QCM : Nombres complexes (Prépa, 1re année)
Les nombres complexes donnent à toute équation polynomiale du second degré des solutions et transforment la trigonométrie en calcul algébrique sur des exponentielles. Ils fournissent aussi un langage efficace pour la géométrie plane : distances, angles, rotations et similitudes s'y écrivent en une ligne.
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{2+3i}{1-i}$ ?
On multiplie par le conjugué du dénominateur : $\dfrac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2+2i+3i+3i^2}{2}=\dfrac{-1+5i}{2}$. Le piège principal consiste à multiplier par $1-i$ au lieu de $1+i$, ce qui donne $\frac52+\frac12 i$. Oublier de diviser par $|1-i|^2=2$ donne $-1+5i$.
Quel est l'argument principal de $z=-\sqrt3-i$ ?
$|z|=2$, donc on cherche $\theta$ avec $\cos\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\theta=-\frac12$ : $\theta\equiv-\frac{5\pi}{6}\ [2\pi]$, qui est dans $]-\pi,\pi]$. Le piège principal est $\arctan\left(\frac{-1}{-\sqrt3}\right)=\frac\pi6$, faux car $\mathrm{Re}(z)<0$. $\frac{7\pi}{6}$ est un argument mais pas l'argument principal.
Que vaut $(1+i)^8$ ?
$1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$, donc $(1+i)^8=(\sqrt2)^8e^{2i\pi}=16$. On peut aussi enchaîner $(1+i)^2=2i$, $(2i)^2=-4$, $(-4)^2=16$. Le résultat $256$ vient de la confusion entre $(\sqrt2)^8$ et $2^8$ ; $-16$ d'une erreur sur $e^{2i\pi}$ ou sur un carré.
Quelle est la linéarisation de $\sin^3 x$ ?
$\sin^3x=\dfrac{(e^{ix}-e^{-ix})^3}{(2i)^3}=\dfrac{e^{3ix}-e^{-3ix}-3(e^{ix}-e^{-ix})}{-8i}=\dfrac{2i\sin3x-6i\sin x}{-8i}=\dfrac{3\sin x-\sin3x}{4}$. Contrôle en $x=\frac\pi2$ : $\frac{3+1}{4}=1$. Le piège principal est d'oublier que $(2i)^3=-8i$ : le signe de $i^3$ inverse le résultat. La première proposition recopie à tort la formule de $\cos^3x$.
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $e^z=-2$ d'inconnue $z\in\mathbb{C}$ ?
$-2=2e^{i\pi}$. Avec $z=x+iy$, $e^xe^{iy}=2e^{i\pi}$ équivaut à $e^x=2$ et $y\equiv\pi\ [2\pi]$. Il y a une infinité de solutions. Le piège principal est de n'en donner qu'une ; on peut aussi oublier l'argument $\pi$ de $-2$. L'exponentielle complexe atteint tout $\mathbb{C}^*$, y compris les réels négatifs.
Quelles sont les racines cubiques de $-8$ ?
$-8=8e^{i\pi}$, donc les racines cubiques sont $2e^{i(\pi/3+2k\pi/3)}$ pour $k\in\{0,1,2\}$ : $1+i\sqrt3$, $-2$, $1-i\sqrt3$. Le piège principal est de ne donner que la racine réelle. La troisième proposition donne les racines cubiques de $8$. Dans la dernière, $(2j)^3=8$ et non $-8$ : les racines sont $-2\omega$ avec $\omega\in\mathbb{U}_3$.
Quelles sont les solutions de $z^2+(1-i)z-i=0$ ?
$\Delta=(1-i)^2+4i=-2i+4i=2i$ et $(1+i)^2=2i$, donc $\delta=1+i$. Les solutions sont $\frac{-(1-i)\pm(1+i)}{2}$, soit $i$ et $-1$. Contrôle : somme $-1+i=-(1-i)$, produit $-i$. L'erreur $-i$ et $1$ vient d'un oubli du signe de $b$ dans $-b$. Dans $\mathbb{C}$, une équation du second degré a toujours des solutions.
Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. À quelle condition a-t-on $|z+z'|=|z|+|z'|$ ?
La preuve montre que l'égalité équivaut à $z\overline{z'}\in\mathbb{R}_+$, c'est-à-dire à $z=\lambda z'$ avec $\lambda\geqslant0$ : vecteurs colinéaires et de même sens. Le piège principal est d'oublier la condition de signe. Avec $z=1$ et $z'=-1$, on a $z=-z'$ mais $|z+z'|=0\neq2$.
Quelle est la nature de la transformation $f:z\mapsto(1-i)z+2i$ ?
Le point fixe vérifie $\omega=(1-i)\omega+2i$, soit $i\omega=2i$, donc $\omega=2$. Contrôle : $(1-i)\cdot2+2i=2$. Comme $1-i=\sqrt2\,e^{-i\pi/4}$, le rapport vaut $\sqrt2$ et l'angle $-\frac\pi4$. Le centre $-2$ provient de la formule erronée $\omega=\frac{b}{a-1}$. Ce n'est pas une rotation, car $|a|\neq1$.
Quelle est la forme trigonométrique de $1+e^{4i\pi/3}$ ?
Par l'angle moitié, $1+e^{4i\pi/3}=2\cos\frac{2\pi}{3}\,e^{2i\pi/3}=-e^{2i\pi/3}$. Le facteur réel $-1$ est négatif, donc on écrit $-1=e^{i\pi}$ : $-e^{2i\pi/3}=e^{5i\pi/3}=e^{-i\pi/3}$. Vérification : $1-\frac12-i\frac{\sqrt3}2=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$. Le piège principal est de lire un module négatif ; $2e^{2i\pi/3}$ vient de l'oubli du cosinus.