Erreurs fréquentes : Réduction des endomorphismes (Prépa, 2e année)
Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale, triangulaire ou diagonale par blocs. Cet outil sert à calculer des puissances de matrices, à résoudre des suites récurrentes et des systèmes différentiels linéaires, et il intervient dans presque tous les sujets d'algèbre des concours.
Conclure qu'une matrice est diagonalisable parce que son polynôme caractéristique est scindé.
Scindé donne seulement trigonalisable. Il faut en plus $\dim E_\lambda=m_\lambda$ pour chaque valeur propre, ou un annulateur scindé à racines simples. Contre-exemple : $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.
Croire qu'une matrice diagonalisable a nécessairement $n$ valeurs propres distinctes.
Avoir $n$ valeurs propres distinctes est une condition suffisante, pas nécessaire : $I_n$ est diagonalisable avec une seule valeur propre.
Affirmer que toute racine d'un polynôme annulateur est valeur propre.
Pour un annulateur $P$ quelconque, on a seulement $\mathrm{Sp}(u)\subset\{$racines de $P\}$. L'égalité vaut pour $\pi_u$ et $\chi_u$. Exemple : $X(X-1)$ annule $\mathrm{Id}_E$, mais $0$ n'est pas valeur propre.
Démontrer Cayley-Hamilton en écrivant $\chi_A(A)=\det(AI_n-A)=0$.
Cette écriture n'a pas de sens : $\det(AI_n-A)$ est un scalaire, $\chi_A(A)$ une matrice. Le théorème demande une vraie preuve, par exemple par les sous-espaces cycliques et la matrice compagnon.
Parler du spectre ou de la diagonalisabilité d'une matrice réelle sans préciser le corps.
Toujours préciser $\mathbb R$ ou $\mathbb C$. La rotation $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ n'a aucune valeur propre réelle, mais elle est diagonalisable dans $\mathcal M_2(\mathbb C)$ avec $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(R)=\{i,-i\}$.
Recopier les multiplicités de $\chi$ dans le polynôme minimal, par exemple $\pi=(X-1)^2(X-2)$ pour $\mathrm{diag}(1,1,2)$.
Pour un endomorphisme diagonalisable, $\pi_u=\prod_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}(X-\lambda)$, chaque valeur propre une seule fois : ici $\pi=(X-1)(X-2)$. En général, on teste les diviseurs de $\chi_u$ par degré croissant.
Dans $A=PDP^{-1}$, ranger les vecteurs propres en lignes de $P$, ou dans un ordre différent de celui des valeurs propres de $D$.
Les vecteurs propres sont les colonnes de $P$, la $j$-ème colonne associée au $j$-ème coefficient de $D$. On contrôle en vérifiant $AP=PD$.
Appliquer le lemme des noyaux à des facteurs non premiers entre eux, par exemple écrire $\mathrm{Ker}\big((u-\lambda\mathrm{Id})^2(u-\mu\mathrm{Id})\big)=\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id})\oplus\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id})\oplus\mathrm{Ker}(u-\mu\mathrm{Id})$.
Les facteurs doivent être deux à deux premiers entre eux : on regroupe les puissances d'un même facteur. Avec $\lambda\neq\mu$, on obtient $\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id})^2\oplus\mathrm{Ker}(u-\mu\mathrm{Id})$.