Erreurs fréquentes : Polynômes (Prépa, 1re année)
Les polynômes forment le cadre algébrique le plus simple où l'on sait diviser, factoriser et relier les coefficients aux racines, comme dans les entiers mais avec des outils de dérivation en plus. Ce chapitre fixe les résultats (division euclidienne, multiplicité, formule de Taylor, factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$, interpolation de Lagrange) qui serviront en algèbre linéaire, en analyse et dans presque tous les sujets de concours.
Écrire $\deg(P+Q)=\max(\deg P,\deg Q)$ dans tous les cas.
On a seulement $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$. L'égalité est garantie si $\deg P\neq\deg Q$ ; sinon les coefficients dominants peuvent se compenser, comme dans $(X+1)^n-(X-1)^n$, de degré $n-1$.
Conclure de $P(a)=P'(a)=0$ que $a$ est racine double.
Cela montre seulement que la multiplicité est au moins $2$. Pour qu'elle soit exactement $2$, il faut aussi $P''(a)\neq 0$.
Affirmer qu'un polynôme réel sans racine réelle est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$.
Ce n'est vrai qu'en degré $2$. Contre-exemple : $X^4+1=(X^2-\sqrt2X+1)(X^2+\sqrt2X+1)$. Les irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont de degré $1$ ou de degré $2$ à discriminant négatif.
Écrire $\sum x_i=a_{n-1}$ ou $\prod x_i=a_0/a_n$ sans tenir compte des signes, ou oublier de compter les racines avec leur multiplicité.
La relation exacte est $\sigma_k=(-1)^ka_{n-k}/a_n$, valable pour un polynôme scindé dont les racines sont répétées selon leur multiplicité. Par exemple, pour $(X-1)^2(X+2)$, les racines sont $1,1,-2$ et $\sigma_1=0$.
Appliquer la propriété des racines conjuguées à un polynôme à coefficients complexes.
La propriété $P(\overline{z})=\overline{P(z)}$ exige des coefficients réels. Pour $P=X-i$, $i$ est racine mais $-i$ ne l'est pas.
Pour le reste de la division par $(X-a)^2$, n'évaluer qu'en $a$ et obtenir une seule équation pour deux inconnues.
Quand $a$ est racine double du diviseur, on dérive l'égalité $A=BQ+R$ puis on évalue en $a$ : on obtient $A(a)=R(a)$ et $A'(a)=R'(a)$.
Dire que le polynôme interpolant $n+1$ points est unique, sans condition de degré.
L'unicité n'a lieu que dans $\mathbb{K}_n[X]$. Sans condition de degré, on peut ajouter tout multiple de $\prod_{j=0}^n(X-x_j)$.
Arrêter une division euclidienne quand le reste a le même degré que le diviseur.
On continue tant que $\deg R\geq\deg B$. La division s'arrête seulement quand $\deg R<\deg B$ ; on vérifie à la fin en développant $BQ+R$.