Fiche résumé : Nombres complexes (Prépa, 1re année)

Les nombres complexes donnent à toute équation polynomiale du second degré des solutions et transforment la trigonométrie en calcul algébrique sur des exponentielles. Ils fournissent aussi un langage efficace pour la géométrie plane : distances, angles, rotations et similitudes s'y écrivent en une ligne.

Forme algébrique : $z=a+ib$, $a=\mathrm{Re}\,z$, $b=\mathrm{Im}\,z$ réels, écriture unique. $\dfrac1{a+ib}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$.
Conjugué : $\overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}$, $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$ ; $\mathrm{Re}\,z=\frac{z+\overline z}2$, $\mathrm{Im}\,z=\frac{z-\overline z}{2i}$ ; $z\in\mathbb{R}\iff\overline z=z$, $z\in i\mathbb{R}\iff\overline z=-z$.
Module : $|z|^2=z\overline z=a^2+b^2$ ; $|zz'|=|z||z'|$ ; $|\mathrm{Re}\,z|\leqslant|z|$ ; $AB=|b-a|$.
Inégalité triangulaire : $\big||z|-|z'|\big|\leqslant|z\pm z'|\leqslant|z|+|z'|$ ; égalité $|z+z'|=|z|+|z'|\iff z'=0$ ou $z=\lambda z'$, $\lambda\geqslant0$.
Groupe $\mathbb{U}=\{|z|=1\}$, sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ ; pour $z\in\mathbb U$, $\overline z=\frac1z$.
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ ; $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ; $e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff\theta\equiv\theta'\ [2\pi]$.
Euler : $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$, $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$. Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$, $n\in\mathbb{Z}$.
Angle moitié : $e^{ia}+e^{ib}=2\cos\frac{a-b}2\,e^{i\frac{a+b}2}$, $e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\frac{a-b}2\,e^{i\frac{a+b}2}$ ; $1+e^{i\theta}=2\cos\frac\theta2e^{i\theta/2}$.
Linéariser : Euler, binôme, regrouper $e^{ikx}\pm e^{-ikx}$. Exemple : $\cos^3x=\frac{\cos3x+3\cos x}4$. Inversement $\cos3x=4\cos^3x-3\cos x$.
Forme trigonométrique : $z=re^{i\theta}$, $r=|z|>0$, $\theta$ défini modulo $2\pi$ ; $\arg(zz')\equiv\arg z+\arg z'$, $\arg\overline z\equiv-\arg z$, $\arg z^n\equiv n\arg z$.
$a\cos t+b\sin t=R\cos(t-\varphi)$ où $a+ib=Re^{i\varphi}$.
Exponentielle : $e^{x+iy}=e^xe^{iy}$ ; $e^{z+z'}=e^ze^{z'}$ ; $|e^z|=e^{\mathrm{Re}\,z}$ ; $e^z=e^{z'}\iff z-z'\in2i\pi\mathbb{Z}$ ; $e^z=re^{i\alpha}\iff z=\ln r+i(\alpha+2k\pi)$.
Racines de l'unité : $\mathbb{U}_n=\{e^{2ik\pi/n},\ 0\leqslant k\leqslant n-1\}$, $n$ éléments, somme nulle si $n\geqslant2$ ; $j=e^{2i\pi/3}$, $1+j+j^2=0$, $\overline j=j^2$.
Racines $n$-ièmes de $re^{i\alpha}\neq0$ : $r^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}$, $0\leqslant k\leqslant n-1$.
Racine carrée algébrique : $x^2-y^2=\mathrm{Re}\,\Delta$, $2xy=\mathrm{Im}\,\Delta$, $x^2+y^2=|\Delta|$.
Second degré : $\Delta=b^2-4ac$, $\delta^2=\Delta$, $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$ ; $z_1+z_2=-\frac ba$, $z_1z_2=\frac ca$.
Géométrie : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\arg\frac{c-a}{b-a}$ ; alignés $\iff\frac{c-a}{b-a}\in\mathbb{R}$ ; orthogonaux $\iff\frac{c-a}{b-a}\in i\mathbb{R}$.
Similitude directe $z\mapsto az+b$, $a\neq0$ : translation si $a=1$ ; sinon centre $\omega=\frac b{1-a}$, $f(z)-\omega=a(z-\omega)$, rapport $|a|$, angle $\arg a$.