Polynômes

Si $P=0$ ou $Q=0$, alors $PQ=0$ et les deux membres valent $-\infty$. Sinon, notons $n=\deg P$, $p=\deg Q$, $P=\sum a_kX^k$, $Q=\sum b_kX^k$. Le coefficient de $X^m$ dans $PQ$ est $c_m=\sum_{k=0}^{m}a_kb_{m-k}$.

Si $m>n+p$, dans chaque terme on a $k>n$ ou $m-k>p$ (sinon $m=k+(m-k)\leq n+p$), donc $a_kb_{m-k}=0$ et $c_m=0$.

Pour $m=n+p$, le seul terme éventuellement non nul est celui où $k=n$ et $m-k=p$ : $c_{n+p}=a_nb_p\neq 0$ car $\mathbb{K}$ est un corps. Donc $\deg(PQ)=n+p$ et le coefficient dominant est $a_nb_p$.

Si $PQ=0$, alors $\deg P+\deg Q=-\infty$, donc l'un des deux degrés vaut $-\infty$ : $P=0$ ou $Q=0$. Si $PQ=PR$ avec $P\neq 0$, alors $P(Q-R)=0$ donc $Q=R$.

Si $PQ=1$, alors $\deg P+\deg Q=0$ avec deux degrés positifs (aucun n'est nul car $PQ\neq 0$), donc $\deg P=0$ : $P$ est une constante non nulle. Réciproquement, une constante $\lambda\neq 0$ a pour inverse $\lambda^{-1}$.

Unicité. Si $A=BQ+R=BQ'+R'$ avec $\deg R<\deg B$ et $\deg R'<\deg B$, alors $B(Q-Q')=R'-R$. Si $Q\neq Q'$, le membre de gauche est de degré $\deg B+\deg(Q-Q')\geq\deg B$, tandis que $\deg(R'-R)<\deg B$ : contradiction. Donc $Q=Q'$, puis $R=R'$.

Existence. Notons $p=\deg B$ et $b_p$ le coefficient dominant de $B$. On montre par récurrence forte sur $n\in\mathbb{N}$ la propriété : tout $A$ de degré $\leq n$ admet une division par $B$. Le cas $A=0$ est réglé par $Q=R=0$.

• Si $\deg A<p$, on prend $Q=0$ et $R=A$.
• Si $\deg A=n\geq p$, de coefficient dominant $a_n$, on pose $A_1=A-\dfrac{a_n}{b_p}X^{n-p}B$. Les termes en $X^n$ se compensent, donc $\deg A_1<n$. Par hypothèse de récurrence, $A_1=BQ_1+R_1$ avec $\deg R_1<p$. Alors $$A=B\Big(Q_1+\frac{a_n}{b_p}X^{n-p}\Big)+R_1,$$ ce qui donne la division cherchée.

La division euclidienne donne $P=(X-a)Q+R$ avec $\deg R<1$, donc $R$ est une constante $c$. En évaluant en $a$ : $P(a)=0\cdot Q(a)+c=c$. Ainsi $R=P(a)$, et $(X-a)\mid P$ si et seulement si $R=0$, c'est-à-dire $P(a)=0$.

Récurrence sur $p$. Pour $p=1$, c'est la propriété précédente. Supposons $P=\prod_{i=1}^{p}(X-a_i)\,Q$ et $a_{p+1}$ racine distincte des précédentes. En évaluant en $a_{p+1}$ : $0=\prod_{i=1}^{p}(a_{p+1}-a_i)\,Q(a_{p+1})$, et le produit est non nul car les $a_i$ sont distincts. Donc $Q(a_{p+1})=0$, puis $Q=(X-a_{p+1})Q_1$, ce qui donne $\prod_{i=1}^{p+1}(X-a_i)\mid P$.

Si $P\neq 0$ a $p$ racines distinctes, il est divisible par un polynôme de degré $p$, donc $p\leq\deg P$.

Récurrence sur $p$, le cas $p=1$ étant la définition. Supposons $P=\prod_{i=1}^{p-1}(X-a_i)^{m_i}\,Q$. Notons $D=\prod_{i=1}^{p-1}(X-a_i)^{m_i}$, qui vérifie $D(a_p)\neq 0$. On écrit $P=(X-a_p)^{m_p}S$. Montrons que $(X-a_p)^{k}\mid Q$ pour $k=0,\dots,m_p$, par récurrence sur $k$. Si $Q=(X-a_p)^kQ_k$ avec $k<m_p$, alors $DQ_k(X-a_p)^k=(X-a_p)^{m_p}S$ et, par intégrité, $DQ_k=(X-a_p)^{m_p-k}S$. En évaluant en $a_p$ : $D(a_p)Q_k(a_p)=0$, donc $Q_k(a_p)=0$ et $(X-a_p)\mid Q_k$. Finalement $(X-a_p)^{m_p}\mid Q$, d'où le résultat.

Le polynôme $S=P\circ(X+a)$ est de degré $\leq n$ ; écrivons $S=\sum_{j=0}^n b_jX^j$. En composant par $X-a$ : $P=S\circ(X-a)=\sum_{j=0}^n b_j(X-a)^j$.

Dérivons $k$ fois (avec $0\leq k\leq n$) puis évaluons en $a$. D'après la dernière règle de calcul, la dérivée $k$-ième de $(X-a)^j$ s'annule en $a$ sauf si $j=k$, où elle vaut $k!$. Donc $P^{(k)}(a)=k!\,b_k$, soit $b_k=\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}$, ce qui est la formule annoncée.

Sens direct. Écrivons $P=(X-a)^mQ$ avec $Q(a)\neq 0$. Par la formule de Leibniz, pour tout $k$ : $$P^{(k)}(a)=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\big((X-a)^m\big)^{(i)}(a)\,Q^{(k-i)}(a).$$ Le facteur $\big((X-a)^m\big)^{(i)}(a)$ est nul sauf pour $i=m$. Si $k<m$, l'indice $i=m$ n'apparaît pas : $P^{(k)}(a)=0$. Si $k=m$, il reste $P^{(m)}(a)=m!\,Q(a)\neq 0$.

Réciproque. Soit $n=\deg P$ (on a $n\geq m$ car $P^{(m)}\neq 0$). Par la formule de Taylor, les termes d'indice $k<m$ sont nuls, donc $$P=(X-a)^mQ\quad\text{avec}\quad Q=\sum_{k=m}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^{k-m},$$ et $Q(a)=\dfrac{P^{(m)}(a)}{m!}\neq 0$. Donc $a$ est racine de multiplicité $m$.

On développe $\prod_{i=1}^{n}(X-x_i)$ en choisissant, dans chaque facteur, soit $X$, soit $-x_i$. Un terme en $X^{n-k}$ s'obtient en choisissant $-x_i$ dans exactement $k$ facteurs, d'indices $i_1<\cdots<i_k$, et $X$ dans les autres ; il vaut $(-1)^kx_{i_1}\cdots x_{i_k}X^{n-k}$. En sommant sur toutes les parties à $k$ éléments : $$\prod_{i=1}^{n}(X-x_i)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\sigma_kX^{n-k}\qquad(\sigma_0=1).$$ Comme $P=a_n\prod_{i=1}^n(X-x_i)$, l'identification des coefficients de $X^{n-k}$ donne $a_{n-k}=a_n(-1)^k\sigma_k$, d'où le résultat.

Récurrence sur $n=\deg P\geq 1$. Si $n=1$, $P=\lambda(X-a)$. Si $\deg P=n+1$, d'Alembert-Gauss fournit une racine $a$, donc $P=(X-a)Q$ avec $\deg Q=n$ ; par hypothèse de récurrence $Q$ est scindé, donc $P$ aussi.

Si $P$ est irréductible, il est scindé, donc divisible par un $X-a$ ; ce diviseur n'est pas constant, il est donc associé à $P$, et $\deg P=1$.

L'unicité vient de ce que les $a_i$ sont nécessairement les racines de $P$ et les $m_i$ leurs multiplicités.

Si $P=\sum a_kX^k$ avec $a_k\in\mathbb{R}$, alors $\overline{P(z)}=\sum\overline{a_k}\,\overline{z}^k=\sum a_k\overline{z}^k=P(\overline{z})$.

Les dérivées $P^{(k)}$ sont aussi à coefficients réels, donc $P^{(k)}(\overline{z})=\overline{P^{(k)}(z)}$, et $P^{(k)}(\overline{z})=0\iff P^{(k)}(z)=0$. Par la caractérisation de la multiplicité par les dérivées, $z$ et $\overline{z}$ ont la même multiplicité.

Existence. Dans $\mathbb{C}[X]$, $P=\lambda\prod(X-a_i)^{m_i}\prod(X-z_j)^{n_j}(X-\overline{z_j})^{n_j}$, où les $a_i$ sont les racines réelles et où les racines non réelles sont regroupées par paires conjuguées $z_j,\overline{z_j}$ de même multiplicité (propriété précédente) ; $\lambda$ est réel comme coefficient dominant de $P$. Or $$(X-z_j)(X-\overline{z_j})=X^2-2\,\mathrm{Re}(z_j)X+|z_j|^2\in\mathbb{R}[X],$$ de discriminant $4\mathrm{Re}(z_j)^2-4|z_j|^2=-4\,\mathrm{Im}(z_j)^2<0$. L'unicité découle de celle de la factorisation dans $\mathbb{C}[X]$.

Irréductibles. Un polynôme réel de degré $2$ et de discriminant $<0$ n'a pas de racine réelle ; un diviseur non constant et non associé serait de degré $1$, donc fournirait une racine réelle : il est irréductible. Réciproquement, si $P$ est irréductible, sa factorisation ne contient qu'un facteur, de degré $1$ ou de degré $2$ à discriminant négatif.

Existence. $P=\sum y_iL_i$ est de degré $\leq n$ comme combinaison des $L_i$, et $P(x_k)=\sum_i y_i\delta_{i,k}=y_k$.

Unicité. Si $P_1,P_2\in\mathbb{K}_n[X]$ conviennent, $P_1-P_2\in\mathbb{K}_n[X]$ s'annule en les $n+1$ points distincts $x_0,\dots,x_n$, donc $P_1-P_2=0$.

Solutions générales. $Q$ convient si et seulement si $Q-P$ s'annule en tous les $x_j$, c'est-à-dire, les $x_j$ étant distincts, si et seulement si $\prod_{j}(X-x_j)$ divise $Q-P$ (section 3).