Fiche résumé : Suites réelles : convergence (Prépa, 1re année)

La notion de limite d'une suite est la porte d'entrée de l'analyse : continuité, dérivabilité, séries et intégrales reposent sur elle. Ce chapitre fixe la définition rigoureuse de la convergence et donne les outils pour prouver qu'une suite converge, parfois sans connaître sa limite à l'avance.

Limite finie : $u_n\to\ell\iff\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|\le\varepsilon$. Le rang $N$ dépend de $\varepsilon$, pas de $n$.
Limite $+\infty$ : $\forall A\in\mathbb R,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ u_n\ge A$.
La limite est unique. Une suite convergente est bornée (réciproque fausse : $(-1)^n$).
Si $u_n\to\ell>0$, alors $u_n\ge\frac\ell2>0$ à partir d'un certain rang.
Opérations : somme, produit, quotient (limite du dénominateur non nulle). Bornée fois limite nulle donne limite nulle. Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$, $\frac00$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.
Passage à la limite : si les deux suites convergent et $u_n\le v_n$ à partir d'un rang, alors $\lim u_n\le\lim v_n$. Les inégalités strictes deviennent larges.
Encadrement : $u_n\le v_n\le w_n$ et $u_n,w_n\to\ell$ donnent $v_n\to\ell$ (existence comprise). Forme pratique : $|u_n-\ell|\le\alpha_n\to0$.
Minoration : $u_n\ge v_n\to+\infty$ donne $u_n\to+\infty$.
Limite monotone : croissante majorée converge vers $\sup\{u_n\}$ ; croissante non majorée tend vers $+\infty$. Si $(u_n)$ croît vers $\ell$, alors $u_n\le\ell$ pour tout $n$.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $v_n-u_n\to0$. Elles convergent vers la même limite $\ell$ et $u_n\le\ell\le v_n$.
Extraction : $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ strictement croissante, et $\varphi(n)\ge n$. Toute suite extraite d'une suite de limite $\ell$ tend vers $\ell$. Deux extraites de limites différentes : divergence.
$u_{2n}\to\ell$ et $u_{2n+1}\to\ell$ donnent $u_n\to\ell$.
Bolzano-Weierstrass : toute suite réelle (ou complexe) bornée admet une suite extraite convergente. Preuve par dichotomie.
Borne supérieure : $M=\sup A\iff M$ majore $A$ et $M$ est limite d'une suite d'éléments de $A$.
Densité : $D$ dense dans $\mathbb R\iff$ tout réel est limite d'une suite d'éléments de $D$. Exemple : $\frac{\lfloor10^nx\rfloor}{10^n}\to x$.
Suites $u_{n+1}=f(u_n)$ :
- $I$ stable ($f(I)\subset I$) et $u_0\in I$ : la suite est définie et reste dans $I$ ;
- $f(x)-x\ge0$ sur $I$ : suite croissante ;
- $f$ croissante sur $I$ : suite monotone, sens donné par $u_1-u_0$ ;
- $f$ décroissante sur $I$ : $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ monotones de sens contraires, étude via $f\circ f$ ;
- si $u_n\to\ell\in I$ et $f$ continue en $\ell$, alors $f(\ell)=\ell$. Un point fixe n'est une limite que si la convergence est prouvée.