Suites réelles : convergence

Si $m\le u_n\le M$ pour tout $n$, on pose $K=\max(|m|,|M|)$. Alors $-K\le-|m|\le m\le u_n\le M\le|M|\le K$, donc $|u_n|\le K$.

Réciproquement, $|u_n|\le K$ équivaut à $-K\le u_n\le K$ : la suite est minorée par $-K$ et majorée par $K$.

Par l'absurde, supposons $\ell\neq\ell'$, par exemple $\ell<\ell'$ (l'autre cas est symétrique). Posons $\varepsilon=\frac{\ell'-\ell}{3}>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_n-\ell|\le\varepsilon$ pour $n\ge N_1$, et $N_2$ tel que $|u_n-\ell'|\le\varepsilon$ pour $n\ge N_2$. Pour $n=\max(N_1,N_2)$, l'inégalité triangulaire donne $$\ell'-\ell=|\ell'-\ell|\le|\ell'-u_n|+|u_n-\ell|\le2\varepsilon=\frac{2(\ell'-\ell)}{3}.$$ On en déduit $\frac{\ell'-\ell}{3}\le0$, ce qui contredit $\ell<\ell'$. Donc $\ell=\ell'$.

Soit $u_n\to\ell$. Avec $\varepsilon=1$, il existe $N$ tel que $|u_n-\ell|\le1$ pour $n\ge N$, donc $|u_n|\le|u_n-\ell|+|\ell|\le1+|\ell|$ pour $n\ge N$. On pose $$K=\max\big(|u_0|,|u_1|,\dots,|u_{N-1}|,\ 1+|\ell|\big).$$ Alors $|u_n|\le K$ pour tout $n\in\mathbb N$.

Avec $\varepsilon=\frac\ell2>0$, il existe $N$ tel que, pour $n\ge N$, $\ell-\frac\ell2\le u_n\le\ell+\frac\ell2$, donc $u_n\ge\frac\ell2$.

Si $\ell\neq0$, l'inégalité $\big||u_n|-|\ell|\big|\le|u_n-\ell|$ montre que $|u_n|\to|\ell|>0$, et on applique ce qui précède à $(|u_n|)$.

Somme. Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_n-\ell|\le\frac\varepsilon2$ pour $n\ge N_1$ et $N_2$ tel que $|v_n-\ell'|\le\frac\varepsilon2$ pour $n\ge N_2$. Pour $n\ge\max(N_1,N_2)$ : $$|(u_n+v_n)-(\ell+\ell')|\le|u_n-\ell|+|v_n-\ell'|\le\varepsilon.$$ Pour $\lambda u_n$ avec $\lambda\neq0$, on utilise $|\lambda u_n-\lambda\ell|=|\lambda|\,|u_n-\ell|$ et le rang associé à $\frac{\varepsilon}{|\lambda|}$.

Produit. La suite $(u_n)$ converge donc est bornée : il existe $M>0$ tel que $|u_n|\le M$ pour tout $n$. On écrit $$|u_nv_n-\ell\ell'|=|u_n(v_n-\ell')+\ell'(u_n-\ell)|\le M|v_n-\ell'|+|\ell'|\,|u_n-\ell|.$$ Soit $\varepsilon>0$. À partir d'un certain rang, $|v_n-\ell'|\le\frac{\varepsilon}{2M}$ et $|u_n-\ell|\le\frac{\varepsilon}{2(|\ell'|+1)}$, d'où $|u_nv_n-\ell\ell'|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$.

Quotient. Il suffit de montrer $\frac1{v_n}\to\frac1{\ell'}$ puis d'appliquer le produit. À partir d'un rang $N_0$, $|v_n|\ge\frac{|\ell'|}2$, donc $$\left|\frac1{v_n}-\frac1{\ell'}\right|=\frac{|v_n-\ell'|}{|v_n|\,|\ell'|}\le\frac{2}{|\ell'|^2}|v_n-\ell'|,$$ et ce majorant est $\le\varepsilon$ dès que $|v_n-\ell'|\le\frac{\varepsilon|\ell'|^2}{2}$.

Suite bornée fois suite de limite nulle. Si $|u_n|\le M$ avec $M>0$ et $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $|v_n|\le\frac\varepsilon M$ pour $n\ge N$, donc $|u_nv_n|\le\varepsilon$.

Soit $m$ un minorant de $(u_n)$ et $A\in\mathbb R$. Comme $v_n\to+\infty$, il existe $N$ tel que $v_n\ge A-m$ pour $n\ge N$. Alors $u_n+v_n\ge m+(A-m)=A$ pour $n\ge N$. Donc $u_n+v_n\to+\infty$.

Par l'absurde, supposons $\ell>\ell'$. La suite $w_n=u_n-v_n$ converge vers $\ell-\ell'>0$. D'après la section précédente, il existe $N_1$ tel que $w_n\ge\frac{\ell-\ell'}2>0$ pour $n\ge N_1$. Par hypothèse, il existe $N_2$ tel que $w_n\le0$ pour $n\ge N_2$. Pour $n\ge\max(N_1,N_2)$, on obtient $0<w_n\le0$ : contradiction. Donc $\ell\le\ell'$.

Soit $n_0$ un rang à partir duquel $u_n\le v_n\le w_n$, et soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $\ell-\varepsilon\le u_n$ pour $n\ge N_1$, et $N_2$ tel que $w_n\le\ell+\varepsilon$ pour $n\ge N_2$. Pour $n\ge\max(n_0,N_1,N_2)$ : $$\ell-\varepsilon\le u_n\le v_n\le w_n\le\ell+\varepsilon,$$ c'est-à-dire $|v_n-\ell|\le\varepsilon$. Donc $v_n\to\ell$.

Soit $n_0$ tel que $u_n\ge v_n$ pour $n\ge n_0$, et $A\in\mathbb R$. Il existe $N$ tel que $v_n\ge A$ pour $n\ge N$. Pour $n\ge\max(n_0,N)$, $u_n\ge v_n\ge A$. Donc $u_n\to+\infty$. Le second point s'obtient en appliquant le premier à $(-u_n)$ et $(-w_n)$.

Cas majoré. L'ensemble $E=\{u_n,\ n\in\mathbb N\}$ est non vide et majoré : par la propriété de la borne supérieure, il admet une borne supérieure $S$. Soit $\varepsilon>0$. Le réel $S-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $E$ (car $S$ est le plus petit), donc il existe $N$ tel que $u_N>S-\varepsilon$. Pour $n\ge N$, la croissance et la définition de $S$ donnent $$S-\varepsilon<u_N\le u_n\le S,$$ donc $|u_n-S|\le\varepsilon$. Ainsi $u_n\to S$.

Cas non majoré. Soit $A\in\mathbb R$. Comme $A$ ne majore pas la suite, il existe $N$ tel que $u_N>A$. Pour $n\ge N$, $u_n\ge u_N>A$. Donc $u_n\to+\infty$.

Cas décroissant. On applique ce qui précède à la suite croissante $(-u_n)$.

Posons $w_n=v_n-u_n$. On a $w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)\le0$ : $(w_n)$ est décroissante. Fixons $n$. Pour tout $p\ge n$, $w_p\le w_n$ ; en passant à la limite quand $p\to+\infty$ (la suite $(w_p)$ converge vers $0$), on obtient $0\le w_n$. Donc $u_n\le v_n$ pour tout $n$.

Par monotonie, $u_0\le u_n\le v_n\le v_0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $\ell$. La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel $\ell'$. Alors $\ell'-\ell=\lim(v_n-u_n)=0$, donc $\ell=\ell'$.

Enfin, $(u_n)$ croissante de limite $\ell$ donne $u_n\le\ell$, et $(v_n)$ décroissante de limite $\ell$ donne $\ell\le v_n$.

Par récurrence. On a $\varphi(0)\ge0$ car $\varphi(0)\in\mathbb N$. Si $\varphi(n)\ge n$, alors $\varphi(n+1)>\varphi(n)\ge n$ ; comme $\varphi(n+1)$ est un entier strictement supérieur à $n$, on a $\varphi(n+1)\ge n+1$.

Cas $\ell\in\mathbb R$. Soit $\varepsilon>0$ et $N$ tel que $|u_n-\ell|\le\varepsilon$ pour $n\ge N$. Pour $n\ge N$, le lemme donne $\varphi(n)\ge n\ge N$, donc $|u_{\varphi(n)}-\ell|\le\varepsilon$.

Le cas $\ell=+\infty$ est identique, en remplaçant $|u_n-\ell|\le\varepsilon$ par $u_n\ge A$ ; de même pour $-\infty$.

Soit $\varepsilon>0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_{2k}-\ell|\le\varepsilon$ pour $k\ge N_1$, et $N_2$ tel que $|u_{2k+1}-\ell|\le\varepsilon$ pour $k\ge N_2$. Posons $N=\max(2N_1,\,2N_2+1)$ et soit $n\ge N$.

• Si $n=2k$ est pair, alors $2k\ge2N_1$, donc $k\ge N_1$ et $|u_n-\ell|\le\varepsilon$.
• Si $n=2k+1$ est impair, alors $2k+1\ge2N_2+1$, donc $k\ge N_2$ et $|u_n-\ell|\le\varepsilon$.

Donc $u_n\to\ell$. Le résultat tient parce que les rangs pairs et impairs recouvrent tout $\mathbb N$.

Soit $(u_n)$ bornée : il existe $a_0\le b_0$ tels que $a_0\le u_n\le b_0$ pour tout $n$.

Construction des segments. On construit par récurrence des réels $a_k\le b_k$ tels que $[a_{k+1},b_{k+1}]\subset[a_k,b_k]$, $b_k-a_k=\frac{b_0-a_0}{2^k}$, et tels que l'ensemble $E_k=\{n\in\mathbb N,\ u_n\in[a_k,b_k]\}$ soit infini. Au départ, $E_0=\mathbb N$ est infini. Supposons $a_k,b_k$ construits et posons $m=\frac{a_k+b_k}2$. On a $$E_k=\{n,\ u_n\in[a_k,m]\}\cup\{n,\ u_n\in[m,b_k]\}.$$ Une réunion de deux ensembles finis est finie ; comme $E_k$ est infini, l'un des deux est infini. On choisit la moitié correspondante comme $[a_{k+1},b_{k+1}]$.

Limite des bornes. La suite $(a_k)$ est croissante, $(b_k)$ est décroissante et $b_k-a_k\to0$ : elles sont adjacentes et convergent vers une même limite $c$.

Construction de l'extraction. On pose $\varphi(0)=0$. Si $\varphi(k)$ est construit, l'ensemble $E_{k+1}$ est infini, donc il contient un entier strictement supérieur à $\varphi(k)$ ; on note $\varphi(k+1)$ un tel entier. Alors $\varphi$ est strictement croissante et $a_k\le u_{\varphi(k)}\le b_k$ pour tout $k$.

Par encadrement, $u_{\varphi(k)}\to c$.

Sens direct. Supposons $M=\sup A$. Alors $M$ majore $A$. Pour $n\in\mathbb N$, le réel $M-\frac1{n+1}$ est strictement inférieur à $M$, donc ce n'est pas un majorant de $A$ : il existe $a_n\in A$ tel que $$M-\frac1{n+1}<a_n\le M.$$ Par encadrement, $a_n\to M$.

Réciproque. Supposons que $M$ majore $A$ et que $a_n\to M$ avec $a_n\in A$. Soit $M'$ un majorant quelconque de $A$. Pour tout $n$, $a_n\le M'$ ; par passage à la limite, $M\le M'$. Ainsi $M$ est un majorant inférieur ou égal à tous les majorants : c'est le plus petit, donc $M=\sup A$.

Le cas de la borne inférieure s'obtient en appliquant ce résultat à $-A=\{-a,\ a\in A\}$.

Sens direct. Soit $x\in\mathbb R$. Pour tout $n$, l'intervalle $\left]x-\frac1{n+1},x+\frac1{n+1}\right[$ contient un élément $d_n$ de $D$. Alors $|d_n-x|<\frac1{n+1}$, donc $d_n\to x$.

Réciproque. Soient $a<b$, $x=\frac{a+b}2$ et $(d_n)$ une suite d'éléments de $D$ qui converge vers $x$. Avec $\varepsilon=\frac{b-a}4$, il existe $N$ tel que $|d_N-x|\le\frac{b-a}4<\frac{b-a}2$. Donc $d_N\in]a,b[$.

Par récurrence : $u_0\in I$. Si $u_n$ est défini et appartient à $I$, alors $u_n\in D$, donc $u_{n+1}=f(u_n)$ est défini, et $u_{n+1}\in f(I)\subset I$.

1. Pour tout $n$, $u_n\in I$, donc $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\ge0$.

2. Supposons $u_0\le u_1$ et montrons par récurrence que $u_n\le u_{n+1}$. C'est vrai pour $n=0$. Si $u_n\le u_{n+1}$, ces deux réels sont dans $I$ et $f$ est croissante sur $I$, donc $f(u_n)\le f(u_{n+1})$, soit $u_{n+1}\le u_{n+2}$. Le cas $u_0\ge u_1$ est identique.

3. La fonction $g=f\circ f$ est croissante sur $I$ (composée de deux fonctions décroissantes) et $I$ est stable par $g$. Comme $u_{2(n+1)}=g(u_{2n})$ et $u_{2(n+1)+1}=g(u_{2n+1})$, le point 2 appliqué à $g$ montre que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones. Si par exemple $u_0\le u_2$, alors en appliquant $f$ décroissante, $u_1=f(u_0)\ge f(u_2)=u_3$ : la suite $(u_{2n})$ est croissante et $(u_{2n+1})$ décroissante. L'autre cas est symétrique.

La suite $(u_{n+1})$ est extraite de $(u_n)$, donc $u_{n+1}\to\ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$ et caractérisation séquentielle de la continuité (admise ici, démontrée dans le chapitre « Limites et continuité »), $f(u_n)\to f(\ell)$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, l'unicité de la limite donne $f(\ell)=\ell$.