Structures algébriques usuelles

• L'addition et la multiplication sont des lois internes sur $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$.
• La soustraction est une loi interne sur $\mathbb Z$, mais pas sur $\mathbb N$ : $2-3\notin\mathbb N$.
• La composition $\circ$ est une loi interne sur l'ensemble $E^E=\mathcal F(E,E)$ des applications de $E$ dans $E$.
• L'intersection $\cap$ et la réunion $\cup$ sont des lois internes sur $\mathcal P(E)$.
• La division n'est pas une loi interne sur $\mathbb R$ (division par $0$), mais elle l'est sur $\mathbb R^*$.

• Dans $(\mathbb N,+)$, le neutre est $0$ et seul $0$ est symétrisable.
• Dans $(\mathbb Z,\times)$, le neutre est $1$ et les symétrisables sont $1$ et $-1$.
• Dans $(E^E,\circ)$, le neutre est $\mathrm{id}_E$ ; les symétrisables sont exactement les bijections, et le symétrique de $f$ est sa réciproque $f^{-1}$.
• Dans $(\mathcal P(E),\cup)$, le neutre est $\varnothing$ ; seul $\varnothing$ est symétrisable, car $A\cup B=\varnothing$ impose $A=\varnothing$.

La loi est interne sur $\mathbb R$ et commutative. L'identité clé est $$1-x\star y=1-x-y+xy=(1-x)(1-y).$$ Associativité. $1-(x\star y)\star z=(1-x\star y)(1-z)=(1-x)(1-y)(1-z)$, et de même $1-x\star(y\star z)=(1-x)(1-y)(1-z)$. Donc $(x\star y)\star z=x\star(y\star z)$.

Neutre. $x\star 0=x+0-0=x$ : le neutre est $0$.

Symétriques. $x\star y=0\iff(1-x)(1-y)=1$. Si $x=1$, c'est impossible : d'ailleurs $1\star y=1$ pour tout $y$. Si $x\neq 1$, on obtient $1-y=\dfrac{1}{1-x}$, soit $$y=\frac{x}{x-1}.$$ Conclusion : $0$ est neutre, et les éléments symétrisables sont les réels $x\neq 1$.

Ici $\mathbb U=\{z\in\mathbb C,\ |z|=1\}$, $\mathbb U_n=\{e^{2ik\pi/n},\ k\in\{0,\dots,n-1\}\}$ (qui a $n$ éléments) et $S(E)$ est l'ensemble des bijections de $E$ dans $E$. Pour $E=\{1,\dots,n\}$, on note $S_n$ le groupe symétrique, qui a $n!$ éléments.

Ce ne sont pas des groupes : $(\mathbb N,+)$ ($1$ n'a pas d'opposé), $(\mathbb Z,\times)$ ($2$ n'est pas inversible), $(\mathbb R,\times)$ ($0$ n'est pas inversible), $(\mathbb Z,-)$ (la soustraction n'est pas associative : $(1-1)-1=-1$ et $1-(1-1)=1$).

Soient $\tau_1$ la permutation qui échange $1$ et $2$, et $\tau_2$ celle qui échange $2$ et $3$. Alors $\tau_1\circ\tau_2(1)=\tau_1(1)=2$ et $\tau_2\circ\tau_1(1)=\tau_2(2)=3$. Donc $\tau_1\circ\tau_2\neq\tau_2\circ\tau_1$. Le même argument, appliqué à trois éléments distincts, montre que $S(E)$ n'est pas abélien dès que $E$ a au moins 3 éléments.

On reprend $x\star y=x+y-xy$ et on pose $G=\mathbb R\setminus\{1\}$.

• Loi interne sur $G$ : si $x\neq1$ et $y\neq1$, alors $1-x\star y=(1-x)(1-y)\neq0$, donc $x\star y\in G$.
• Associativité : déjà établie sur $\mathbb R$, elle reste vraie sur $G$.
• Neutre : $0\in G$.
• Symétrique : pour $x\in G$, le symétrique $\dfrac{x}{x-1}$ est dans $G$, car $\dfrac{x}{x-1}=1$ donnerait $x=x-1$.

Donc $(G,\star)$ est un groupe abélien.

• $\{e\}$ et $G$ sont des sous-groupes de $G$, dits triviaux.
• Pour $n\in\mathbb N$, $n\mathbb Z=\{nk,\ k\in\mathbb Z\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ : il contient $0$, et $nk-nk'=n(k-k')\in n\mathbb Z$.
• $\mathbb U$ est un sous-groupe de $(\mathbb C^*,\times)$ : $1\in\mathbb U$, et pour $z,w\in\mathbb U$, $|zw^{-1}|=|z|/|w|=1$.
• $\mathbb U_n$ est un sous-groupe de $\mathbb U$ : $1^n=1$, et pour $z,w\in\mathbb U_n$, $(zw^{-1})^n=z^n(w^n)^{-1}=1$ (le groupe est abélien).
• $\mathbb R_+^*$ est un sous-groupe de $(\mathbb R^*,\times)$, mais $\mathbb R_-^*$ n'en est pas un : $1\notin\mathbb R_-^*$, et $(-1)\times(-1)=1\notin\mathbb R_-^*$.
• $\mathbb Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Z\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ : $0=0+0\sqrt2$, et $(a+b\sqrt2)-(c+d\sqrt2)=(a-c)+(b-d)\sqrt2$.

• $\exp:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R_+^*,\times)$, car $e^{x+y}=e^xe^y$. C'est un isomorphisme, de réciproque $\ln$.
• $\theta\mapsto e^{i\theta}$, de $(\mathbb R,+)$ dans $(\mathbb U,\times)$.
• $z\mapsto|z|$, de $(\mathbb C^*,\times)$ dans $(\mathbb R_+^*,\times)$.
• $z\mapsto z^n$, de $(\mathbb C^*,\times)$ dans lui-même, pour $n\in\mathbb Z$.
• $k\mapsto nk$, de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même.
• $z\mapsto\bar z$ est un automorphisme de $(\mathbb C,+)$ et de $(\mathbb C^*,\times)$.

Contre-exemple : $x\mapsto x+1$ n'est pas un morphisme de $(\mathbb R,+)$, car $(x+y)+1\neq(x+1)+(y+1)$.

• $\varphi:\theta\mapsto e^{i\theta}$ de $(\mathbb R,+)$ dans $(\mathbb U,\times)$ : $\mathrm{Ker}\,\varphi=2\pi\mathbb Z$ et $\mathrm{Im}\,\varphi=\mathbb U$. Le morphisme est surjectif, non injectif.
• $f:z\mapsto z^n$ sur $(\mathbb C^*,\times)$, $n\geq1$ : $\mathrm{Ker}\,f=\mathbb U_n$, et $\mathrm{Im}\,f=\mathbb C^*$ car tout complexe non nul admet une racine $n$-ième. Pour $n\geq2$, $f$ est surjectif mais non injectif.
• $g:z\mapsto|z|$ de $(\mathbb C^*,\times)$ dans $(\mathbb R_+^*,\times)$ : $\mathrm{Ker}\,g=\mathbb U$ (le neutre d'arrivée est $1$, pas $0$) et $\mathrm{Im}\,g=\mathbb R_+^*$ car $g(r)=r$ pour $r>0$.
• $\varphi:x\mapsto1-x$ de $(\mathbb R\setminus\{1\},\star)$ dans $(\mathbb R^*,\times)$ : c'est un morphisme car $1-x\star y=(1-x)(1-y)$. Son noyau est $\{x,\ 1-x=1\}=\{0\}$ : il est injectif. Il est surjectif car $t=\varphi(1-t)$ avec $1-t\neq1$ pour $t\neq0$. C'est un isomorphisme.

• $(\mathbb Z,+,\times)$, $(\mathbb Q,+,\times)$, $(\mathbb R,+,\times)$, $(\mathbb C,+,\times)$ : anneaux commutatifs.
• $(\mathcal F(X,\mathbb R),+,\times)$, fonctions de $X$ dans $\mathbb R$ avec les opérations point par point : anneau commutatif, de neutres la fonction nulle et la fonction constante égale à $1$.
• $(\mathbb R^{\mathbb N},+,\times)$ : suites réelles, opérations terme à terme.
• $\mathbb K[X]$ (polynômes) et $\mathcal M_n(\mathbb K)$ (matrices carrées), étudiés dans d'autres chapitres. Pour $n\geq2$, $\mathcal M_n(\mathbb K)$ n'est pas commutatif.
• L'anneau nul $\{0\}$, dans lequel $1=0$. C'est le seul : si $1_A=0_A$, alors pour tout $a$, $a=a\cdot1_A=a\cdot0_A=0_A$ (règle démontrée ci-dessous).
• $(\mathbb N,+,\times)$ n'est pas un anneau : $(\mathbb N,+)$ n'est pas un groupe.

• $\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C$ : chacun est un sous-anneau du suivant.
• $\mathbb Z[i]=\{a+ib,\ a,b\in\mathbb Z\}$ (entiers de Gauss) est un sous-anneau de $\mathbb C$ : $1=1+0i$ ; la différence de deux éléments est dans $\mathbb Z[i]$ ; et $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$ avec $ac-bd,\ ad+bc\in\mathbb Z$.
• $\mathcal C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ est un sous-anneau de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$.
• $2\mathbb Z$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb Z$ : il ne contient pas $1$.

• La conjugaison $z\mapsto\bar z$ est un automorphisme de l'anneau $\mathbb C$.
• Pour $x_0\in X$, l'évaluation $f\mapsto f(x_0)$ est un morphisme d'anneaux de $\mathcal F(X,\mathbb R)$ dans $\mathbb R$.
• L'application $x\mapsto(x,0)$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$ respecte l'addition et la multiplication, mais envoie $1$ sur $(1,0)\neq(1,1)$ : ce n'est pas un morphisme d'anneaux. La condition $f(1_A)=1_B$ doit être vérifiée à part.

• $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ sont intègres. Tout sous-anneau d'un anneau intègre est intègre ; par exemple $\mathbb Z[i]$.
• $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ n'est pas intègre : avec $f(x)=\max(x,0)$ et $g(x)=\max(-x,0)$, on a $fg=0$ alors que $f\neq0$ et $g\neq0$.
• $\mathbb R^2$ n'est pas intègre : $(1,0)(0,1)=(0,0)$.

• $\mathbb Z^\times=\{-1,1\}$ : si $ab=1$ dans $\mathbb Z$, alors $|a|\,|b|=1$ avec $|a|,|b|$ entiers naturels non nuls, donc $|a|=1$.
• $\mathbb Q^\times=\mathbb Q^*$, $\mathbb R^\times=\mathbb R^*$, $\mathbb C^\times=\mathbb C^*$.
• $\mathcal F(X,\mathbb R)^\times$ est l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent pas : si $fg=1$, $f(x)g(x)=1$ impose $f(x)\neq0$ ; réciproquement l'inverse est $x\mapsto1/f(x)$.
• $\mathbb Z[i]^\times=\{1,-1,i,-i\}$. Ces quatre éléments sont inversibles ($i\times(-i)=1$). Réciproquement, si $zw=1$ avec $z,w\in\mathbb Z[i]$, alors $|z|^2|w|^2=1$. Or $|a+ib|^2=a^2+b^2$ est un entier naturel, non nul ici. Donc $a^2+b^2=1$, d'où $(a,b)\in\{(\pm1,0),(0,\pm1)\}$.

• $\mathbb Q$, $\mathbb R$, $\mathbb C$ sont des corps.
• $\mathbb Z$ n'est pas un corps : $2\neq0$ n'est pas inversible dans $\mathbb Z$.
• $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ n'est pas un corps : la fonction $x\mapsto x$ est non nulle mais s'annule en $0$, donc n'est pas inversible.

Soit $L=\{a+b\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Q\}\subset\mathbb R$.

Sous-anneau. $1=1+0\sqrt2\in L$. La différence de deux éléments de $L$ est dans $L$. Et $$(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2\in L.$$ Inverses. Soit $x=a+b\sqrt2\neq0$, avec $a,b\in\mathbb Q$. Montrons que $a-b\sqrt2\neq0$. Si $b\neq0$, l'égalité $a-b\sqrt2=0$ donnerait $\sqrt2=a/b\in\mathbb Q$, ce qui est faux. Si $b=0$, alors $a=x\neq0$. Ainsi $a^2-2b^2=(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)$ est un rationnel non nul, et $$\frac1x=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2\in L.$$ Donc $L$ est un sous-corps de $\mathbb R$, et en particulier un corps. Exemple numérique : $\dfrac1{3+\sqrt2}=\dfrac{3-\sqrt2}{9-2}=\dfrac37-\dfrac17\sqrt2$.