Erreurs fréquentes : Suites réelles : convergence (Prépa, 1re année)
La notion de limite d'une suite est la porte d'entrée de l'analyse : continuité, dérivabilité, séries et intégrales reposent sur elle. Ce chapitre fixe la définition rigoureuse de la convergence et donne les outils pour prouver qu'une suite converge, parfois sans connaître sa limite à l'avance.
Écrire $\lim u_n$, ou passer à la limite dans une inégalité, avant d'avoir prouvé que la suite converge.
Le passage à la limite suppose l'existence des limites. On prouve d'abord la convergence (encadrement, limite monotone, suites adjacentes), puis on manipule la limite. Le théorème d'encadrement, lui, donne l'existence.
Conserver une inégalité stricte à la limite : « $u_n<v_n$ donc $\lim u_n<\lim v_n$ ».
On obtient seulement $\ell\le\ell'$. Contre-exemple : $\frac1n>0$ pour tout $n\ge1$ et pourtant $\lim\frac1n=0$.
Affirmer qu'une suite croissante majorée par $M$ converge vers $M$.
Elle converge vers sa borne supérieure $\ell\le M$. La suite $1-\frac1n$ est majorée par $2$ et tend vers $1$.
Pour une suite récurrente, résoudre $f(\ell)=\ell$ et conclure directement que $u_n\to\ell$.
L'équation des points fixes ne donne que les limites possibles d'une suite dont on sait déjà qu'elle converge, avec $f$ continue en $\ell$. Avec $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n^2$, les points fixes sont $0$ et $1$ mais $u_n\to+\infty$.
Croire que si $f$ est croissante, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ est croissante, et que si $f$ est décroissante, la suite est décroissante.
Si $f$ est croissante sur un intervalle stable, la suite est monotone et son sens dépend du signe de $u_1-u_0$. Si $f$ est décroissante, la suite n'est en général pas monotone : ce sont $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ qui sont monotones, de sens contraires.
Faire dépendre $N$ de $n$, ou inverser les quantificateurs : « $\forall n,\ \exists N$ … ».
Dans $\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|\le\varepsilon$, le rang $N$ dépend de $\varepsilon$ seulement. On choisit $N$ avant de considérer un $n$ quelconque supérieur à $N$.
Conclure à la convergence de $(u_n)$ parce que deux suites extraites convergent vers la même limite.
Ce n'est vrai que si les deux extractions recouvrent tous les rangs, comme les rangs pairs et impairs. Pour $u_n=(-1)^n$, les suites $(u_{2n})$ et $(u_{4n})$ tendent vers $1$, mais $(u_n)$ diverge.
Traiter $1^\infty$ comme valant $1$ : « $\left(1+\frac1n\right)^n\to1$ ».
C'est une forme indéterminée. On écrit $\left(1+\frac1n\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac1n\right)\right)$ ; or $n\ln\left(1+\frac1n\right)=\frac{\ln(1+1/n)}{1/n}\to\ln'(1)=1$, donc la limite vaut $e$.