\frac{1+w}{1-w}.$$ Ce nombre est bien différent de $-i$ : sinon $1+w=-(1-w)$, soit $1=-1$. L'équation a donc une unique solution, $z=i\frac{1+w}{1-w}$. Ainsi $f$ est une bijection de $\mathbb{C}\setminus\{-i\}$ sur $\mathbb{C}\setminus\{1\}$, de réciproque $w\mapsto i\frac{1+w}{1-w}$.
$|z+i|^2-|z-i|^2=\left(x^2+(y+1)^2\right)-\left(x^2+(y-1)^2\right)=4y$. Comme $|f(z)|=\frac{|z-i|}{|z+i|}$ avec $|z+i|>0$, et que les modules sont positifs : $$|f(z)|<1\iff|z-i|^2<|z+i|^2\iff4y>0\iff z\in\mathcal P,$$ et de même $|f(z)|=1\iff y=0\iff z\in\mathbb{R}$. Géométriquement, la médiatrice du segment joignant $i$ et $-i$ est l'axe réel.
Pour $\varphi\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$, $\cos\varphi>0$ et $\tan\varphi\neq-i$ car réel. En multipliant par $\cos\varphi$ : $$f(\tan\varphi)=\frac{\sin\varphi-i\cos\varphi}{\sin\varphi+i\cos\varphi}=\frac{-i(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{i(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\frac{-ie^{i\varphi}}{ie^{-i\varphi}}=-e^{2i\varphi}=e^{i(2\varphi+\pi)}.$$ Inclusion $f(\mathbb{R})\subset\mathbb{U}\setminus\{1\}$ : par 3, $|f(x)|=1$ pour $x$ réel, et par 2, $f(x)\neq1$. Inclusion réciproque : soit $w\in\mathbb{U}\setminus\{1\}$ ; on l'écrit $w=e^{i\alpha}$ avec $\alpha\in]0,2\pi[$ (l'argument dans $[0,2\pi[$ n'est pas $0$ car $w\neq1$). Le réel $\varphi=\frac{\alpha-\pi}{2}$ appartient à $\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ et $f(\tan\varphi)=e^{i(2\varphi+\pi)}=e^{i\alpha}=w$. Donc $f(\mathbb{R})=\mathbb{U}\setminus\{1\}$.
Inclusion $f(\mathcal P)\subset\mathcal D$ : $-i\notin\mathcal P$, et pour $z\in\mathcal P$, $|f(z)|<1$ par 3. Inclusion réciproque : soit $w\in\mathcal D$. Alors $w\neq1$ car $|1|=1$, donc par 2 il existe $z\neq-i$ tel que $f(z)=w$. Comme $|f(z)|=|w|<1$, la question 3 donne $z\in\mathcal P$. Donc $w\in f(\mathcal P)$, et $f(\mathcal P)=\mathcal D$.
Exercice 16 · Type Mines-Ponts : triangles équilatéraux et nombre j
examen●●●
Traduire une rotation en complexesCalculer avec le nombre $j$Démontrer une propriété géométrique par le calcul complexe
On note $j=e^{2i\pi/3}$. Pour trois points distincts $A,B,C$ d'affixes $a,b,c$, on dit que $ABC$ est équilatéral direct si $c-a=e^{i\pi/3}(b-a)$, c'est-à-dire si $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac\pi3$.
Montrer que $1+j=-j^2$ et que $-j^2=e^{i\pi/3}$.
Montrer que pour tous $a,b,c\in\mathbb{C}$ : $c-a=e^{i\pi/3}(b-a)\iff a+jb+j^2c=0$. En déduire que si $a\neq b$ et $a+jb+j^2c=0$, alors $ABC$ est équilatéral direct.
Soit $A,B,C$ trois points d'affixes $a,b,c$. On définit les points $A',B',C'$ d'affixes $a',b',c'$ par $$c+jb+j^2a'=0,\qquad a+jc+j^2b'=0,\qquad b+ja+j^2c'=0.$$ Exprimer $a',b',c'$ en fonction de $a,b,c$ et $j$. (Lorsque $ABC$ est un triangle direct, $CBA'$, $ACB'$ et $BAC'$ sont les triangles équilatéraux construits à l'extérieur de $ABC$ sur ses côtés ; ce point n'est pas à démontrer.)
On note $P,Q,R$ les centres de gravité des triangles $CBA'$, $ACB'$, $BAC'$ : $p=\frac{b+c+a'}{3}$, $q=\frac{c+a+b'}{3}$, $r=\frac{a+b+c'}{3}$. Montrer que $p+jq+j^2r=0$ et conclure sur le triangle $PQR$.
Montrer que $ABC$ et $PQR$ ont le même centre de gravité.
Application : $a=0$, $b=2$, $c=2i$. Calculer $p$, $q$, $r$ et la longueur $PQ$.