Prépa · MPSI / MP2I

Fiche résumé : Polynômes (Prépa, 1re année)

Les polynômes forment le cadre algébrique le plus simple où l'on sait diviser, factoriser et relier les coefficients aux racines, comme dans les entiers mais avec des outils de dérivation en plus. Ce chapitre fixe les résultats (division euclidienne, multiplicité, formule de Taylor, factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$, interpolation de Lagrange) qui serviront en algèbre linéaire, en analyse et dans presque tous les sujets de concours.

$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ ; $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$, égalité si les degrés diffèrent ; $\deg 0=-\infty$.
$\mathbb{K}[X]$ est un anneau commutatif intègre ; ses inversibles sont les constantes non nulles.
Division euclidienne : si $B\neq 0$, il existe un unique $(Q,R)$ avec $A=BQ+R$ et $\deg R<\deg B$.
$P(a)=0\iff(X-a)\mid P$ ; le reste de $P$ par $X-a$ est $P(a)$.
Des racines distinctes $a_1,\dots,a_p$ donnent $\prod(X-a_i)\mid P$ ; un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines (comptées avec multiplicité).
Un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ ayant $n+1$ racines distinctes est nul ; un polynôme ayant une infinité de racines est nul.
$a$ racine de multiplicité $m$ : $P=(X-a)^mQ$ avec $Q(a)\neq 0$, ou encore $P(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\neq 0$.
Leibniz : $(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom nkP^{(k)}Q^{(n-k)}$.
Taylor : pour $P\in\mathbb{K}_n[X]$, $P=\sum_{k=0}^n\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$.
Scindé : $P=\lambda\prod_{i=1}^n(X-x_i)$ ; alors $\sigma_k=(-1)^k\dfrac{a_{n-k}}{a_n}$, $\sum x_i=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$, $\prod x_i=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}$.
D'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ a une racine, donc est scindé sur $\mathbb{C}$.
Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ : degré $1$. Irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ : degré $1$, et degré $2$ à discriminant $<0$.
$P\in\mathbb{R}[X]$ : $z$ et $\overline{z}$ sont racines de même multiplicité ; $(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\,\mathrm{Re}(z)X+|z|^2$.
$X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})$.
Lagrange : $L_i=\prod_{j\neq i}\dfrac{X-x_j}{x_i-x_j}$, $L_i(x_k)=\delta_{i,k}$ ; l'unique $P\in\mathbb{K}_n[X]$ avec $P(x_i)=y_i$ est $\sum y_iL_i$ ; les autres solutions sont $P+\prod_j(X-x_j)\,S$.