QCM : Polynômes (Prépa, 1re année)
Les polynômes forment le cadre algébrique le plus simple où l'on sait diviser, factoriser et relier les coefficients aux racines, comme dans les entiers mais avec des outils de dérivation en plus. Ce chapitre fixe les résultats (division euclidienne, multiplicité, formule de Taylor, factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$, interpolation de Lagrange) qui serviront en algèbre linéaire, en analyse et dans presque tous les sujets de concours.
Quel est le degré du polynôme $P=(X^2+1)^3-(X^3+X)^2$ ?
On développe : $(X^2+1)^3=X^6+3X^4+3X^2+1$ et $(X^3+X)^2=X^6+2X^4+X^2$. Donc $P=X^4+2X^2+1$, de degré $4$. Le piège principal consiste à répondre $6$ en appliquant $\deg(P+Q)=\max(\deg P,\deg Q)$ alors que les deux termes ont le même degré et que leurs termes dominants $X^6$ se compensent. On cherche toujours le premier coefficient non nul.
Quel est le reste de la division euclidienne de $X^{10}$ par $X^2-1$ ?
On écrit $X^{10}=(X^2-1)Q+\alpha X+\beta$. En $1$ : $1=\alpha+\beta$. En $-1$ : $1=-\alpha+\beta$. Donc $\alpha=0$ et $\beta=1$ : le reste est $1$. Le choix $X^8$ confond le reste avec le quotient (ou avec le premier monôme du quotient) ; le reste doit être de degré strictement inférieur à $2$. Le choix $0$ supposerait que $X^2-1$ divise $X^{10}$, ce qui est faux puisque $X^{10}$ ne s'annule pas en $1$.
Soit $P=X^5-5X+4$. Que peut-on dire du réel $1$ ?
$P(1)=1-5+4=0$. $P'=5X^4-5$ donc $P'(1)=0$. $P''=20X^3$ donc $P''(1)=20\neq 0$. La première dérivée non nulle en $1$ est d'ordre $2$ : $1$ est racine double. L'erreur « simple » vient d'un arrêt après $P(1)=0$ sans examiner $P'(1)$ ; l'erreur « triple » vient d'un décompte décalé (compter $P$, $P'$ et $P''$ comme trois annulations).
Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines complexes, comptées avec multiplicité, de $P=X^3+2X^2-X+3$. Que vaut $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ ?
Les relations coefficients-racines donnent $\sigma_1=-\dfrac{2}{1}=-2$ et $\sigma_2=\dfrac{-1}{1}=-1$. Alors $x_1^2+x_2^2+x_3^2=\sigma_1^2-2\sigma_2=4+2=6$. Le résultat $2$ provient d'une erreur de signe sur $\sigma_2$ (prendre $\sigma_2=1$) ou de l'identité fausse $\sigma_1^2+2\sigma_2$ ; le résultat $5$ provient de l'oubli du facteur $2$ devant $\sigma_2$.
Quelle est la factorisation de $X^4+X^2+1$ en produit d'irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ ?
$X^4+X^2+1=(X^2+1)^2-X^2=(X^2-X+1)(X^2+X+1)$, et chaque facteur est de degré $2$ à discriminant $-3<0$, donc irréductible dans $\mathbb{R}[X]$. Le premier choix est le piège classique : l'absence de racine réelle ne prouve l'irréductibilité qu'en degré $2$. Le dernier choix est la factorisation dans $\mathbb{C}[X]$, dont les facteurs ne sont pas réels. Le choix $(X^2+1)^2$ vaut $X^4+2X^2+1$.
Parmi les polynômes suivants, lequel est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ ?
$X^2+X+1$ est de degré $2$ et de discriminant $1-4=-3<0$ : il est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$. $X^3+1$ admet la racine $-1$ ; d'ailleurs aucun polynôme réel de degré $\geq 3$ n'est irréductible. $X^4+4=(X^2+2)^2-4X^2=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$, bien qu'il n'ait pas de racine réelle. $X^2-2=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)$ : le piège est de raisonner sur $\mathbb{Q}$ au lieu de $\mathbb{R}$.
Combien existe-t-il de polynômes $P\in\mathbb{R}[X]$ (sans condition sur le degré) tels que $P(-1)=2$, $P(0)=1$ et $P(1)=2$ ?
L'unique polynôme de $\mathbb{R}_2[X]$ qui convient est $X^2+1$. Sans condition de degré, les solutions sont les $X^2+1+(X+1)X(X-1)S$ avec $S\in\mathbb{R}[X]$ quelconque : il y en a une infinité. Le piège est d'oublier que l'unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange n'a lieu que dans $\mathbb{K}_n[X]$, ici $\mathbb{R}_2[X]$.
On considère les abscisses $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=3$. Quel est le polynôme de Lagrange $L_0$ associé ?
$L_0=\dfrac{(X-1)(X-3)}{(0-1)(0-3)}=\dfrac{(X-1)(X-3)}{3}$, qui vérifie $L_0(0)=1$, $L_0(1)=L_0(3)=0$. Le choix $(X-1)(X-3)$ oublie la normalisation, et vaut $3$ en $0$. Le choix avec le signe moins provient d'une erreur de signe dans le dénominateur $(0-1)(0-3)$. Le choix contenant $X$ inclut à tort le facteur $X-x_0$, ce qui donne un polynôme de degré $3$ nul en $0$.
Quel est le reste de la division euclidienne de $X^3$ par $(X-2)^2$ ?
On écrit $X^3=(X-2)^2Q+\alpha X+\beta$. En $2$ : $8=2\alpha+\beta$. En dérivant puis en évaluant en $2$ (racine double du diviseur) : $3\cdot 4=\alpha$, donc $\alpha=12$ et $\beta=8-24=-16$. Contrôle : $X^3-12X+16=(X-2)^2(X+4)$. Les choix $8$ et $4X$ proviennent d'une seule évaluation en $2$, insuffisante pour deux inconnues ; $12X+8$ confond $\beta$ avec $P(2)$.
Dans la formule de Taylor de $P=X^4$ en $a=1$, quel est le coefficient de $(X-1)^2$ ?
Le coefficient de $(X-1)^2$ est $\dfrac{P''(1)}{2!}$. Or $P''=12X^2$, donc $P''(1)=12$ et le coefficient vaut $6$. On retrouve le coefficient binomial $\binom42=6$ dans $X^4=\big((X-1)+1\big)^4$. Le choix $12$ correspond à l'oubli de la division par $2!$, le piège le plus fréquent ; le choix $4$ correspond à $P'(1)$, coefficient de $(X-1)$.