Exercices corrigés : Continuité (Terminale)

1. Le réel $2$ relève de la première expression : $f(2)=2^2-3=1$.

• Limite à gauche : $\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x^2-3)=4-3=1$, car $x\mapsto x^2-3$ est un polynôme, continu en $2$.
• Limite à droite : $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(3x-5)=6-5=1$.

Les limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à $f(2)=1$. Donc $f$ est continue en $2$.

2. Pour $x\neq 2$, on a $x^2-4=(x-2)(x+2)$, donc $$g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$ Par conséquent $\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$.

Or $g(2)=3\neq 4$. La limite de $g$ en $2$ n'est pas égale à $g(2)$ : $g$ n'est pas continue en $2$.

Remarque : si l'on avait posé $g(2)=4$, la fonction $g$ aurait été égale à $x\mapsto x+2$ sur $\mathbb{R}$, donc continue en $2$.

1. $x\mapsto x^2+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb{R}$, et la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$. Par produit, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Posons $u(x)=4-x$. La fonction $u$ est un polynôme, continue sur $]-\infty\,;4]$. Pour $x\leqslant 4$, on a $4-x\geqslant 0$ : $u$ est à valeurs dans $[0\,;+\infty[$. La racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$. Par composition, $g$ est continue sur $]-\infty\,;4]$.

3. Le numérateur $3x+1$ et le dénominateur $x^2+1$ sont des polynômes, continus sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $x^2+1\geqslant 1>0$ : le dénominateur ne s'annule pas. Par quotient, $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.

4. La fonction exponentielle est continue sur $]1\,;+\infty[$ et $x\mapsto x-1$ est un polynôme, continu sur $]1\,;+\infty[$, qui ne s'annule pas sur cet intervalle (pour $x>1$, $x-1>0$). Par quotient, $k$ est continue sur $]1\,;+\infty[$.

1. Posons $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}$. Pour $n\geqslant 1$, $u_n=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}$. Comme $\frac1n\to 0$ et $\frac3n\to 0$, on obtient $\lim u_n=\dfrac{2}{1}=2$.

La fonction exponentielle est continue en $2$. Donc $(v_n)=(\mathrm{e}^{u_n})$ converge vers $\mathrm{e}^2$.

2. Posons $u_n=9+\dfrac{1}{n+1}$. Comme $\dfrac{1}{n+1}\to 0$, $\lim u_n=9$. La racine carrée est continue en $9$, donc $(w_n)$ converge vers $\sqrt9=3$.

3. Posons $u_n=\dfrac{\pi n}{2n+1}=\dfrac{\pi}{2+\frac1n}$. Comme $\frac1n\to 0$, $\lim u_n=\dfrac{\pi}{2}$. La fonction cosinus est continue en $\dfrac{\pi}{2}$, donc $(t_n)$ converge vers $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$.

1. Hors de $0$. Sur $]-\infty\,;0[$, $f(x)=a\,\mathrm{e}^x$ : la fonction exponentielle multipliée par une constante est continue. Sur $]0\,;+\infty[$, $f$ coïncide avec un polynôme, donc elle y est continue.

En $0$. Le réel $0$ relève de la première expression : $f(0)=a\,\mathrm{e}^0=a$.

• Limite à gauche : $\lim_{x\to 0^-}a\,\mathrm{e}^x=a\,\mathrm{e}^0=a$, par continuité de l'exponentielle en $0$.
• Limite à droite : $\lim_{x\to 0^+}(x^2+2x+3)=3$.

$f$ est continue en $0$ si et seulement si $a=3$. Avec ce qui précède, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $a=3$.

2. On prend $a=3$, donc $f(0)=3$.

Pour $h<0$ : $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{3\mathrm{e}^h-3}{h}=3\times\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}.$$ Comme $\dfrac{\mathrm{e}^h-1}{h}\to 1$, ce taux tend vers $3$ quand $h\to 0^-$.

Pour $h>0$ : $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2+2h+3-3}{h}=\frac{h(h+2)}{h}=h+2,$$ qui tend vers $2$ quand $h\to 0^+$.

3. Les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes ($3\neq 2$) : le taux n'a pas de limite en $0$, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. La courbe présente un point anguleux en $0$.

Cet exemple illustre que la réciproque du théorème « dérivable implique continue » est fausse : $f$ est continue en $0$ sans y être dérivable.

1. Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac{9}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$. Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. Ce trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

$f(1)=1-6+9-2=2$ et $f(3)=27-54+27-2=-2$.

3. $f$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

• Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est continue, strictement croissante, de $-\infty$ à $2$, et $0\in\,]-\infty\,;2]$ : une unique solution.
• Sur $[1\,;3]$ : $f$ est continue, strictement décroissante, de $2$ à $-2$, et $0\in[-2\,;2]$ : une unique solution.
• Sur $[3\,;+\infty[$ : $f$ est continue, strictement croissante, de $-2$ à $+\infty$ : une unique solution.

Aucune de ces solutions n'est $1$ ou $3$ (car $f(1)=2$ et $f(3)=-2$), elles sont distinctes. L'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions.

4. • Sur $]-\infty\,;1]$, $f(x)\leqslant 2<3$ : aucune solution.

• Sur $[1\,;3]$, $-2\leqslant f(x)\leqslant 2$ : aucune solution.
• Sur $[3\,;+\infty[$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-2$ à $+\infty$, et $3\in[-2\,;+\infty[$ : une unique solution.

L'équation $f(x)=3$ admet exactement une solution.

5. • Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est strictement croissante et $f(1)=2$, donc $f(x)<2$ pour $x<1$ ; la seule solution est $x=1$.

• Sur $[1\,;3]$ : $f$ est strictement décroissante et $f(1)=2$, donc $f(x)<2$ pour $1<x\leqslant 3$ ; la seule solution est encore $x=1$, déjà comptée.
• Sur $[3\,;+\infty[$ : une unique solution, comme à la question 4, et elle est différente de $1$.

L'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions.

Vérification : $(x-1)^2(x-4)=(x^2-2x+1)(x-4)=x^3-4x^2-2x^2+8x+x-4=x^3-6x^2+9x-4$.

Or $f(x)=2\iff x^3-6x^2+9x-4=0\iff (x-1)^2(x-4)=0\iff x=1$ ou $x=4$. On retrouve deux solutions, et $4\in[3\,;+\infty[$ comme prévu.

1. Pour $x\geqslant 0$ : $2-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{2(x+2)-1}{x+2}=\dfrac{2x+3}{x+2}=f(x)$.

$f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas) et $f'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}>0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

2. $f(1)=\dfrac{5}{3}$ et $f(2)=\dfrac{7}{4}$.

3. Notons $P(n)$ la propriété : $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$.

• Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=f(1)=\dfrac53\approx 1{,}67$. On a bien $1\leqslant 1\leqslant \dfrac53\leqslant 2$ : $P(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n$. Comme $f$ est croissante sur $[1\,;2]$, on obtient $f(1)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(2)$, c'est-à-dire $\dfrac53\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\dfrac74$. Or $1\leqslant\dfrac53$ et $\dfrac74\leqslant 2$, donc $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 2$ : $P(n+1)$ est vraie.
• Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans $1\leqslant u_n\leqslant 2$, on obtient $1\leqslant\ell\leqslant 2$.

$f$ est continue sur $[1\,;2]$ (fonction rationnelle, dénominateur $x+2\geqslant 3$), et $u_{n+1}=f(u_n)$. D'après le théorème du point fixe, $f(\ell)=\ell$ : $$\frac{2\ell+3}{\ell+2}=\ell\iff 2\ell+3=\ell^2+2\ell\iff\ell^2=3\iff \ell=\sqrt3\ \text{ou}\ \ell=-\sqrt3.$$ (On a multiplié par $\ell+2\neq 0$.) Comme $\ell\geqslant 1$, on retient $\ell=\sqrt3\approx 1{,}732$, qui appartient bien à $[1\,;2]$.

Conclusion : $\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3$.

1. Comme $f(0)\in[0\,;1]$, $g(0)=f(0)-0=f(0)\geqslant 0$. Comme $f(1)\leqslant 1$, $g(1)=f(1)-1\leqslant 0$.

$g$ est continue sur $[0\,;1]$, comme différence de la fonction continue $f$ et d'un polynôme. Le réel $0$ est compris entre $g(1)\leqslant 0$ et $g(0)\geqslant 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in[0\,;1]$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$.

2. Soient $x<y$ dans $[0\,;1]$. Comme $f$ est décroissante, $f(x)\geqslant f(y)$. Par ailleurs $-x>-y$. En additionnant ces inégalités (dont l'une est stricte) : $f(x)-x>f(y)-y$, soit $g(x)>g(y)$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$.

$g$ est continue, strictement décroissante sur $[0\,;1]$, et $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution : le réel $c$ est unique.

3. On applique ce qui précède avec $f=\cos$ sur $[0\,;1]$.

• La fonction cosinus est continue sur $[0\,;1]$.
• Elle est décroissante sur $[0\,;\pi]$, donc sur $[0\,;1]$ puisque $1<\pi$.
• Pour $x\in[0\,;1]$, la décroissance donne $\cos 1\leqslant\cos x\leqslant\cos 0=1$. Or $\cos 1\approx 0{,}540>0$. Donc $\cos x\in[0\,;1]$.

Les hypothèses des questions 1 et 2 sont vérifiées : l'équation $\cos x=x$ admet une unique solution $c$ dans $[0\,;1]$.

Encadrement, avec $g(x)=\cos x-x$ : $g(0{,}73)\approx 0{,}7452-0{,}73\approx 0{,}015>0$ et $g(0{,}74)\approx 0{,}7385-0{,}74\approx -0{,}0015<0$. La fonction $g$ étant strictement décroissante et $g(c)=0$, on obtient $0{,}73<c<0{,}74$.

1. Pour $x=0$ : $\mathrm{e}^0=1$ et $k\times 0=0$, et $1\neq 0$. Donc $0$ n'est jamais solution. Pour $x\neq 0$, en divisant par $x$ : $\mathrm{e}^x=kx\iff\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=k\iff\varphi(x)=k$.

2. $\varphi$ est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, et $$\varphi'(x)=\frac{\mathrm{e}^x\times x-\mathrm{e}^x\times 1}{x^2}=\frac{\mathrm{e}^x(x-1)}{x^2}.$$ Comme $\mathrm{e}^x>0$ et $x^2>0$, $\varphi'(x)$ a le signe de $x-1$.

Limites :

• en $-\infty$ : $\mathrm{e}^x\to 0$ et $\dfrac1x\to 0$, donc $\varphi(x)\to 0$ ;
• en $0^-$ : $\mathrm{e}^x\to 1$ et $x\to 0$ avec $x<0$, donc $\varphi(x)\to-\infty$ ;
• en $0^+$ : $\varphi(x)\to+\infty$ ;
• en $+\infty$ : $\varphi(x)\to+\infty$ (croissances comparées).

De plus $\varphi(1)=\mathrm{e}$.

3. $\varphi$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;0[$, $]0\,;1]$ et $[1\,;+\infty[$ (dérivable) et strictement monotone sur chacun.

• Sur $]-\infty\,;0[$ : $\varphi$ décroît strictement de $0$ (limite) à $-\infty$ ; elle prend une fois et une seule chaque valeur de $]-\infty\,;0[$, et aucune valeur positive ou nulle.
• Sur $]0\,;1]$ : $\varphi$ décroît strictement de $+\infty$ (limite) à $\mathrm{e}$ ; elle prend une fois chaque valeur de $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.
• Sur $[1\,;+\infty[$ : $\varphi$ croît strictement de $\mathrm{e}$ à $+\infty$ ; elle prend une fois chaque valeur de $[\mathrm{e}\,;+\infty[$.

On en déduit :

• si $k<0$ : une solution dans $]-\infty\,;0[$, aucune dans $]0\,;+\infty[$ (où $\varphi>0$) : une solution ;
• si $0\leqslant k<\mathrm{e}$ : $\varphi(x)<0$ pour $x<0$ et $\varphi(x)\geqslant\mathrm{e}$ pour $x>0$ : aucune solution ;
• si $k=\mathrm{e}$ : la valeur $\mathrm{e}$ n'est atteinte qu'en $x=1$ (minimum sur $]0\,;+\infty[$) : une solution, $x=1$ ;
• si $k>\mathrm{e}$ : une solution dans $]0\,;1[$ et une dans $]1\,;+\infty[$ : deux solutions.

4. Les solutions de $(E_k)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe de l'exponentielle et de la droite $y=kx$. Pour $k=\mathrm{e}$, il y a un seul point commun, d'abscisse $1$. La tangente à la courbe de l'exponentielle en $1$ a pour équation $y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}=\mathrm{e}x$ : la droite $y=\mathrm{e}x$ est tangente à la courbe en ce point.

Partie A

1. a. Pour tout réel $x$, $(2-x)\mathrm{e}^x=2\mathrm{e}^x-x\,\mathrm{e}^x$. Or $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm{e}^x=0$. Donc $\lim_{x\to-\infty}(2-x)\mathrm{e}^x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$.

b. $\lim_{x\to+\infty}(2-x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$. Par produit, $\lim_{x\to+\infty}(2-x)\mathrm{e}^x=-\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=2-x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ : $u'(x)=-1$, $v'(x)=\mathrm{e}^x$, donc $$f'(x)=-\mathrm{e}^x+(2-x)\mathrm{e}^x=(1-x)\,\mathrm{e}^x.$$ Comme $\mathrm{e}^x>0$, $f'(x)$ a le signe de $1-x$ : positif sur $]-\infty\,;1]$, négatif sur $[1\,;+\infty[$. De plus $f(1)=\mathrm{e}-1\approx 1{,}72$.

3. $f$ est dérivable, donc continue sur $\mathbb{R}$.

• Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est continue et strictement croissante, de $-1$ (limite en $-\infty$) à $\mathrm{e}-1$. Le réel $0$ est compris entre $-1$ et $\mathrm{e}-1$ (strictement au-dessus de $-1$). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;1]$.
• Sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ est continue et strictement décroissante, de $\mathrm{e}-1$ à $-\infty$ ; $0$ est compris entre ces valeurs : une unique solution $\beta$ dans $[1\,;+\infty[$.

Comme $f(1)=\mathrm{e}-1\neq 0$, on a $\alpha<1<\beta$. L'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions.

4. $f(-2)=4\mathrm{e}^{-2}-1\approx -0{,}46<0$ et $f(-1)=3\mathrm{e}^{-1}-1\approx 0{,}10>0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;1]$ et $f(\alpha)=0$, on obtient $-2<\alpha<-1$.

À la calculatrice : $f(-1{,}2)=3{,}2\,\mathrm{e}^{-1{,}2}-1\approx -0{,}04<0$ et $f(-1{,}1)=3{,}1\,\mathrm{e}^{-1{,}1}-1\approx 0{,}03>0$. Donc $-1{,}2<\alpha<-1{,}1$.

5. • Sur $]-\infty\,;\alpha[$ : $f$ strictement croissante, donc $f(x)<f(\alpha)=0$.

• Sur $]\alpha\,;1]$ : $f(x)>f(\alpha)=0$.
• Sur $[1\,;\beta[$ : $f$ strictement décroissante, donc $f(x)>f(\beta)=0$.
• Sur $]\beta\,;+\infty[$ : $f(x)<f(\beta)=0$.

6. $f(x)=-1\iff(2-x)\mathrm{e}^x=0\iff 2-x=0$ (car $\mathrm{e}^x>0$) $\iff x=2$. L'unique solution est $x=2$.

Cohérence : sur $]-\infty\,;1]$, $f$ croît strictement à partir de la limite $-1$, qui n'est jamais atteinte, donc aucune solution ; sur $[1\,;+\infty[$, $f$ décroît strictement de $\mathrm{e}-1$ à $-\infty$ et prend la valeur $-1$ exactement une fois. On trouve bien une seule solution, située dans $[1\,;+\infty[$.

Partie B

1. $f(1)=\mathrm{e}-1>0$ et $f(2)=0\times\mathrm{e}^2-1=-1<0$ : $f(1)$ et $f(2)$ sont de signes contraires. Sur $[1\,;2]\subset[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante ; d'après la question A.3, la seule solution de $f(x)=0$ dans $[1\,;+\infty[$ est $\beta$, donc $\beta\in[1\,;2]$ et c'est l'unique solution dans cet intervalle.

2. Au départ $a=1$, $b=2$, avec $f(1)>0$.

3. Après $n$ passages, l'intervalle a pour longueur $\dfrac{2-1}{2^n}=\dfrac{1}{2^n}$. La boucle s'arrête au premier $n$ tel que $\dfrac{1}{2^n}\leqslant 0{,}001$, soit $2^n\geqslant 1000$. Comme $2^9=512$ et $2^{10}=1024$, le programme effectue 10 passages. L'intervalle renvoyé a pour longueur $\dfrac{1}{1024}\approx 9{,}8\times 10^{-4}$.

4. $f(1{,}84)=0{,}16\,\mathrm{e}^{1{,}84}-1\approx 0{,}007>0$ et $f(1{,}85)=0{,}15\,\mathrm{e}^{1{,}85}-1\approx -0{,}046<0$. Comme $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ et $f(\beta)=0$, on obtient $1{,}84<\beta<1{,}85$, ce qui est cohérent avec l'intervalle $[1{,}75\,;1{,}875]$ obtenu à la question 2.