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Fiche résumé : Calcul intégral (Terminale)

Le calcul intégral permet de calculer des aires, des valeurs moyennes et des grandeurs accumulées (distance parcourue, quantité produite) à partir d'une fonction connue. Il relie la notion géométrique d'aire à celle de primitive, ce qui ramène le calcul d'une aire au calcul d'une différence F(b) − F(a).

Aire : si $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$, $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire (en u.a.) du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$.
Théorème fondamental : si $f$ est continue sur $I$ et $a\in I$, $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ : $F'=f$ et $F(a)=0$. Démonstration exigible pour $f$ positive croissante (encadrement du taux d'accroissement par $f(x)$ et $f(x+h)$).
Calcul : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$ pour toute primitive $F$ de $f$. $\int_a^a f=0$, $\int_b^a f=-\int_a^b f$.
Signe : si $f\le0$ sur $[a\,;\,b]$, l'intégrale est l'opposé de l'aire ; en général c'est une aire algébrique.
Linéarité : $\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$.
Chasles : $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$.
Positivité, croissance (avec $a\le b$) : $f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0$ ; $f\le g\Rightarrow\int_a^b f\le\int_a^b g$.
Intégration par parties ($u$, $v$ dérivables à dérivées continues) : $\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v$. On dérive le polynôme ou $\ln$, on primitive $e^x$, $\cos$, $\sin$.
Résultats utiles : $\int_0^1x\,e^x\,\mathrm{d}x=1$ ; $\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x=1$ ; $x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Valeur moyenne ($a<b$) : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Si $m\le f\le M$, alors $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$.
Aire entre deux courbes : si $g\le f$ sur $[a\,;\,b]$, $\mathcal{A}=\int_a^b(f-g)$ u.a. Toujours étudier d'abord le signe de $f-g$ et découper si besoin.
Suites d'intégrales : signe par positivité ; variations par le signe de $f_{n+1}-f_n$ ; convergence par le théorème de convergence monotone ; limite par encadrement de la fonction intégrée puis gendarmes ; récurrence par linéarité ou intégration par parties.
Méthode des rectangles : pour $f$ monotone, les sommes $h\sum f(x_k)$ aux bornes gauches et droites encadrent l'intégrale, avec un écart $h\,|f(b)-f(a)|$.