Exercices corrigés : Calcul intégral (Terminale)

Toutes les fonctions intégrées sont continues sur l'intervalle d'intégration, ce qui permet d'utiliser $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ avec $F$ primitive de $f$.

1. Une primitive de $x\mapsto2x-1$ est $x\mapsto x^2-x$. $$A=\big[x^2-x\big]_1^3=(9-3)-(1-1)=6.$$

2. La dérivée de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto2e^{2x}$, donc une primitive de $x\mapsto e^{2x}$ est $x\mapsto\dfrac12e^{2x}$. $$B=\left[\frac12e^{2x}\right]_0^1=\frac12e^2-\frac12e^0=\frac{e^2-1}{2}.$$

3. Sur $[1\,;\,e]\subset\,]0\,;\,+\infty[$, une primitive de $x\mapsto\dfrac3x$ est $x\mapsto3\ln x$. $$C=\big[3\ln x\big]_1^e=3\ln e-3\ln1=3.$$

4. Une primitive de $\cos$ est $\sin$. $$D=\big[\sin x\big]_0^{\pi/3}=\sin\frac{\pi}{3}-\sin0=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Contrôle : les quatre fonctions sont positives sur leur intervalle et la borne du bas est inférieure à celle du haut ; les quatre résultats sont bien positifs.

1. La fonction $x\mapsto2x+1$ est continue et positive sur $[1\,;\,3]$. Le domaine sous la courbe est un trapèze de bases $f(1)=3$ et $f(3)=7$ et de hauteur $3-1=2$ : $$\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{(3+7)\times2}{2}=10.$$

2. Pour $x\in[-2\,;\,2]$, posons $y=\sqrt{4-x^2}$. Alors $y\ge0$ et $x^2+y^2=4$ : la courbe est le demi-cercle supérieur de centre $O$ et de rayon $2$. Le domaine sous la courbe est un demi-disque de rayon $2$, d'aire $\dfrac{\pi\times2^2}{2}=2\pi$. Donc $$\int_{-2}^2\sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x=2\pi.$$

3. Sur $[0\,;\,1]$, $|x-1|=1-x$ ; sur $[1\,;\,3]$, $|x-1|=x-1$. Par la relation de Chasles, $$\int_0^3|x-1|\,\mathrm{d}x=\int_0^1(1-x)\,\mathrm{d}x+\int_1^3(x-1)\,\mathrm{d}x.$$ Le premier domaine est un triangle rectangle de côtés $1$ et $1$, d'aire $\dfrac12$. Le second est un triangle rectangle de côtés $2$ (de $x=1$ à $x=3$) et $2$ (hauteur en $x=3$), d'aire $\dfrac{2\times2}{2}=2$. Donc $$\int_0^3|x-1|\,\mathrm{d}x=\frac12+2=\frac52.$$

4. Une primitive de $x\mapsto2x+1$ est $x\mapsto x^2+x$ : $$\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x=\big[x^2+x\big]_1^3=(9+3)-(1+1)=10.$$ On retrouve bien le résultat géométrique.

1. Par la relation de Chasles, $\int_0^5f=\int_0^2f+\int_2^5f$, donc $$\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x=7-3=4.$$

2. $\displaystyle\int_5^2f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x=-4.$

3. Par linéarité, $$\int_2^5\big(2f(x)-3g(x)\big)\,\mathrm{d}x=2\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x-3\int_2^5g(x)\,\mathrm{d}x=2\times4-3\times(-1)=11.$$

4. Par Chasles, $\int_0^5g=\int_0^2g+\int_2^5g=4+(-1)=3$. Par linéarité, $$\int_0^5\big(f(x)+g(x)\big)\,\mathrm{d}x=7+3=10.$$

5. Par linéarité, et avec $x\mapsto x^2$ primitive de $x\mapsto2x$ : $$\int_0^2\big(f(x)+2x\big)\,\mathrm{d}x=3+\big[x^2\big]_0^2=3+4=7.$$

1. $F(0)=\displaystyle\int_0^0(1-t)e^{t^2}\,\mathrm{d}t=0$.

2. La fonction $t\mapsto(1-t)e^{t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (produit d'un polynôme et de la composée d'un polynôme par l'exponentielle). D'après le théorème fondamental, $F$ est la primitive de cette fonction sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $0$. Elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$F'(x)=(1-x)\,e^{x^2}.$$

3. Comme $e^{x^2}>0$, $F'(x)$ a le signe de $1-x$ : positif sur $]-\infty\,;\,1]$, négatif sur $[1\,;\,+\infty[$, nul en $1$.

4. La tangente en $0$ a pour équation $y=F'(0)(x-0)+F(0)$. Or $F'(0)=1\times e^0=1$ et $F(0)=0$, donc la tangente a pour équation $y=x$.

5. Pour $t\in[0\,;\,1]$, $0\le t^2\le1$, donc par croissance de l'exponentielle $1\le e^{t^2}\le e$. Comme $1-t\ge0$, on peut multiplier sans changer le sens : $$1-t\le(1-t)e^{t^2}\le e(1-t).$$ Comme $0\le1$, on intègre cet encadrement sur $[0\,;\,1]$ par croissance de l'intégrale. Or $$\int_0^1(1-t)\,\mathrm{d}t=\left[t-\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac12.$$ Donc, par linéarité, $$\frac12\le F(1)\le\frac{e}{2}.$$

6. D'après le tableau de variations, $F$ admet un maximum en $x=1$ : pour tout réel $x$, $F(x)\le F(1)$. Avec la question 5, $F(x)\le F(1)\le\dfrac{e}{2}$.

1. On pose $u(x)=x$, $v'(x)=\cos x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=\sin x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\pi]$. $$A=\big[x\sin x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=(\pi\sin\pi-0)-\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=0-\big(-\cos\pi+\cos0\big)=-(1+1)=-2.$$ Le résultat négatif est possible : $x\cos x$ est négatif sur $\left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, là où $x$ est le plus grand.

2. On pose $u(x)=\ln x$, $v'(x)=x$, donc $u'(x)=\dfrac1x$, $v(x)=\dfrac{x^2}{2}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[1\,;\,e]$. $$B=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac1x\times\frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-0-\int_1^e\frac x2\,\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e.$$ Donc $$B=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{2e^2-e^2+1}{4}=\frac{e^2+1}{4}.$$

3. On pose $u(x)=2x+1$, $v'(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=2$, $v(x)=-e^{-x}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,1]$. $$C=\big[-(2x+1)e^{-x}\big]_0^1-\int_0^12\times(-e^{-x})\,\mathrm{d}x=\big(-3e^{-1}+1\big)+2\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x.$$ Or $\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x=\big[-e^{-x}\big]_0^1=1-e^{-1}$. Donc $$C=1-3e^{-1}+2-2e^{-1}=3-\frac5e.$$ Contrôle : $C\approx1{,}16$, cohérent avec une fonction qui varie entre $1$ et $3e^{-1}\approx1{,}10$ en passant par environ $1{,}21$.

1. $f(x)-g(x)=-x^2+4x-x=-x^2+3x=x(3-x)$. Donc $f(x)=g(x)\iff x=0$ ou $x=3$. Les courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $3$.

2. Sur $[0\,;\,3]$, $x\ge0$ et $3-x\ge0$, donc $f(x)-g(x)\ge0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,;\,3]$.

3. Les fonctions sont continues et $g\le f$ sur $[0\,;\,3]$, donc l'aire cherchée est $$\mathcal{A}=\int_0^3\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x=\int_0^3(3x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac92\text{ u.a.}$$ Une unité d'aire vaut $2\times1=2$ cm$^2$, donc $\mathcal{A}=\dfrac92\times2=9$ cm$^2$.

1. $I_0=\int_1^e1\,\mathrm{d}x=e-1$. Avec la primitive $x\mapsto x\ln x-x$ : $I_1=\big[x\ln x-x\big]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$.

2. Soit $n\ge0$. On pose $u(x)=(\ln x)^{n+1}$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=(n+1)\dfrac1x(\ln x)^n$ et $v(x)=x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[1\,;\,e]$. $$I_{n+1}=\big[x(\ln x)^{n+1}\big]_1^e-\int_1^e(n+1)\frac1x(\ln x)^n\times x\,\mathrm{d}x=\big(e\times1-1\times0\big)-(n+1)\int_1^e(\ln x)^n\,\mathrm{d}x.$$ Donc $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$. Pour $n=0$, on retrouve $I_1=e-(e-1)=1$.

3. $I_2=e-2I_1=e-2$ et $I_3=e-3I_2=e-3e+6=6-2e$.

4. Signe : pour $x\in[1\,;\,e]$, $\ln x\ge0$ donc $(\ln x)^n\ge0$. Comme $1\le e$, par positivité $I_n\ge0$.

Variations : par linéarité, $$I_{n+1}-I_n=\int_1^e(\ln x)^n(\ln x-1)\,\mathrm{d}x.$$ Pour $x\in[1\,;\,e]$, $(\ln x)^n\ge0$ et $\ln x-1\le0$, donc la fonction intégrée est négative et $I_{n+1}-I_n\le0$. La suite est décroissante. (Contrôle : $I_0\approx1{,}72$, $I_1=1$, $I_2\approx0{,}72$, $I_3\approx0{,}56$.)

5. D'après la question 2, $(n+1)I_n=e-I_{n+1}$. Comme $I_{n+1}\ge0$, $(n+1)I_n\le e$, donc $$0\le I_n\le\frac{e}{n+1}.$$ Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e}{n+1}=0$, le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.

6. $(n+1)I_n=e-I_{n+1}$ et $\lim I_{n+1}=0$, donc $\lim(n+1)I_n=e$. Alors $nI_n=(n+1)I_n-I_n$ tend vers $e-0=e$.

1. On pose $u(x)=\cos x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=-\sin x$, $v(x)=e^x$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\pi]$. $$I=\big[e^x\cos x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\sin x)e^x\,\mathrm{d}x=\big(e^{\pi}\cos\pi-e^0\cos0\big)+J=-e^{\pi}-1+J.$$

2. On pose $u(x)=\sin x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=\cos x$, $v(x)=e^x$. $$J=\big[e^x\sin x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\cos x\,e^x\,\mathrm{d}x=\big(e^{\pi}\sin\pi-e^0\sin0\big)-I=0-I=-I.$$

3. En remplaçant $J$ par $-I$ dans la question 1 : $I=-e^{\pi}-1-I$, donc $2I=-(e^{\pi}+1)$ et $$I=-\frac{e^{\pi}+1}{2},\qquad J=\frac{e^{\pi}+1}{2}.$$

4. Sur $[0\,;\,\pi]$, $e^x>0$ et $\sin x\ge0$, donc $x\mapsto e^x\sin x$ est continue et positive. $J$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$. Avec $e^{\pi}\approx23{,}1407$, on obtient $J\approx12{,}07$ u.a.

5. Soit $H(x)=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$. Par la dérivée d'un produit, $$H'(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)}{2}=\frac{2e^x\sin x}{2}=e^x\sin x.$$ $H$ est donc une primitive de $x\mapsto e^x\sin x$ et $$J=H(\pi)-H(0)=\frac{e^{\pi}(0+1)}{2}-\frac{1\times(0-1)}{2}=\frac{e^{\pi}+1}{2},$$ ce qui confirme le résultat.

Partie A

1. $f(x)=x\,e^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,e^{-x}=0$, et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

2. $f$ est dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables, et $$f'(x)=1\times e^{-x}+(x+1)\times(-e^{-x})=e^{-x}(1-x-1)=-x\,e^{-x}.$$ Pour $x\ge0$, $-x\le0$ et $e^{-x}>0$, donc $f'(x)\le0$, nul seulement en $0$ : $f$ est strictement décroissante.

3. $f(0)=1$ et $f'(0)=0$, donc $T$ a pour équation $y=1$. Comme $f$ est décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$, $f(x)\le f(0)=1$ ; de plus $x+1>0$ et $e^{-x}>0$, donc $f(x)>0$. Ainsi $0<f(x)\le1$.

Partie B

1. On pose $u(x)=x+1$, $v'(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=-e^{-x}$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\lambda]$. $$A(\lambda)=\big[-(x+1)e^{-x}\big]_0^{\lambda}+\int_0^{\lambda}e^{-x}\,\mathrm{d}x=-(\lambda+1)e^{-\lambda}+1+\big[-e^{-x}\big]_0^{\lambda}=-(\lambda+1)e^{-\lambda}+1+1-e^{-\lambda}.$$ Donc $A(\lambda)=2-(\lambda+2)e^{-\lambda}$.

2. $f$ est continue et positive sur $[0\,;\,\lambda]$ : $A(\lambda)$ est l'aire, en u.a., du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$. Comme $(\lambda+2)e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}+2e^{-\lambda}$ tend vers $0$ (croissances comparées), $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=2$.

3. $\mu=\dfrac{1}{2-0}A(2)=\dfrac{2-4e^{-2}}{2}=1-2e^{-2}\approx0{,}73$.

4. D'après A3, sur $[0\,;\,1]$, $f(x)\le1$ : $T$ est au-dessus de $\mathcal{C}$. L'aire cherchée est $$\int_0^1\big(1-f(x)\big)\,\mathrm{d}x=1-A(1)=1-\big(2-3e^{-1}\big)=\frac3e-1\approx0{,}10\text{ u.a.}$$

5. La boucle augmente $n$ tant que $A(n)<1{,}9$. Comme $f>0$, $A$ est croissante (sa dérivée est $f$ d'après le théorème fondamental), donc la fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $A(n)\ge1{,}9$, c'est-à-dire tel que $(n+2)e^{-n}\le0{,}1$.

$A(3)=2-5e^{-3}\approx1{,}751$ ; $A(4)=2-6e^{-4}\approx1{,}890$ ; $A(5)=2-7e^{-5}\approx1{,}953$.

Donc la fonction renvoie $5$.