Fiche résumé : Réduction des endomorphismes (Prépa, 2e année)

Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale, triangulaire ou diagonale par blocs. Cet outil sert à calculer des puissances de matrices, à résoudre des suites récurrentes et des systèmes différentiels linéaires, et il intervient dans presque tous les sujets d'algèbre des concours.

$F$ stable par $u$ : $u(F)\subset F$ ; matrice triangulaire par blocs dans une base adaptée ; diagonale par blocs si $E=\bigoplus F_i$ avec tous les $F_i$ stables.
Si $u\circ v=v\circ u$ : $\mathrm{Ker}\,v$, $\mathrm{Im}\,v$ et les sous-espaces propres de $v$ sont stables par $u$.
$P\mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres ; $\mathrm{Ker}\,P(u)$ et $\mathrm{Im}\,P(u)$ sont stables par $u$.
$\pi_u$ : unitaire, annulateurs $=\pi_u\,\mathbb K[X]$ ; $\dim\mathbb K[u]=\deg\pi_u$ ; $\pi_{u_F}$ divise $\pi_u$.
Lemme des noyaux : $P_1,\dots,P_r$ deux à deux premiers entre eux $\Rightarrow\mathrm{Ker}(P_1\cdots P_r)(u)=\bigoplus_i\mathrm{Ker}\,P_i(u)$.
$u(x)=\lambda x\Rightarrow P(u)(x)=P(\lambda)x$ ; $P$ annulateur $\Rightarrow$ $\mathrm{Sp}(u)\subset$ racines de $P$ ; $\mathrm{Sp}(u)=$ racines de $\pi_u=$ racines de $\chi_u$.
La somme des sous-espaces propres est toujours directe ; au plus $n$ valeurs propres.
$\chi_A=\det(XI_n-A)=X^n-\mathrm{tr}(A)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\det A$ ; $\chi_{C_P}=P$ ; $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.
$1\leq\dim E_\lambda(u)\leq m_\lambda$.
Cayley-Hamilton : $\chi_u(u)=0$, donc $\pi_u$ divise $\chi_u$.
Diagonalisable $\iff E=\bigoplus E_\lambda\iff\sum\dim E_\lambda=n\iff\chi_u$ scindé et $\dim E_\lambda=m_\lambda$ pour tout $\lambda\iff$ annulateur scindé à racines simples $\iff\pi_u$ scindé à racines simples.
$n$ valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ diagonalisable (réciproque fausse).
$u$ diagonalisable et $F$ stable $\Rightarrow u_F$ diagonalisable.
Trigonalisable $\iff\chi_u$ scindé $\iff$ annulateur scindé ; tout est trigonalisable sur $\mathbb C$.
$\mathrm{tr}(A)=\sum\lambda_i$, $\det A=\prod\lambda_i$, $\mathrm{tr}(A^k)=\sum\lambda_i^k$ (valeurs propres complexes avec multiplicité).
Nilpotent $\iff\chi_u=X^n\iff$ triangulaire supérieure stricte dans une base ; indice $q\leq n$, $\pi_u=X^q$ ; nilpotent et diagonalisable $\Rightarrow$ nul.
Sous-espaces caractéristiques ($\chi_u$ scindé) : $F_i=\mathrm{Ker}(u-\lambda_i\mathrm{Id})^{m_i}$, $E=\bigoplus F_i$, $\dim F_i=m_i$, $u_{F_i}=\lambda_i\mathrm{Id}+n_i$ avec $n_i$ nilpotent.
$A^k$ : $PD^kP^{-1}$, ou reste de la division de $X^k$ par un annulateur (dériver en une racine multiple), ou binôme sur $\lambda I_n+N$.
Suites récurrentes linéaires : racines simples $r_i$ du polynôme caractéristique $\Rightarrow u_n=\sum c_ir_i^n$.
$n$ valeurs propres distinctes $\Rightarrow\mathcal C(u)=\mathbb K[u]$, de dimension $n$ ; $u$ diagonalisable $\Rightarrow\dim\mathcal C(u)=\sum d_i^2$.