Prépa, 1re année › Sommes et produits › Formule d'absorption
Formule d'absorption : énoncé (MPSI)
Propriété
Formule d'absorption
Pour $n\geqslant1$ et $1\leqslant k\leqslant n$ : $$k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}.$$
Démonstration : Formule d'absorption
Démonstration
Preuve de la formule d'absorption
Pour $1\leqslant k\leqslant n$, on a $k! = k\,(k-1)!$ et $n! = n\,(n-1)!$. Donc $$k\binom{n}{k} = \frac{k\; n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n\,(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}.$$ Comme $(n-1)-(k-1) = n-k$ et $0\leqslant k-1\leqslant n-1$, on reconnaît $n\binom{n-1}{k-1}$.
S’entraîner
- Coefficients binomiaux et développements
- Sommes pondérées de coefficients binomiaux
- Coefficients binomiaux d'indice pair
- Formule de sommation sur une colonne du triangle de Pascal
- Binôme et nombres complexes