Erreurs fréquentes : Continuité (Terminale)
La continuité est l'outil qui permet d'affirmer qu'une équation possède une solution sans savoir la calculer, puis d'encadrer cette solution aussi précisément que voulu. Elle sert aussi à déterminer la limite d'une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sans mentionner la continuité de la fonction.
La continuité sur l'intervalle est l'hypothèse centrale. Il faut l'écrire et la justifier (polynôme, somme, produit, composée de fonctions continues, ou fonction dérivable).
Conclure à l'unicité de la solution avec le seul théorème des valeurs intermédiaires.
Le théorème donne l'existence d'au moins une solution. L'unicité exige en plus la stricte monotonie sur l'intervalle (corollaire).
Croire qu'une fonction continue en $a$ est dérivable en $a$.
C'est l'inverse : dérivable implique continue. La valeur absolue et la racine carrée sont continues en $0$ sans y être dérivables.
Écrire que $\lim u_n=\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ sans avoir prouvé la convergence de la suite.
Le théorème du point fixe suppose que la suite converge. On démontre d'abord la convergence (monotone et bornée), puis on résout $f(\ell)=\ell$.
Garder toutes les solutions de $f(\ell)=\ell$ comme limites possibles.
On élimine les solutions incompatibles avec les bornes établies pour la suite. Dans l'exemple $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$, la valeur $-2$ est exclue car $\ell\geqslant 0$.
Dans une fonction définie par morceaux, vérifier seulement que l'expression de gauche et celle de droite « se raccordent » sans calculer $f(a)$.
Il faut que la limite à gauche et la limite à droite soient toutes deux égales à $f(a)$, calculé avec la bonne expression.
Compter les solutions de $f(x)=k$ sur tout l'intervalle alors que $f$ n'y est pas monotone.
On découpe le domaine en intervalles de stricte monotonie, on applique le corollaire sur chacun, puis on additionne les solutions obtenues.
Dans la dichotomie, se tromper de mise à jour : remplacer $a$ par $m$ quand $f(a)\times f(m)\leqslant 0$.
Si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution est dans $[a\,;m]$ : c'est $b$ qui prend la valeur $m$.