Calcul intégral
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Le calcul intégral permet de calculer des aires, des valeurs moyennes et des grandeurs accumulées (distance parcourue, quantité produite) à partir d'une fonction connue. Il relie la notion géométrique d'aire à celle de primitive, ce qui ramène le calcul d'une aire au calcul d'une différence F(b) − F(a).
Prérequis
- Dérivées des fonctions usuelles et règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée). — Revoir Dérivation
- Primitives des fonctions usuelles et des formes $u'u^n$, $u'e^u$, $\dfrac{u'}{u}$ (avec $u>0$), $u'\cos u$, $u'\sin u$.
- Fonctions exponentielle, logarithme népérien, cosinus et sinus.
- Lien entre signe de la dérivée et sens de variation.
- Suites : théorème de convergence monotone, théorème des gendarmes.
À la fin du chapitre, on sait
- Interpréter $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme une aire quand $f$ est continue et positive, et comme une aire algébrique dans le cas général.
- Connaître et démontrer le théorème fondamental dans le cas d'une fonction continue, positive et croissante.
- Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.
- Utiliser la linéarité, la relation de Chasles, la positivité et la croissance de l'intégrale.
- Calculer une intégrale par une intégration par parties.
- Calculer une valeur moyenne et l'aire du domaine compris entre deux courbes.
- Étudier une suite définie par une intégrale : signe, variations, encadrement, limite, relation de récurrence.
1.1. Intégrale d'une fonction continue positive
Unité d'aire
Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O\,;\,I,\,J)$. On note $K$ le point de coordonnées $(1\,;\,1)$. L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle $OIKJ$.
Par exemple, si une unité vaut $2$ cm sur l'axe des abscisses et $3$ cm sur l'axe des ordonnées, alors $1$ u.a. $= 2\times 3 = 6$ cm$^2$.
Intégrale d'une fonction continue positive
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\,b]$, de courbe $\mathcal{C}_f$.
Le domaine sous la courbe est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $a\le x\le b$ et $0\le y\le f(x)$. C'est la région délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire. On la note $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$ Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.
La variable est muette
La lettre $x$ ne joue aucun rôle dans la valeur de l'intégrale : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u$. Le résultat est un nombre, qui ne dépend que de $f$, $a$ et $b$.
On a aussi $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$ : le domaine est un segment, d'aire nulle.
Calculs d'aires par la géométrie
- Fonction constante : pour $f(x)=3$ sur $[1\,;\,5]$, le domaine est un rectangle de largeur $4$ et de hauteur $3$, donc $\int_1^5 3\,\mathrm{d}x=12$.
- Fonction affine : pour $f(x)=x+1$ sur $[0\,;\,2]$, le domaine est un trapèze de bases $f(0)=1$ et $f(2)=3$ et de hauteur $2$. Donc $$\int_0^2 (x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{(1+3)\times 2}{2}=4.$$
- Pour $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0\,;\,1]$, la courbe est un quart de cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (repère orthonormé), donc $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{4}$.
Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles
Quand $f$ est continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$ :
- On partage $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur $h=\dfrac{b-a}{n}$, de bornes $x_k=a+kh$.
- Sur chaque intervalle $[x_k\,;\,x_{k+1}]$, on encadre le domaine entre un rectangle de hauteur $f(x_k)$ et un rectangle de hauteur $f(x_{k+1})$.
- On obtient $s_n\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le S_n$ avec $$s_n=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\qquad S_n=h\sum_{k=1}^{n}f(x_k).$$
Pour $f$ décroissante, les rôles de $s_n$ et $S_n$ s'échangent.
Exemple : $f(x)=x^2$ sur $[0\,;\,1]$ avec $n=4$, donc $h=\dfrac14$. $$s_4=\frac14\left(0+\frac1{16}+\frac4{16}+\frac9{16}\right)=\frac{7}{32},\qquad S_4=\frac14\left(\frac1{16}+\frac4{16}+\frac9{16}+\frac{16}{16}\right)=\frac{15}{32}.$$ Donc $0{,}21875\le\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x\le0{,}46875$. La valeur exacte, calculée plus loin, est $\dfrac13$. L'écart $S_n-s_n=h\,(f(b)-f(a))$ tend vers $0$ quand $n$ augmente : cette méthode se programme facilement en Python avec une boucle.
2.2. Théorème fondamental, intégrale et primitive
Théorème fondamental de l'analyse
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;\,b]$. La fonction $F$ définie sur $[a\,;\,b]$ par $$F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$ et $F'=f$. Autrement dit, $F$ est la primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ qui s'annule en $a$.
Cas où f est continue, positive et croissante (démonstration exigible)
Soit $x\in[a\,;\,b]$. On étudie le taux d'accroissement $\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$ pour $h\neq0$ tel que $x+h\in[a\,;\,b]$.
Cas $h>0$. La différence $F(x+h)-F(x)$ est l'aire du domaine sous la courbe entre $x$ et $x+h$. Comme $f$ est croissante, pour tout $t\in[x\,;\,x+h]$, $f(x)\le f(t)\le f(x+h)$. Ce domaine contient donc le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x)$, et il est contenu dans le rectangle de base $h$ et de hauteur $f(x+h)$. D'où $$h\,f(x)\le F(x+h)-F(x)\le h\,f(x+h).$$ En divisant par $h>0$ : $$f(x)\le\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le f(x+h).$$
Cas $h<0$. Cette fois $F(x)-F(x+h)$ est l'aire du domaine entre $x+h$ et $x$, intervalle de longueur $-h>0$. Le même raisonnement donne $$-h\,f(x+h)\le F(x)-F(x+h)\le -h\,f(x).$$ En divisant par $-h>0$ et en remarquant que $\dfrac{F(x)-F(x+h)}{-h}=\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$ : $$f(x+h)\le\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\le f(x).$$
Passage à la limite. $f$ est continue en $x$, donc $\lim\limits_{h\to0}f(x+h)=f(x)$. Dans les deux cas, le taux d'accroissement est encadré par $f(x)$ et $f(x+h)$, qui tendent tous deux vers $f(x)$. D'après le théorème des gendarmes, $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x).$$ Donc $F$ est dérivable en $x$ et $F'(x)=f(x)$. Enfin $F(a)=\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t=0$.
Existence de primitives (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$, il existe un réel $c$ tel que $G=F+c$.
Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive
Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;\,b]$. Alors $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$ On note $\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$.
Justification : $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est une primitive de $f$, donc elle s'écrit $F+c$. Elle vaut $0$ en $a$, donc $c=-F(a)$. En $x=b$ : $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=F(b)-F(a)$.
Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. On définit $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).$$ Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : si $G=F+c$, alors $G(b)-G(a)=F(b)-F(a)$.
Conséquence immédiate : $\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Le théorème fondamental reste vrai : pour $f$ continue sur $I$ et $a\in I$, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
Calculs d'intégrales
- $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13-0=\frac13.$
- $\displaystyle\int_0^1(3x^2-2x+1)\,\mathrm{d}x=\big[x^3-x^2+x\big]_0^1=1-0=1.$
- $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1-0=1.$
- $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos0)=1+1=2.$
- $\displaystyle\int_1^2\frac1x\,\mathrm{d}x=\big[\ln x\big]_1^2=\ln2.$
- Forme $u'e^u$ avec $u(x)=x^2$ : $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x=\big[e^{x^2}\big]_0^1=e-1.$
- Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$ : $\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac12\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac12\big[\ln(x^2+1)\big]_0^1=\frac{\ln2}{2}.$
Calculer une intégrale avec une primitive
- Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle d'intégration.
- Reconnaître une forme usuelle ($x^n$, $e^{ax+b}$, $u'e^u$, $\frac{u'}{u}$, $u'u^n$, $\cos$, $\sin$…) et ajuster les constantes multiplicatives.
- Écrire une primitive $F$ entre crochets, puis calculer $F(b)-F(a)$ en mettant $F(a)$ entre parenthèses.
- Contrôler la vraisemblance : si $f\ge0$ et $a\le b$, le résultat doit être positif.
Étudier une fonction définie par une intégrale
Soit $G(x)=\displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. On ne connaît pas d'expression de $G$ avec les fonctions usuelles, mais on peut l'étudier.
La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental, $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $G'(x)=e^{-x^2}$. Comme $e^{-x^2}>0$, $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus $G(0)=0$, donc $G(x)<0$ pour $x<0$ et $G(x)>0$ pour $x>0$.
Le logarithme comme intégrale
Pour $x>0$, $\ln x=\displaystyle\int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t$ : c'est la primitive de $t\mapsto\frac1t$ sur $]0\,;\,+\infty[$ qui s'annule en $1$. Pour $x>1$, $\ln x$ est donc l'aire sous l'hyperbole d'équation $y=\frac1t$ entre $1$ et $x$.
3.3. Propriétés de l'intégrale
Interprétation en termes d'aire selon le signe
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a\le b$.
- Si $f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire du domaine sous la courbe.
- Si $f\le0$ sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'opposé de l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses.
- Si $f$ change de signe : l'intégrale est une aire algébrique ; les parties situées au-dessus de l'axe comptent positivement, celles situées en dessous négativement.
Exemple : $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\big[-\cos x\big]_0^{2\pi}=-1+1=0$. L'arche positive sur $[0\,;\,\pi]$ (aire $2$) compense exactement l'arche négative sur $[\pi\,;\,2\pi]$.
Linéarité
Soit $f$ et $g$ continues sur un intervalle $I$, $a,b\in I$ et $\lambda,\mu$ deux réels. Alors $$\int_a^b\big(\lambda f(x)+\mu g(x)\big)\,\mathrm{d}x=\lambda\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\mu\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.$$
Linéarité
Soit $F$ et $G$ des primitives de $f$ et $g$ sur $I$. La fonction $\lambda F+\mu G$ est dérivable de dérivée $\lambda f+\mu g$ : c'est une primitive de $\lambda f+\mu g$. Donc $$\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\big(\lambda F(b)+\mu G(b)\big)-\big(\lambda F(a)+\mu G(a)\big)=\lambda\big(F(b)-F(a)\big)+\mu\big(G(b)-G(a)\big).$$
Relation de Chasles
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a,b,c\in I$ (dans n'importe quel ordre). Alors $$\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x.$$
Démonstration : avec $F$ primitive de $f$, $F(c)-F(a)=\big(F(b)-F(a)\big)+\big(F(c)-F(b)\big)$.
Pour une fonction positive et $a\le b\le c$, cela traduit l'additivité des aires : le domaine sur $[a\,;\,c]$ est la réunion des domaines sur $[a\,;\,b]$ et $[b\,;\,c]$.
Utiliser Chasles avec une valeur absolue
Calculer $\int_{-1}^2|x|\,\mathrm{d}x$. Sur $[-1\,;\,0]$, $|x|=-x$ ; sur $[0\,;\,2]$, $|x|=x$. Donc $$\int_{-1}^2|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^0(-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^2x\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=\frac12+2=\frac52.$$
Positivité et croissance
Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ avec $a\le b$.
- Positivité : si $f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0$.
- Croissance (intégration d'une inégalité) : si $f\le g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$.
Positivité et croissance
Positivité : soit $F$ une primitive de $f$. Comme $F'=f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$, $F$ est croissante sur $[a\,;\,b]$. Puisque $a\le b$, $F(a)\le F(b)$, donc $\int_a^b f=F(b)-F(a)\ge0$.
Croissance : si $f\le g$, alors $g-f\ge0$. Par positivité, $\int_a^b(g-f)\ge0$, et par linéarité $\int_a^b g-\int_a^b f\ge0$.
La réciproque est fausse et l'ordre des bornes compte
- Une intégrale positive ne signifie pas que la fonction est positive : $\int_{-1}^2x\,\mathrm{d}x=\frac{4}{2}-\frac12=\frac32>0$ alors que $x<0$ sur $[-1\,;\,0[$.
- Si $a>b$, les inégalités s'inversent : $\int_1^0 1\,\mathrm{d}x=-1<0$ alors que $1>0$. Avant d'intégrer une inégalité, on vérifie que la borne du bas est inférieure à celle du haut.
Encadrer une intégrale
- Encadrer la fonction : trouver $m(x)\le f(x)\le M(x)$ sur $[a\,;\,b]$, en utilisant les variations de $f$ ou des inégalités connues.
- Vérifier que $a\le b$.
- Intégrer l'encadrement par croissance de l'intégrale.
Exemple : pour $x\in[0\,;\,1]$, $0\le x^2\le1$, donc $-1\le-x^2\le0$ et, par croissance de l'exponentielle, $e^{-1}\le e^{-x^2}\le1$. Comme $0\le1$, on intègre : $$e^{-1}\le\int_0^1e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\le1.$$
4.4. Intégration par parties
Formule d'intégration par parties
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, à dérivées continues sur $I$, et $a,b\in I$. Alors $$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x=\big[u(x)\,v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$$
Formule d'intégration par parties
La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)'=u'v+uv'$. Cette dérivée est continue, et $uv$ en est une primitive, donc $$\int_a^b\big(u'v+uv'\big)=\big[uv\big]_a^b.$$ Par linéarité, $\int_a^b u'v+\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b$, d'où $\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v$. Toutes les intégrales écrites existent car $u'v$ et $uv'$ sont continues.
Mener une intégration par parties
On l'utilise pour un produit dont on ne reconnaît pas de primitive directe, typiquement polynôme $\times$ exponentielle, polynôme $\times$ cosinus ou sinus, polynôme $\times$ logarithme.
- Choisir $u$ (à dériver) et $v'$ (à primitiver) : on dérive la partie qui se simplifie en la dérivant (le polynôme, ou $\ln x$) et on primitive celle dont la primitive est simple ($e^x$, $\cos x$, $\sin x$).
- Écrire clairement les quatre fonctions : $u(x)=\dots$, $u'(x)=\dots$, $v'(x)=\dots$, $v(x)=\dots$, et préciser qu'elles sont dérivables à dérivées continues.
- Appliquer la formule sans oublier le signe moins devant la seconde intégrale.
- Calculer le crochet et la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple que l'initiale. Si elle est plus compliquée, le choix de $u$ et $v'$ est à inverser.
Polynôme fois exponentielle
Calculer $I=\int_0^1x\,e^x\,\mathrm{d}x$.
On pose $u(x)=x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=e^x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,1]$. $$I=\big[x\,e^x\big]_0^1-\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x=(e-0)-\big[e^x\big]_0^1=e-(e-1)=1.$$
Polynôme fois sinus
Calculer $J=\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x$.
On pose $u(x)=x$, $v'(x)=\sin x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=-\cos x$. $$J=\big[-x\cos x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x)\,\mathrm{d}x=\big(-\pi\cos\pi-0\big)+\big[\sin x\big]_0^{\pi}=\pi+0=\pi.$$
Logarithme : faire apparaître le facteur 1
Calculer $K=\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x$.
On écrit $\ln x=1\times\ln x$ et on pose $u(x)=\ln x$, $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\dfrac1x$, $v(x)=x$, sur $[1\,;\,e]$. $$K=\big[x\ln x\big]_1^e-\int_1^e\frac1x\times x\,\mathrm{d}x=(e\ln e-1\times\ln1)-\int_1^e1\,\mathrm{d}x=e-(e-1)=1.$$ Au passage, la fonction $x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$, ce qui se vérifie en dérivant : $\ln x+1-1=\ln x$.
Deux intégrations par parties successives
Pour $x^2e^x$, une première intégration par parties (avec $u(x)=x^2$) ramène à $\int x\,e^x$, qu'une seconde intégration par parties permet de calculer. Par exemple $$\int_0^1x^2e^x\,\mathrm{d}x=\big[x^2e^x\big]_0^1-2\int_0^1x\,e^x\,\mathrm{d}x=e-2\times1=e-2.$$
5.5. Valeur moyenne d'une fonction
Valeur moyenne
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a<b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est le réel $$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$
Interprétation graphique et concrète
Si $f$ est positive, $\mu(b-a)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ : le rectangle de base $b-a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe.
En physique, si $v(t)$ est la vitesse d'un mobile à l'instant $t$, la distance parcourue entre $t_1$ et $t_2$ est $\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm{d}t$ (pour $v\ge0$) et la vitesse moyenne est la valeur moyenne de $v$ sur $[t_1\,;\,t_2]$.
Calculs de valeurs moyennes
- Valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;\,3]$ : $$\mu=\frac{1}{3-0}\int_0^3x^2\,\mathrm{d}x=\frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac13\times9=3.$$
- Valeur moyenne de $g(x)=e^x$ sur $[0\,;\,\ln2]$ : $$\mu=\frac{1}{\ln2}\big[e^x\big]_0^{\ln2}=\frac{2-1}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\approx1{,}44.$$
- Valeur moyenne de $\sin$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\mu=\dfrac{1}{\pi}\times2=\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}64$.
Inégalité de la moyenne
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a<b$. S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\le f(x)\le M$ pour tout $x\in[a\,;\,b]$, alors $$m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a),\qquad\text{donc}\qquad m\le\mu\le M.$$
Démonstration : on intègre l'encadrement $m\le f\le M$ sur $[a\,;\,b]$ (croissance, $a\le b$) en utilisant $\int_a^b m\,\mathrm{d}x=m(b-a)$, puis on divise par $b-a>0$.
Utiliser l'inégalité de la moyenne
Sur $[1\,;\,2]$, la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante, donc $\dfrac12\le\dfrac1x\le1$. L'intervalle est de longueur $1$, d'où $\dfrac12\le\int_1^2\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\le1$, c'est-à-dire $\dfrac12\le\ln2\le1$. C'est cohérent avec $\ln2\approx0{,}693$.
6.6. Aire entre deux courbes
Aire du domaine compris entre deux courbes
Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ ($a\le b$) telles que $g\le f$ sur $[a\,;\,b]$. L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est $$\mathcal{A}=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x.$$
C'est l'intégrale de « la courbe du haut moins la courbe du bas ». Le résultat vaut que les courbes soient au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses : seul compte l'écart $f-g\ge0$.
Justification
Si $0\le g\le f$, le domaine sous $\mathcal{C}_f$ est la réunion du domaine sous $\mathcal{C}_g$ et du domaine entre les deux courbes ; on retranche les aires. Dans le cas général, on choisit une constante $k$ telle que $g+k\ge0$ : translater les deux courbes vers le haut ne change ni l'aire cherchée ni la différence $(f+k)-(g+k)=f-g$.
Entre une droite et une parabole
Soit $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0\,;\,1]$. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $f(x)-g(x)=x(1-x)\ge0$, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$. $$\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16\text{ u.a.}$$
Aire entre une courbe négative et l'axe des abscisses
Soit $h(x)=x^2-2x=x(x-2)$. Sur $[0\,;\,2]$, $h(x)\le0$ : la courbe est sous l'axe des abscisses (d'équation $y=0$). La courbe du haut est l'axe, celle du bas est $\mathcal{C}_h$, donc $$\mathcal{A}=\int_0^2\big(0-h(x)\big)\,\mathrm{d}x=-\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2=-\left(\frac83-4\right)=\frac43\text{ u.a.}$$
Calculer l'aire entre deux courbes
- Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur l'intervalle (factorisation, tableau de signes). Les points où il s'annule sont les abscisses des points d'intersection.
- Si $f-g$ garde un signe constant, intégrer « haut moins bas ».
- Si $f-g$ change de signe en $c$, découper avec la relation de Chasles et intégrer sur chaque morceau la différence positive.
- Donner le résultat en u.a., puis en cm$^2$ si les unités graphiques sont précisées.
Exemple avec changement de signe : $f(x)=x^3$ et $g(x)=x$ sur $[-1\,;\,1]$. On a $f(x)-g(x)=x(x-1)(x+1)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $x^3-x$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ |
$$\mathcal{A}=\int_{-1}^0(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1(x-x^3)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac14+\frac14=\frac12\text{ u.a.}$$ On remarque que $\int_{-1}^1(x^3-x)\,\mathrm{d}x=0$ : sans découpage, on aurait trouvé une « aire » nulle, ce qui est faux.
7.7. Suites d'intégrales
Une suite d'intégrales est une suite $(I_n)$ définie par $I_n=\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x$, où la fonction intégrée dépend de l'entier $n$. On ne sait en général pas calculer $I_n$ explicitement, mais les propriétés de l'intégrale (positivité, croissance, linéarité, intégration par parties) permettent d'obtenir son signe, son sens de variation, un encadrement et sa limite. Ce thème revient très souvent au baccalauréat.
Étudier une suite d'intégrales
Pour $I_n=\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x$ avec $a\le b$ :
- Signe : si $f_n(x)\ge0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $I_n\ge0$ par positivité.
- Sens de variation : on écrit $I_{n+1}-I_n=\int_a^b\big(f_{n+1}(x)-f_n(x)\big)\,\mathrm{d}x$ par linéarité, et on étudie le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x)$ sur $[a\,;\,b]$.
- Convergence : une suite décroissante minorée (ou croissante majorée) converge, par le théorème de convergence monotone.
- Limite : on encadre $f_n(x)$ sur $[a\,;\,b]$, on intègre l'encadrement, puis on applique le théorème des gendarmes.
- Relation de récurrence : on l'obtient par linéarité (en calculant $I_n+I_{n+1}$ par exemple) ou par intégration par parties.
Étude complète de $I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$
Pour tout entier $n\ge0$, on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x$.
Premier terme. $I_0=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x=\big[\ln(1+x)\big]_0^1=\ln2.$
Signe. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $x^n\ge0$ et $1+x>0$, donc $\dfrac{x^n}{1+x}\ge0$. Comme $0\le1$, $I_n\ge0$.
Variations. Par linéarité, $$I_{n+1}-I_n=\int_0^1\frac{x^{n+1}-x^n}{1+x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{x^n(x-1)}{1+x}\,\mathrm{d}x.$$ Sur $[0\,;\,1]$, $x^n\ge0$, $x-1\le0$ et $1+x>0$, donc la fonction intégrée est négative et $I_{n+1}-I_n\le0$. La suite $(I_n)$ est décroissante.
Convergence. $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge.
Limite. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $1\le1+x\le2$, donc $\dfrac12\le\dfrac{1}{1+x}\le1$, puis, en multipliant par $x^n\ge0$ : $$\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{1+x}\le x^n.$$ On intègre sur $[0\,;\,1]$ avec $\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}$ : $$\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le\frac{1}{n+1}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$ ; par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.
Relation de récurrence. Par linéarité, $$I_n+I_{n+1}=\int_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\,\mathrm{d}x=\int_0^1x^n\,\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}.$$ Ainsi $I_1=1-I_0=1-\ln2$ et $I_2=\dfrac12-I_1=\ln2-\dfrac12$.
Relation de récurrence par intégration par parties
Pour $n\ge0$, on pose $J_n=\displaystyle\int_0^1x^n\,e^x\,\mathrm{d}x$. On a $J_0=\big[e^x\big]_0^1=e-1$.
Pour $n\ge0$, on intègre $J_{n+1}$ par parties avec $u(x)=x^{n+1}$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=(n+1)x^n$, $v(x)=e^x$ : $$J_{n+1}=\big[x^{n+1}e^x\big]_0^1-(n+1)\int_0^1x^n\,e^x\,\mathrm{d}x=e-(n+1)J_n.$$ On retrouve $J_1=e-J_0=e-(e-1)=1$, conforme au calcul de la section 4, puis $J_2=e-2J_1=e-2$.
Ne pas confondre la variable et l'indice
Dans $I_n=\int_0^1f_n(x)\,\mathrm{d}x$, la variable d'intégration $x$ est muette et l'entier $n$ est fixé pendant le calcul. On ne dérive jamais par rapport à $n$, et le résultat $I_n$ dépend de $n$ mais pas de $x$. Pour comparer $I_n$ et $I_{n+1}$, on compare les fonctions intégrées à $x$ fixé dans l'intervalle d'intégration.