QCM : Suites réelles : convergence (Prépa, 1re année)

La définition exige que, pour toute précision $\varepsilon$, il existe un rang $N$ (qui dépend de $\varepsilon$) à partir duquel tous les termes sont à distance au plus $\varepsilon$ de $\ell$. Placer $\exists N$ avant $\forall\varepsilon$ impose que $N$ ne dépende pas de $\varepsilon$ : on obtient alors $|u_n-\ell|\le\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$, donc $u_n=\ell$ à partir du rang $N$ (suite stationnaire). La version « $\forall N,\ \exists n\ge N$ » dit seulement qu'une infinité de termes sont proches de $\ell$ : $((-1)^n)$ la vérifie avec $\ell=1$ sans converger. La version « $\exists\varepsilon$ » dit seulement que la suite est bornée à partir d'un certain rang.

Pour $1\le k\le n$, $\sqrt{n^2+1}\le\sqrt{n^2+k}\le\sqrt{n^2+n}$, donc, en sommant les $n$ inégalités, $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le u_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$. Les deux bornes valent $\frac{1}{\sqrt{1+1/n}}$ et $\frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}}$, qui tendent vers $1$ : par encadrement, $u_n\to1$. Le piège $0$ vient de l'idée « chaque terme tend vers $0$ donc la somme aussi », fausse quand le nombre de termes croît avec $n$. Le piège $+\infty$ vient de l'idée inverse « on ajoute de plus en plus de termes positifs ». Un nombre de termes variable n'empêche pas l'existence de la limite : il impose seulement de ne pas sommer les limites terme à terme.

Le passage à la limite dans une inégalité, valable ici puisque les deux suites convergent, donne seulement une inégalité large : $\ell\le\ell'$. L'inégalité stricte n'est pas conservée : avec $u_n=0$ et $v_n=\frac1{n+1}$, on a $u_n<v_n$ pour tout $n$ et pourtant $\ell=\ell'=0$. L'égalité n'est pas forcée non plus ($u_n=0$, $v_n=1$). Le piège principal est de conserver l'inégalité stricte à la limite.

Par le théorème de la limite monotone, une suite croissante majorée converge vers $\ell=\sup\{u_n\}$. Comme $\ell$ est la borne supérieure des termes, $u_n\le\ell$ pour tout $n$, d'où $\ell\ge u_0=1$ ; le passage à la limite dans $u_n\le3$ donne $\ell\le3$. Rien n'impose $\ell=3$ : la suite constante égale à $1$ convient et tend vers $1$. Rien n'impose non plus $\ell<3$ : $u_n=3-\frac{2}{n+1}$ vérifie les hypothèses et tend vers $3$. Le piège classique est de confondre un majorant avec la limite. Enfin, le théorème prouve justement la convergence sans formule explicite.

Il faut trois conditions : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante, $v_n-u_n\to0$. Pour $u_n=1-\frac1n$ et $v_n=1+\frac1{n^2}$ : $u$ croît, $v$ décroît et $v_n-u_n=\frac1n+\frac1{n^2}\to0$. Dans le premier couple, $v_n-u_n=\frac1n\to0$ et $u_n\le v_n$, mais $(u_n)$ est décroissante : vérifier seulement l'écart et l'ordre est une erreur fréquente. Dans le troisième, $(v_n)$ n'est pas monotone ($v_1=-1$, $v_2=\frac12$, $v_3=-\frac13$). Dans le dernier, les monotonies sont correctes mais $v_n-u_n=1+\frac2n\to1\ne0$.

Les rangs $2n$ et $4n$ sont tous pairs : ils ne recouvrent pas $\mathbb N$, et les rangs impairs restent libres. Avec $u_n=(-1)^n$, les deux extraites valent $1$ et la suite diverge ; avec $u_n=1$, la suite converge. On ne peut donc conclure ni à la convergence ni à la divergence. La suite n'est même pas forcément bornée : $u_n=1$ pour $n$ pair et $u_n=n$ pour $n$ impair convient. Le théorème utile exige des extractions qui recouvrent tous les rangs, comme $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ avec la même limite.

C'est le théorème de Bolzano-Weierstrass. La première affirmation est la réciproque fausse de « convergente implique bornée » : $((-1)^n)$ est bornée et diverge. La deuxième est fausse : la suite qui vaut $0$ aux rangs pairs et $n$ aux rangs impairs admet l'extraite constante $(u_{2n})$, convergente, sans être bornée. La dernière confond le théorème de la limite monotone (condition suffisante) avec une condition nécessaire : $\frac{(-1)^n}{n+1}$ n'est pas monotone et converge vers $0$.

Soit $f(x)=\frac{x^2+2}{3}$, croissante sur $[0,+\infty[$, avec $f(2)=2$ : l'intervalle $[2,+\infty[$ est stable et contient $u_0$. On a $f(x)-x=\frac{x^2-3x+2}{3}=\frac{(x-1)(x-2)}{3}\ge0$ sur $[2,+\infty[$, donc $(u_n)$ est croissante (d'ailleurs $u_1=\frac{11}{3}>3$). Si elle convergeait, $f$ étant continue, sa limite $\ell$ serait un point fixe, donc $\ell\in\{1,2\}$, et vérifierait $\ell\ge u_0=3$ : impossible. Croissante et non convergente, elle tend vers $+\infty$. Le piège est de résoudre $f(\ell)=\ell$ et de conclure sans avoir prouvé la convergence.

La fonction $g=f\circ f$ est croissante sur $I$, qui est stable par $g$ ; comme $u_{2n+2}=g(u_{2n})$ et $u_{2n+3}=g(u_{2n+1})$, les deux extraites sont monotones, et l'application de $f$ décroissante inverse le sens de l'une à l'autre. La suite elle-même n'est en général pas monotone : avec $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac1{1+u_n}$, on a $1,\frac12,\frac23,\dots$. Le sens donné par $u_1-u_0$ vaut pour $f$ croissante. Enfin la convergence n'est pas garantie : avec $f(x)=1-x$ sur $[0,1]$ et $u_0=0$, la suite vaut $0,1,0,1,\dots$ et diverge. Le piège principal est de transposer à la suite le sens de variation de $f$.

On écrit $\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$. Tous les éléments sont strictement inférieurs à $2$, donc $2$ majore $A$, et la suite $a_n=2-\frac3{n+2}$ d'éléments de $A$ tend vers $2$ : par la caractérisation séquentielle, $\sup A=2$. L'inégalité étant stricte, $2\notin A$ : ce n'est pas un maximum. La suite $(a_n)$ est croissante, donc le plus petit élément est $a_0=\frac12$, qui est un minimum. Le piège $\inf A=0$ vient d'un réflexe sur les ensembles du type $\{\frac1n\}$ sans calcul. Enfin, une borne supérieure n'a pas besoin d'appartenir à l'ensemble : seul un maximum le doit.