Préambule : Réduction des endomorphismes (Prépa, 2e année)

Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible : diagonale, triangulaire ou diagonale par blocs. Cet outil sert à calculer des puissances de matrices, à résoudre des suites récurrentes et des systèmes différentiels linéaires, et il intervient dans presque tous les sujets d'algèbre des concours.

Révisions de première année avant la réduction

Ce préambule reprend, dans l'ordre du test, les outils de première année que la réduction utilise sans cesse : racines et factorisation des polynômes, sommes directes, théorème du rang, changement de base, puissances de matrices et calcul de déterminants. Lis en priorité les blocs correspondant aux questions que tu as manquées, en refaisant les petits calculs à la main.

Propriété

Racines et multiplicité

Soit $P\in\mathbb K[X]$ non nul et $a\in\mathbb K$.

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X-a)$ divise $P$.
$a$ est racine de multiplicité $m$ si $(X-a)^m$ divise $P$ et $(X-a)^{m+1}$ ne le divise pas.
Critère par les dérivées : $a$ est racine de multiplicité exactement $m\geq 1$ si et seulement si $$P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0\quad\text{et}\quad P^{(m)}(a)\neq 0.$$

Exemple : $P=X^3-3X+2$. On a $P(1)=0$, $P'(1)=3-3=0$, $P''(1)=6\neq 0$ : $1$ est racine double, et $P=(X-1)^2(X+2)$.

Un polynôme non nul de degré $d$ a au plus $d$ racines comptées avec multiplicité. En réduction, la multiplicité d'une valeur propre est sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique : il faut savoir la lire sans hésiter.

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Méthode

Reste d'une division euclidienne par évaluation

Pour $A,B\in\mathbb K[X]$, $B\neq 0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $A=BQ+R$ et $\deg R<\deg B$. Pour obtenir $R$ sans poser la division :

Écrire $R$ avec des coefficients inconnus, de degré au plus $\deg B-1$.
Évaluer $A=BQ+R$ en chaque racine de $B$ : le terme $BQ$ disparaît.
Si une racine $a$ de $B$ est multiple, dériver l'égalité $A=BQ+R$ et évaluer en $a$ : $a$ est aussi racine de $B'$, donc $(BQ)'(a)=B'(a)Q(a)+B(a)Q'(a)=0$.
Résoudre le système et contrôler sur un petit cas.

Exemple : reste de $X^n$ par $(X-1)(X-2)$. On écrit $R=aX+b$ ; en $1$ : $a+b=1$ ; en $2$ : $2a+b=2^n$. Donc $a=2^n-1$, $b=2-2^n$ et $R=(2^n-1)X+2-2^n$. Pour $n=2$ : $R=3X-2$, et effectivement $X^2=(X^2-3X+2)+3X-2$.

C'est exactement la technique qui servira à calculer $A^k$ à l'aide d'un polynôme annulateur.

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Polynômes scindés, factorisation sur R et sur C

Un polynôme non constant est scindé sur $\mathbb K$ s'il s'écrit $c\prod_{i}(X-a_i)$ avec $c\in\mathbb K^*$ et des $a_i\in\mathbb K$.

Sur $\mathbb C$, tout polynôme non constant est scindé (théorème de d'Alembert-Gauss).
Sur $\mathbb R$, les irréductibles sont les polynômes de degré $1$ et ceux de degré $2$ à discriminant strictement négatif. Un polynôme réel est scindé sur $\mathbb R$ si et seulement si sa factorisation ne contient aucun facteur de degré $2$ irréductible, c'est-à-dire si la somme des multiplicités de ses racines réelles est égale à son degré.

Exemples : $X^3-X=X(X-1)(X+1)$ est scindé sur $\mathbb R$ ; $X^2+X+1$ ne l'est pas (discriminant $-3$) ; sur $\mathbb C$, $X^2+X+1=(X-j)(X-\bar j)$ avec $j=e^{2i\pi/3}$.

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Attention

Avoir des racines ne suffit pas

$X^4-1$ a deux racines réelles, $1$ et $-1$, mais $$X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1),$$ et $X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb R$ : $X^4-1$ n'est pas scindé sur $\mathbb R$. Sur $\mathbb C$ en revanche, $X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$, scindé à racines simples. Le corps compte toujours : on dit « scindé sur $\mathbb R$ » ou « scindé sur $\mathbb C$ », jamais « scindé » tout court quand il y a ambiguïté.

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Définition

Somme directe de plusieurs sous-espaces

La somme $F_1+\cdots+F_r$ de sous-espaces de $E$ est directe si tout vecteur de la somme s'écrit de manière unique $x_1+\cdots+x_r$ avec $x_i\in F_i$. Cela équivaut à : $$x_1+\cdots+x_r=0,\ x_i\in F_i\ \Longrightarrow\ x_1=\cdots=x_r=0.$$ En dimension finie, la somme est directe si et seulement si $\dim(F_1+\cdots+F_r)=\sum_i\dim F_i$. Si $E=F_1\oplus\cdots\oplus F_r$, la concaténation de bases des $F_i$ est une base de $E$, dite adaptée à la décomposition.

Pour deux sous-espaces seulement : $F+G$ est directe si et seulement si $F\cap G=\{0\}$.

Piège : dès trois sous-espaces, les intersections deux à deux nulles ne suffisent pas. Dans $\mathbb R^2$, les droites $\mathrm{Vect}(1,0)$, $\mathrm{Vect}(0,1)$, $\mathrm{Vect}(1,1)$ se coupent deux à deux en $\{0\}$, mais $(1,0)+(0,1)-(1,1)=0$ est une décomposition non triviale de $0$.

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Propriété

Noyaux, images, composition, projecteurs

Pour $u,v\in\mathcal L(E)$ :

$\mathrm{Ker}\,u\subset\mathrm{Ker}(v\circ u)$ : si $u(x)=0$, alors $v(u(x))=0$ ;
$\mathrm{Im}(v\circ u)\subset\mathrm{Im}\,v$ : $v(u(x))$ est une image par $v$.

Moyen mnémotechnique : l'application appliquée en premier contrôle le noyau, celle appliquée en dernier contrôle l'image. En particulier $\mathrm{Ker}\,u^k\subset\mathrm{Ker}\,u^{k+1}$ et $\mathrm{Im}\,u^{k+1}\subset\mathrm{Im}\,u^k$.

Projecteurs. Si $p\circ p=p$, alors $$E=\mathrm{Ker}\,p\oplus\mathrm{Im}\,p,\qquad\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Ker}(p-\mathrm{Id}_E).$$ En effet, $p(p(x))=p(x)$ montre que tout vecteur de $\mathrm{Im}\,p$ est fixe ; réciproquement un vecteur fixe $y=p(y)$ est dans l'image. Tout $x$ s'écrit $x=(x-p(x))+p(x)$ avec $x-p(x)\in\mathrm{Ker}\,p$. Un projecteur est inversible seulement s'il vaut $\mathrm{Id}_E$. De même, une symétrie ($s^2=\mathrm{Id}_E$) vérifie $E=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{Id}_E)\oplus\mathrm{Ker}(s+\mathrm{Id}_E)$.

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Théorème

Théorème du rang et conséquences