QCM : Calcul intégral (Terminale)
Le calcul intégral permet de calculer des aires, des valeurs moyennes et des grandeurs accumulées (distance parcourue, quantité produite) à partir d'une fonction connue. Il relie la notion géométrique d'aire à celle de primitive, ce qui ramène le calcul d'une aire au calcul d'une différence F(b) − F(a).
Que vaut $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$ ?
Une primitive de $\sin$ est $-\cos$. Donc $\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=1+1=2$. Le résultat $0$ vient de l'oubli des parenthèses autour de $F(0)$ : on écrit alors $-\cos\pi-\cos0=1-1=0$. Le résultat $-2$ vient de la confusion entre primitive et dérivée, en prenant $\cos$ comme primitive de $\sin$.
On pose $F(x)=\displaystyle\int_2^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. Que vaut $F'(x)$ ?
La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental, $F$ est la primitive de cette fonction qui s'annule en $2$, donc $F'(x)=e^{-x^2}$. Le choix $e^{-x^2}-e^{-4}$ confond $F'(x)$ avec $f(x)-f(2)$. Le choix $e^{-t^2}$ garde la variable muette $t$. Le choix $-2x\,e^{-x^2}$ dérive la fonction intégrée au lieu de la recopier.
Quelle est la valeur moyenne de la fonction $f:x\mapsto 2x$ sur l'intervalle $[1\,;\,3]$ ?
On a $\int_1^3 2x\,\mathrm{d}x=\big[x^2\big]_1^3=9-1=8$, puis $\mu=\dfrac{1}{3-1}\times8=4$. Le choix $8$ oublie le facteur $\dfrac{1}{b-a}$. Le choix $2$ divise par $b+a=4$. Le choix $\dfrac83$ divise par la borne $b=3$ au lieu de la longueur $b-a=2$. Contrôle : $4$ est bien compris entre $f(1)=2$ et $f(3)=6$.
Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$ ?
On intègre par parties avec $u(x)=x$, $v'(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-e^{-x}$. On obtient $\big[-x\,e^{-x}\big]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x=-e^{-1}+\big[-e^{-x}\big]_0^1=-e^{-1}+1-e^{-1}=1-\dfrac2e$. Le choix $\dfrac2e-1$ vient de $v(x)=e^{-x}$ : le signe moins de la primitive a été oublié. Le choix $-1$ vient de l'oubli du signe moins devant la seconde intégrale. Le choix $1-\dfrac1e$ oublie le crochet.
Soit $f(x)=x^2-1$. Quelle est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$ ?
On a $f(x)\le0$ sur $[0\,;\,1]$ et $f(x)\ge0$ sur $[1\,;\,2]$. On découpe avec la relation de Chasles. D'une part, $\int_0^1(1-x^2)\,\mathrm{d}x=1-\dfrac13=\dfrac23$. D'autre part, $\int_1^2(x^2-1)\,\mathrm{d}x=\left(\dfrac83-2\right)-\left(\dfrac13-1\right)=\dfrac43$. L'aire vaut donc $\dfrac23+\dfrac43=2$ u.a. Le choix $\dfrac23$ correspond à $\int_0^2 f$ sans découpage : les deux parties se compensent. Le choix $\dfrac43$ ne garde que la partie au-dessus de l'axe. Le choix $-\dfrac23$ est l'intégrale sur $[0\,;\,1]$ seule, qui est négative et ne peut pas être une aire.
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0\,;\,3]$ telles que $f(x)\le g(x)$ pour tout $x\in[0\,;\,3]$. Laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?
Comme $0\le3$, la croissance de l'intégrale donne $\int_0^3 f\le\int_0^3 g$. En multipliant par $-1$, l'inégalité change de sens : $-\int_0^3 f\ge-\int_0^3 g$, c'est-à-dire $\int_3^0 f\ge\int_3^0 g$. Le piège principal est le choix qui intègre l'inégalité sans regarder l'ordre des bornes : avec $3>0$, le sens s'inverse. Le dernier choix est faux : rien n'oblige $f$ à être négative, par exemple $f=1$ et $g=2$.
Pour tout entier $n\ge0$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x}\,\mathrm{d}x$. Quel est le sens de variation de la suite $(I_n)$ ?
Par linéarité, $I_{n+1}-I_n=\int_0^1 x^n(x-1)e^{-x}\,\mathrm{d}x$. Sur $[0\,;\,1]$, on a $x^n\ge0$, $x-1\le0$ et $e^{-x}>0$. La fonction intégrée est donc négative et, comme $0\le1$, $I_{n+1}-I_n\le0$. La suite est décroissante. L'erreur classique consiste à croire que $x^n$ augmente avec $n$, ce qui n'est vrai que pour $x>1$. Sur $[0\,;\,1]$, c'est l'inverse : $x^{n+1}\le x^n$.
Pour tout entier $n\ge0$, on pose $J_n=\displaystyle\int_0^1 x^n e^{x}\,\mathrm{d}x$. Quelle est la limite de $(J_n)$ ?
Pour $x\in[0\,;\,1]$, on a $1\le e^x\le e$, donc $0\le x^n e^x\le e\,x^n$. On intègre sur $[0\,;\,1]$ : $0\le J_n\le\dfrac{e}{n+1}$. Le théorème des gendarmes donne $\lim J_n=0$. Le choix $e$ vient de la valeur de la fonction intégrée en $x=1$, où $x^n=1$. Ce point isolé ne pèse rien dans l'intégrale. Le choix $+\infty$ vient de l'idée fausse que $x^n$ grandit avec $n$.
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,2]$ telle que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=3$ et $\displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x=5$. Que vaut $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
D'après la relation de Chasles, $\int_0^2 f=\int_0^1 f+\int_1^2 f$, donc $\int_0^1 f=3-5=-2$. Le choix $8$ additionne au lieu de soustraire. Le choix $2$ inverse la soustraction. Le dernier choix raisonne comme si l'intégrale était toujours une aire : $f$ peut être négative sur $[0\,;\,1]$, et l'intégrale est alors une aire algébrique.
Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x$ ?
Une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto\dfrac12e^{2x}$ : sa dérivée vaut $\dfrac12\times2e^{2x}=e^{2x}$. Donc $\left[\dfrac12e^{2x}\right]_0^1=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac12=\dfrac{e^2-1}{2}$. Le choix $e^2-1$ oublie le facteur $\dfrac12$. Le choix $2(e^2-1)$ multiplie par $2$ au lieu de diviser, ce qui revient à confondre primitive et dérivée. Le choix $\dfrac{e^2}{2}$ oublie de retrancher $F(0)=\dfrac12$, qui n'est pas nul.