Erreurs fréquentes : Nombres complexes (Prépa, 1re année)
Les nombres complexes donnent à toute équation polynomiale du second degré des solutions et transforment la trigonométrie en calcul algébrique sur des exponentielles. Ils fournissent aussi un langage efficace pour la géométrie plane : distances, angles, rotations et similitudes s'y écrivent en une ligne.
Écrire $\sqrt{-2i}$ ou $\sqrt{\Delta}$ pour un discriminant complexe, et appliquer $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$.
Le symbole $\sqrt{\ }$ est réservé aux réels positifs. On écrit « soit $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$ » et on calcule $\delta$ par la forme trigonométrique ou par le système $x^2-y^2$, $2xy$, $x^2+y^2$.
Identifier parties réelles et imaginaires dans $a+ib=a'+ib'$ sans vérifier que $a,b,a',b'$ sont réels.
L'identification n'est valable que pour des coefficients réels. Si $a$ ou $b$ dépend d'un paramètre complexe, il faut d'abord calculer les vraies parties réelle et imaginaire.
Écrire $|z+z'|=|z|+|z'|$ ou $\arg(z+z')=\arg z+\arg z'$.
Le module et l'argument se comportent bien pour le produit, pas pour la somme. Pour une somme, on n'a que l'inégalité triangulaire ; pour obtenir module et argument, on factorise (angle moitié par exemple).
Prendre $\arctan\left(\frac ba\right)$ comme argument de $a+ib$ dans tous les cas, par exemple $\arg(-1-i)=\frac\pi4$.
$\arctan$ ne donne un argument que si $a>0$. Il faut résoudre $\cos\theta=\frac ar$ et $\sin\theta=\frac br$ simultanément : $-1-i=\sqrt2e^{-3i\pi/4}$.
Présenter $-2e^{i\pi/3}$ ou $2\cos\frac\theta2\,e^{i\theta/2}$ (avec $\cos\frac\theta2<0$) comme forme trigonométrique et lire le module $-2$.
Dans $re^{i\theta}$ il faut $r>0$. On corrige avec $-1=e^{i\pi}$ : $-2e^{i\pi/3}=2e^{i4\pi/3}$. Avant de lire un module, vérifier le signe du facteur réel.
Ne donner qu'une racine $n$-ième, par exemple « la racine cubique de $8i$ est $-2i$ ».
Un complexe non nul a exactement $n$ racines $n$-ièmes : $z_0\omega$ pour $\omega\in\mathbb{U}_n$. On fait varier $k$ de $0$ à $n-1$ dans $r^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}$.
En linéarisant avec $\sin x$, oublier le facteur $\frac1{(2i)^q}$ ou le signe de $i^q$, ce qui donne une expression non réelle.
Écrire $\sin^qx=\dfrac{(e^{ix}-e^{-ix})^q}{(2i)^q}$ en entier, puis contrôler que le résultat est réel et le tester en une valeur simple ($x=0$ ou $x=\frac\pi2$).
Résoudre $e^z=a$ en donnant une seule solution, ou conclure $z=z'$ à partir de $e^z=e^{z'}$.
$e^z=e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\mathbb{Z}$. Les solutions de $e^z=re^{i\alpha}$ sont $\ln r+i(\alpha+2k\pi)$, $k\in\mathbb{Z}$.