Erreurs fréquentes : Calcul intégral (Terminale)
Le calcul intégral permet de calculer des aires, des valeurs moyennes et des grandeurs accumulées (distance parcourue, quantité produite) à partir d'une fonction connue. Il relie la notion géométrique d'aire à celle de primitive, ce qui ramène le calcul d'une aire au calcul d'une différence F(b) − F(a).
Assimiler l'intégrale à une aire quand la fonction est négative ou change de signe, par exemple affirmer que l'aire entre la courbe de $\sin$ et l'axe sur $[0\,;\,2\pi]$ vaut $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=0$.
L'intégrale est une aire algébrique. Pour une aire, on étudie le signe de la fonction, on découpe avec la relation de Chasles et on intègre la valeur positive sur chaque morceau : ici $2+2=4$ u.a.
Se tromper de signe dans le calcul de $F(b)-F(a)$, par exemple $\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=-\cos\pi-\cos0=0$.
On écrit $F(b)-\big(F(a)\big)$ avec des parenthèses : $\big(-\cos\pi\big)-\big(-\cos0\big)=1+1=2$.
Oublier le signe moins dans la formule d'intégration par parties, ou choisir $u=e^x$ et $v'=x$ pour calculer $\int x\,e^x\,\mathrm{d}x$, ce qui fait apparaître $\int\frac{x^2}{2}e^x\,\mathrm{d}x$, plus compliquée.
La formule est $\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v$. On dérive la partie polynomiale (ou le logarithme) et on primitive l'exponentielle ou la fonction trigonométrique.
Calculer une valeur moyenne en oubliant le facteur $\frac{1}{b-a}$, ou en divisant par $b+a$.
$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Contrôle : la valeur moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur l'intervalle.
Calculer l'aire entre deux courbes par $\int_a^b(f-g)$ sans vérifier quelle courbe est au-dessus, ce qui donne un résultat négatif ou une compensation.
On étudie d'abord le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[a\,;\,b]$, puis on intègre « haut moins bas » sur chaque intervalle où le signe est constant.
Intégrer une inégalité alors que la borne inférieure est plus grande que la borne supérieure, ou déduire $f\ge0$ de $\int_a^b f\ge0$.
La positivité et la croissance de l'intégrale exigent $a\le b$. La réciproque est fausse : une intégrale positive peut provenir d'une fonction qui change de signe.
Écrire $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\times\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$.
L'intégrale est linéaire mais ne se comporte pas ainsi avec un produit. Exemple : $\int_0^1x\cdot x\,\mathrm{d}x=\frac13$ alors que $\left(\int_0^1x\,\mathrm{d}x\right)^2=\frac14$. Pour un produit, on cherche une forme usuelle ($u'e^u$…) ou on intègre par parties.
Pour $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$, écrire $F'(x)=f(t)$, ou $F'(x)=f(x)-f(a)$, ou oublier que $F(a)=0$.
D'après le théorème fondamental, $F'(x)=f(x)$ (on remplace la variable muette par la borne $x$) et $F(a)=0$. $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.