Exercice corrigé : Nombres harmoniques et coefficients binomiaux (type Mines-Ponts)

Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $H_n=\sum_{j=1}^{n}\frac1j$ et $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\binom nk.$$

1. Soient $n\in\mathbb{N}$ et $k\in[\![1,n+1]\!]$. Montrer que $\binom{n+1}{k}-\binom nk=\binom n{k-1}$ et que $\dfrac1k\binom n{k-1}=\dfrac{1}{n+1}\binom{n+1}{k}$.
2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que $S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{n+1}$.
3. En déduire que $S_n=H_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. Vérifier pour $n=2$.
4. Montrer que pour $n\in\mathbb{N}^*$, $\sum_{k=1}^{n}H_k=(n+1)H_n-n$.
5. Exprimer de même $\sum_{k=1}^{n}k\,H_k$ en fonction de $n$ et de $H_n$.