Relation de Pascal : énoncé (MPSI)
Relation de Pascal
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $k\in\mathbb{Z}$ : $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$$
Démonstration : Relation de Pascal
Preuve de la relation de Pascal
Cas $0\leqslant k\leqslant n-1$. On réduit au dénominateur commun $(k+1)!\,(n-k)!$ : $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!} = \frac{n!\,\big[(k+1) + (n-k)\big]}{(k+1)!\,(n-k)!} = \frac{(n+1)!}{(k+1)!\,(n-k)!}.$$ Comme $(n+1)-(k+1) = n-k$, c'est $\binom{n+1}{k+1}$.
Cas $k=n$. $\binom{n}{n}+\binom{n}{n+1} = 1 + 0 = 1 = \binom{n+1}{n+1}$.
Cas $k=-1$. $\binom{n}{-1}+\binom{n}{0} = 0+1 = 1 = \binom{n+1}{0}$.
Cas $k\leqslant -2$ ou $k\geqslant n+1$. Les trois coefficients sont nuls.
Triangle de Pascal
La relation de Pascal permet de calculer les coefficients de proche en proche : chaque coefficient est la somme de celui situé au-dessus et de celui situé au-dessus à gauche.
| $n \backslash k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Une récurrence sur $n$ fondée sur cette relation montre que les $\binom{n}{k}$ sont des entiers naturels, ce qui ne se voit pas sur la formule avec factorielles.
L'interprétation combinatoire ($\binom{n}{k}$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments) sera établie dans le chapitre de dénombrement.
S’entraîner
- Formule de sommation sur une colonne du triangle de Pascal
- Nombres harmoniques et coefficients binomiaux (type Mines-Ponts)