Test de niveau : Réduction des endomorphismes (Prépa, 2e année)
Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale, triangulaire ou diagonale par blocs. Cet outil sert à calculer des puissances de matrices, à résoudre des suites récurrentes et des systèmes différentiels linéaires, et il intervient dans presque tous les sujets d'algèbre des concours.
Ce test comporte 15 questions réparties en 5 blocs. Compte environ 15 minutes, sans cours ni calculatrice. Il porte uniquement sur les outils de première année dont la réduction a besoin. Il ne sert pas à te noter : il sert à savoir par où commencer. Si un bloc te pose problème, relis la partie correspondante du préambule avant d'attaquer le chapitre.
Polynômes : racines, division euclidienne, factorisation
Quelle est la multiplicité de $1$ comme racine de $P=X^3-3X+2$ ?
$P(1)=1-3+2=0$. $P'=3X^2-3$ donne $P'(1)=0$. $P''=6X$ donne $P''(1)=6\neq 0$. La multiplicité est donc exactement $2$ ; d'ailleurs $P=(X-1)^2(X+2)$. Le choix $1$ vient d'un arrêt prématuré après $P(1)=0$ ; le choix $3$ confond multiplicité et degré.
Soit $n\in\mathbb N$. Quel est le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-1)(X-2)$ ?
Le reste est de degré au plus $1$ : $R=aX+b$. On évalue $X^n=Q(X-1)(X-2)+aX+b$ en $1$ et en $2$ : $a+b=1$ et $2a+b=2^n$, d'où $a=2^n-1$ et $b=2-2^n$. Contrôle pour $n=2$ : $X^2-(X^2-3X+2)=3X-2$. Les autres choix ne vérifient pas les deux conditions $R(1)=1$, $R(2)=2^n$ ; $X^{n-2}$ confond reste et quotient.
Lequel de ces polynômes est scindé sur $\mathbb R$ ?
$X^3-X=X(X-1)(X+1)$ est produit de facteurs de degré $1$ de $\mathbb R[X]$. Piège : $X^4-1$ a des racines réelles ($\pm1$), mais $X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)$ et le facteur $X^2+1$ n'a pas de racine réelle : il n'est pas scindé sur $\mathbb R$. $X^2+X+1$ et $X^2+1$ ont un discriminant strictement négatif.
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Espaces vectoriels et applications linéaires
Soit $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. La somme $F+G+H$ est directe si et seulement si :
La somme est directe si la décomposition de $0$ (donc de tout vecteur de la somme) est unique. Piège classique : les intersections deux à deux nulles ne suffisent pas dès trois sous-espaces. Trois droites distinctes de $\mathbb R^2$ se coupent deux à deux en $\{0\}$, mais leur somme $\mathbb R^2$ n'est pas directe (dimension $2<3$). L'inégalité de dimension est toujours vraie et ne caractérise rien.
Soit $p\in\mathcal L(E)$ tel que $p\circ p=p$ (projecteur). Laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?
Si $y=p(x)$, alors $p(y)=p^2(x)=p(x)=y$, donc $y\in\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id}_E)$ ; réciproquement, si $p(y)=y$, alors $y\in\mathrm{Im}\,p$. De plus $E=\mathrm{Ker}\,p\oplus\mathrm{Im}\,p$, donc l'intersection est nulle. Un projecteur n'est inversible que s'il vaut $\mathrm{Id}_E$. Enfin $\mathrm{Ker}\,p\cap\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id}_E)=\{0\}$ : ces deux noyaux ne sont égaux que s'ils sont nuls, ce qui est impossible si $E\neq\{0\}$.
Soit $u,v\in\mathcal L(E)$. Quelle inclusion est toujours vraie ?
Si $u(x)=0$, alors $v(u(x))=v(0)=0$. Les inclusions toujours vraies sont $\mathrm{Ker}\,u\subset\mathrm{Ker}(v\circ u)$ et $\mathrm{Im}(v\circ u)\subset\mathrm{Im}\,v$ : l'application appliquée en premier contrôle le noyau, celle appliquée en dernier contrôle l'image. Les autres choix inversent les rôles de $u$ et $v$.
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Dimension finie : rang, dimensions, bijectivité
Soit $A\in\mathcal M_4(\mathbb R)$ de rang $1$. Que vaut $\dim\mathrm{Ker}\,A$ ?
Théorème du rang : $\dim\mathrm{Ker}\,A+\mathrm{rg}\,A=4$, donc $\dim\mathrm{Ker}\,A=3$. Le choix $1$ confond noyau et image ; $4$ correspondrait à la matrice nulle, de rang $0$.
Soit $F$ et $G$ deux plans vectoriels distincts de $\mathbb R^3$. Que vaut $\dim(F\cap G)$ ?
$F+G$ contient strictement $F$, donc $\dim(F+G)=3$. Formule de Grassmann : $\dim(F\cap G)=\dim F+\dim G-\dim(F+G)=2+2-3=1$. Deux plans distincts de $\mathbb R^3$ se coupent selon une droite. Le choix $0$ vient de l'intuition de deux droites de $\mathbb R^2$.
Soit $u\in\mathcal L(E)$. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
En dimension finie, pour un endomorphisme, injectif, surjectif et bijectif sont équivalents (théorème du rang). C'est faux en dimension infinie : $P\mapsto XP$ sur $\mathbb K[X]$ est injectif et non surjectif. Pour $u$ de matrice $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $\mathrm{Ker}\,u=\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Vect}(e_1)$ : ils ne sont pas supplémentaires, et $\mathrm{rg}(u^2)=0\neq 1=\mathrm{rg}(u)$.
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Matrices : changement de base, trace, puissances
Soit $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$ et $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal B$ à la base $\mathcal B'$ (les colonnes de $P$ sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal B'$ dans $\mathcal B$). Que vaut $\mathrm{Mat}_{\mathcal B'}(u)$ ?
Pour $x$ de coordonnées $X'$ dans $\mathcal B'$, ses coordonnées dans $\mathcal B$ sont $X=PX'$ ; celles de $u(x)$ dans $\mathcal B$ sont $APX'$, et dans $\mathcal B'$ : $P^{-1}APX'$. D'où $\mathrm{Mat}_{\mathcal B'}(u)=P^{-1}AP$. L'erreur $PAP^{-1}$ vient d'une inversion du sens de passage ; $P^\top$ ne remplace $P^{-1}$ que si $P$ est orthogonale.
Pour $A,B,C\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, laquelle de ces égalités est toujours vraie ?
$\mathrm{tr}(AB)=\sum_{i,k}a_{ik}b_{ki}=\mathrm{tr}(BA)$. La trace n'est pas multiplicative ($\mathrm{tr}(I_2\,I_2)=2\neq 4$). $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, égal à $A^2+2AB+B^2$ seulement si $AB=BA$. Enfin la trace est invariante par permutation circulaire ($\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)$), pas par échange quelconque.
Soit $N=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ et $A=I_3+N$. Pour $k\in\mathbb N$, que vaut $A^k$ ?
$I_3$ et $N$ commutent, donc la formule du binôme s'applique. Le calcul donne $N^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\neq 0$ et $N^3=0$, d'où $A^k=\binom k0I_3+\binom k1N+\binom k2N^2$. Le choix $I_3+kN$ suppose à tort $N^2=0$ ; $I_3+N^k$ oublie les termes croisés du binôme.
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Déterminants
Soit $A\in\mathcal M_3(\mathbb R)$. Que vaut $\det(2A)$ ?
Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des $3$ colonnes ; multiplier les $3$ colonnes par $2$ multiplie le déterminant par $2^3=8$. En général $\det(\lambda A)=\lambda^n\det A$. Le choix $2\det A$ traite à tort le déterminant comme linéaire.
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$. Que vaut $\det(XI_2-A)$ ?
$\det\begin{pmatrix}X-1&-2\\-3&X-4\end{pmatrix}=(X-1)(X-4)-6=X^2-5X-2$. Contrôle : c'est $X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det A$ avec $\mathrm{tr}(A)=5$ et $\det A=4-6=-2$. Les autres choix viennent d'erreurs de signe sur le produit $(-2)(-3)$ ou sur la trace.
Que vaut $\det\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ ?
On ajoute les colonnes $2$ et $3$ à la colonne $1$ (déterminant inchangé) : la première colonne devient $(4,4,4)$. On factorise $4$, puis on retranche la première ligne aux deux autres : on obtient $4\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=4$. Le choix $8$ vient du produit des coefficients diagonaux, qui n'est valable que pour une matrice triangulaire.
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Préambule : Réduction des endomorphismes · Cours : Réduction des endomorphismes