Erreurs fréquentes : Structures algébriques usuelles (Prépa, 1re année)
Groupes, anneaux et corps sont les cadres communs à des objets déjà rencontrés : nombres, fonctions, permutations, polynômes, matrices. Les reconnaître permet de démontrer une seule fois des règles de calcul valables partout, puis de transporter des résultats d'un ensemble à un autre grâce aux morphismes.
Oublier de vérifier que la loi est interne, ou que le neutre appartient à la partie étudiée (par exemple affirmer que $\mathbb R^*_-$ est un sous-groupe de $(\mathbb R^*,\times)$).
Commencer toujours par vérifier que $x\star y$ reste dans l'ensemble et que $e\in H$. Ici $1\notin\mathbb R_-^*$ et $(-1)(-1)=1\notin\mathbb R_-^*$ : ce n'est pas un sous-groupe.
Écrire $(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}$ ou $(xy)^n=x^ny^n$ dans un groupe quelconque.
En général $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ : l'ordre s'inverse. L'égalité $(xy)^n=x^ny^n$ n'est garantie que si $xy=yx$.
Vérifier une seule des deux égalités $xy=e$ et $yx=e$ pour conclure que $x$ est symétrisable, dans une structure non commutative.
Les deux égalités sont nécessaires. Contre-exemple : dans $\mathbb N^{\mathbb N}$, avec $s(n)=n+1$ et $g(n)=\max(n-1,0)$, on a $g\circ s=\mathrm{id}$ mais $s\circ g\neq\mathrm{id}$.
Penser que la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.
C'est l'intersection qui est un sous-groupe. $2\mathbb Z\cup3\mathbb Z$ contient $2$ et $3$ mais pas $5$.
Chercher le noyau d'un morphisme multiplicatif en résolvant $f(x)=0$, par exemple écrire que le noyau de $z\mapsto|z|$ sur $\mathbb C^*$ est $\{0\}$.
Le noyau est l'ensemble des antécédents du neutre du groupe d'arrivée. Pour $(\mathbb R_+^*,\times)$, ce neutre est $1$ : le noyau est $\mathbb U$, et le morphisme n'est pas injectif.
Appliquer le binôme de Newton ou la factorisation de $a^n-b^n$ à des éléments qui ne commutent pas, notamment des matrices.
Vérifier $ab=ba$ avant toute utilisation. Sinon, $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2$.
Simplifier $ab=ac$ en $b=c$ dans un anneau qui n'est pas intègre, par exemple dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ ou $\mathbb R^2$.
La simplification par $a\neq0$ est valable dans un anneau intègre, ou si $a$ est inversible. Dans $\mathbb R^2$ : $(1,0)(0,1)=(1,0)(0,2)$ alors que $(0,1)\neq(0,2)$.
Oublier la condition $1_A\in B$ pour un sous-anneau, ou $f(1_A)=1_B$ pour un morphisme d'anneaux.
Ces conditions ne se déduisent pas des autres : $2\mathbb Z$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb Z$, et $x\mapsto(x,0)$ n'est pas un morphisme d'anneaux de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$.