Fiche résumé : Structures algébriques usuelles (Prépa, 1re année)

Groupes, anneaux et corps sont les cadres communs à des objets déjà rencontrés : nombres, fonctions, permutations, polynômes, matrices. Les reconnaître permet de démontrer une seule fois des règles de calcul valables partout, puis de transporter des résultats d'un ensemble à un autre grâce aux morphismes.

Loi interne sur $E$ : application $E\times E\to E$. Le neutre, s'il existe, est unique. Si la loi est associative, le symétrique, s'il existe, est unique, et le symétrique de $x\star y$ est $y'\star x'$.
Groupe : loi associative, neutre, tout élément symétrisable. Abélien si la loi est commutative.
Groupes de référence : $(\mathbb Z,+)$, $(\mathbb R,+)$, $(\mathbb C,+)$, $(\mathbb R^*,\times)$, $(\mathbb C^*,\times)$, $(\mathbb U,\times)$, $(\mathbb U_n,\times)$, $(S(E),\circ)$ (non abélien si $E$ a au moins 3 éléments).
Dans un groupe : $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ ; $x^{m+n}=x^mx^n$, $(x^m)^n=x^{mn}$ ; simplification à gauche et à droite.
Sous-groupe : $H\subset G$ est un sous-groupe $\iff$ $e\in H$ et $\forall x,y\in H,\ xy^{-1}\in H$ (additif : $x-y\in H$).
Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe ; une réunion, en général non.
Les sous-groupes de $\mathbb Z$ sont les $n\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$.
Morphisme de groupes : $f(xy)=f(x)f(y)$. Alors $f(e)=e'$, $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$, $f(x^n)=f(x)^n$. Composée de morphismes : morphisme ; réciproque d'un isomorphisme : isomorphisme.
Image directe et image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme : sous-groupes.
$\mathrm{Ker}\,f=\{x,\ f(x)=e'\}$ sous-groupe de $G$ ; $\mathrm{Im}\,f=f(G)$ sous-groupe de $G'$.
$f$ injectif $\iff\mathrm{Ker}\,f=\{e\}$ ; $f$ surjectif $\iff\mathrm{Im}\,f=G'$.
À connaître : $\mathrm{Ker}(\theta\mapsto e^{i\theta})=2\pi\mathbb Z$, $\mathrm{Ker}(z\mapsto z^n)=\mathbb U_n$, $\mathrm{Ker}(z\mapsto|z|)=\mathbb U$.
Anneau $(A,+,\times)$ : $(A,+)$ groupe abélien, $\times$ associative avec unité $1_A$, distributive des deux côtés. Règles : $a\cdot0=0$, $(-a)b=-(ab)$.
Si $ab=ba$ : $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k}$ et $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$.
Sous-anneau : contient $1_A$, stable par différence et produit. Morphisme d'anneaux : respecte $+$, $\times$ et envoie $1_A$ sur $1_B$.
Anneau intègre : commutatif, non nul, $ab=0\Rightarrow a=0$ ou $b=0$. On y simplifie par un élément non nul.
Groupe des inversibles $A^\times$ : c'est un groupe pour $\times$. $\mathbb Z^\times=\{\pm1\}$, $\mathbb Z[i]^\times=\{\pm1,\pm i\}$, $\mathcal F(X,\mathbb R)^\times$ = fonctions sans zéro.
Corps : anneau commutatif non nul où $K^\times=K\setminus\{0\}$. Un corps est intègre. Sous-corps : sous-anneau stable par inverse des éléments non nuls. Exemple : $\mathbb Q(\sqrt2)$.
Un morphisme d'anneaux d'un corps vers un anneau non nul est injectif.