QCM : Structures algébriques usuelles (Prépa, 1re année)
Groupes, anneaux et corps sont les cadres communs à des objets déjà rencontrés : nombres, fonctions, permutations, polynômes, matrices. Les reconnaître permet de démontrer une seule fois des règles de calcul valables partout, puis de transporter des résultats d'un ensemble à un autre grâce aux morphismes.
Soit $g:(\mathbb C^*,\times)\to(\mathbb R_+^*,\times)$, $z\mapsto|z|$. Que vaut $\mathrm{Ker}\,g$ ?
Le noyau est l'ensemble des antécédents du neutre du groupe d'arrivée. Ce neutre est $1$ pour $(\mathbb R_+^*,\times)$. Donc $\mathrm{Ker}\,g=\{z\in\mathbb C^*,\ |z|=1\}=\mathbb U$. Le piège principal consiste à résoudre $|z|=0$, comme si la loi d'arrivée était additive. De plus, $0\notin\mathbb C^*$. La réponse $\{1\}$ suppose à tort que $g$ est injectif. La réponse $\mathbb R_+^*$ confond noyau et image.
Laquelle de ces parties est un sous-groupe de $(\mathbb R^*,\times)$ ?
$\{-1,1\}$ contient le neutre $1$. Pour $x,y\in\{-1,1\}$, on a $xy^{-1}=xy\in\{-1,1\}$. C'est donc un sous-groupe. Les autres réponses échouent pour des raisons différentes. $\mathbb R_-^*$ ne contient pas $1$, et $(-1)(-1)=1$ en sort. $\mathbb Z\setminus\{0\}$ est stable par produit, mais pas par inverse : $2^{-1}=1/2$. $[1,+\infty[$ contient $1$ et est stable par produit, mais $2^{-1}\notin[1,+\infty[$. Le piège est de ne vérifier que la stabilité par produit.
Dans un groupe $(G,\cdot)$ quelconque, à quoi est égal $(xy)^{-1}$ ?
On a $(xy)(y^{-1}x^{-1})=x(yy^{-1})x^{-1}=xx^{-1}=e$, et de même dans l'autre sens. Donc $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ : l'ordre s'inverse. L'écriture $x^{-1}y^{-1}$, qui vaut aussi $(yx)^{-1}$, n'est correcte que si $x$ et $y$ commutent. C'est faux par exemple dans $S_3$. Le piège vient de l'habitude du calcul dans $\mathbb R^*$, qui est abélien.
Quel est le groupe des inversibles de l'anneau $\mathbb Z[i]=\{a+ib,\ a,b\in\mathbb Z\}$ ?
Supposons $zw=1$ dans $\mathbb Z[i]$. Alors $|z|^2|w|^2=1$. Or $|z|^2=a^2+b^2$ est un entier naturel non nul, donc $a^2+b^2=1$. On en déduit $z\in\{\pm1,\pm i\}$. Réciproquement, ces quatre éléments sont inversibles, car $i(-i)=1$. La réponse $\{-1,1\}$ recopie $\mathbb Z^\times$ en oubliant $\pm i$. La réponse $\mathbb Z[i]\setminus\{0\}$ confond $\mathbb Z[i]$ avec un corps : $2$ n'est pas inversible, car $1/2\notin\mathbb Z[i]$.
Laquelle de ces parties de $\mathbb Z$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z,+)$ ?
Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe. Ici $2\mathbb Z\cap3\mathbb Z=6\mathbb Z$. La réunion $2\mathbb Z\cup3\mathbb Z$ contient $2$ et $3$, mais pas $5$ : c'est le piège classique. $\mathbb N$ n'est pas stable par passage à l'opposé. L'ensemble des entiers impairs ne contient pas $0$.
Sur $\mathbb R\setminus\{1\}$, on considère la loi de groupe $x\star y=x+y-xy$, de neutre $0$. Quel est le symétrique de $2$ ?
Le symétrique de $x$ est $\dfrac{x}{x-1}$. Pour $x=2$, on obtient $\dfrac{2}{1}=2$. On vérifie directement : $2\star2=2+2-4=0$. La réponse $-2$ est l'opposé pour l'addition usuelle, et $\dfrac12$ l'inverse pour la multiplication usuelle : ces deux pièges consistent à oublier que la loi n'est ni $+$ ni $\times$. Enfin, $0$ est le neutre, pas le symétrique.
Soit $n\geq2$ et $f:(\mathbb C^*,\times)\to(\mathbb C^*,\times)$, $z\mapsto z^n$. Que peut-on dire de $f$ ?
$f$ est un morphisme de noyau $\mathbb U_n$, qui a $n\geq2$ éléments. Le noyau n'est pas réduit à $\{1\}$, donc $f$ n'est pas injectif. Par ailleurs, tout complexe non nul admet une racine $n$-ième, donc $f$ est surjectif. Le piège vient de l'analogie avec $x\mapsto x^3$ sur $\mathbb R$, qui est bijective. On peut aussi croire à tort que $f$ n'est pas surjectif, en raisonnant comme pour $x\mapsto x^2$ sur $\mathbb R^*$.
Soient $a,b$ deux éléments d'un anneau $A$. L'égalité $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ est équivalente à :
Par distributivité, $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2$. L'égalité demandée équivaut donc à $ab+ba=2ab$, c'est-à-dire $ba=ab$. Le piège est de la croire toujours vraie, par habitude du calcul dans $\mathbb R$. Elle est fausse en général dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$ dès que les matrices ne commutent pas. L'inversibilité de $a$ et $b$ ne joue aucun rôle.
Parmi les anneaux suivants, lequel est un corps ?
Pour $x=a+b\sqrt2\neq0$ avec $a,b$ rationnels, on a $a^2-2b^2\neq0$, car $\sqrt2$ est irrationnel. On obtient alors $x^{-1}=\dfrac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}\in\mathbb Q(\sqrt2)$. C'est donc un sous-corps de $\mathbb R$. $\mathbb Z[i]$ et $\mathbb Z[\sqrt2]$ sont intègres, mais pas des corps : leur groupe d'inversibles ne contient pas $2$. Le piège est de confondre « intègre » et « corps ». $\mathcal M_2(\mathbb R)$ n'est pas commutatif et possède des matrices non nulles non inversibles.
Laquelle de ces parties est un sous-anneau de l'anneau indiqué ?
$\mathbb Z[\sqrt2]$ contient $1$ et est stable par différence. Il est aussi stable par produit, car $(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2$. Les trois autres parties échouent. $2\mathbb Z$ ne contient pas $1$. $\{(x,0)\}$ est stable par différence et produit, mais ne contient pas l'unité $(1,1)$ de $\mathbb R^2$ : c'est le piège principal, qui consiste à oublier la condition $1_A\in B$. $\mathbb R_+$ n'est pas stable par différence, puisque $0-1=-1$.