Continuité
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
La continuité est l'outil qui permet d'affirmer qu'une équation possède une solution sans savoir la calculer, puis d'encadrer cette solution aussi précisément que voulu. Elle sert aussi à déterminer la limite d'une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Prérequis
- Limites de fonctions : limite en un réel, limite à gauche et à droite, limites en l'infini, opérations sur les limites.
- Dérivation : calcul de dérivées, lien entre signe de la dérivée et variations, tableau de variations. — Revoir Dérivation
- Suites : raisonnement par récurrence, suites convergentes, théorème de convergence monotone.
- Fonction exponentielle et ses propriétés.
À la fin du chapitre, on sait
- Savoir ce que signifie « $f$ est continue en $a$ » et le vérifier sur une fonction définie par morceaux.
- Connaître les fonctions usuelles continues et justifier la continuité d'une fonction construite à partir d'elles.
- Utiliser la continuité pour obtenir la limite de $f(u_n)$ et la limite d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Énoncer et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour les fonctions strictement monotones.
- Démontrer qu'une équation $f(x)=k$ admet une unique solution, compter les solutions à l'aide d'un tableau de variations et encadrer une solution.
- Programmer l'algorithme de dichotomie en Python et prévoir le nombre d'étapes nécessaires.
1.1. Continuité en un point, sur un intervalle
Continuité en un point
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$.
On dit que $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ admet une limite en $a$ égale à $f(a)$ : $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a).$$
Continuité sur un intervalle
On dit que $f$ est continue sur $I$ lorsqu'elle est continue en tout réel $a$ de $I$.
Graphiquement, et de façon informelle : la courbe d'une fonction continue sur un intervalle se trace « sans lever le crayon ». Cette image aide à comprendre, mais elle ne constitue jamais une justification dans une copie.
Une fonction discontinue : la partie entière
La fonction partie entière $E$ associe à tout réel $x$ le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Par exemple $E(2{,}7)=2$, $E(1)=1$, $E(-0{,}5)=-1$.
Pour $0\leqslant x<1$, $E(x)=0$, donc $\lim_{x\to 1^-}E(x)=0$. Or $E(1)=1$. La limite à gauche en $1$ est différente de $E(1)$ : $E$ n'est pas continue en $1$. Le même raisonnement montre que $E$ est discontinue en chaque entier. Sa courbe présente un « saut » en chaque entier.
En revanche, $E$ est constante donc continue sur chaque intervalle $[n\,;n+1[$ avec $n$ entier.
Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point de raccord
Soit $f$ définie par une expression à gauche de $a$ et une autre à droite (le point $a$ étant rattaché à l'une d'elles).
- Calculer $f(a)$ avec l'expression qui contient $a$.
- Calculer la limite à gauche $\lim_{x\to a^-}f(x)$ et la limite à droite $\lim_{x\to a^+}f(x)$.
- Conclure : $f$ est continue en $a$ si et seulement si ces deux limites existent et sont toutes deux égales à $f(a)$.
Raccord avec un paramètre
Soit $k$ un réel et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\begin{cases} x+k & \text{si } x\leqslant 2\\ x^2 & \text{si } x>2\end{cases}$$
- $f(2)=2+k$.
- $\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x+k)=2+k$.
- $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}x^2=4$.
$f$ est continue en $2$ si et seulement si $2+k=4$, c'est-à-dire $k=2$.
Sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$, $f$ coïncide avec un polynôme, donc elle y est continue (voir section 2). Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $k=2$.
2.2. Fonctions continues usuelles et opérations
Fonctions usuelles continues (admis)
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
- Les fonctions rationnelles (quotients de polynômes) sont continues sur chaque intervalle inclus dans leur ensemble de définition. En particulier $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.
- La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$.
- La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$.
- Les fonctions exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$.
- La fonction logarithme népérien, étudiée dans un autre chapitre, est continue sur $]0\,;+\infty[$.
Opérations (admis)
Si $u$ et $v$ sont continues sur un intervalle $I$, alors :
- $u+v$, $u\times v$ et $\lambda u$ ($\lambda$ réel) sont continues sur $I$ ;
- si $v$ ne s'annule pas sur $I$, $\dfrac{u}{v}$ est continue sur $I$.
Composition : si $u$ est continue sur $I$, à valeurs dans un intervalle $J$, et si $g$ est continue sur $J$, alors $g\circ u$ est continue sur $I$.
Justifier une continuité
Soit $f(x)=\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
- $x\mapsto x^2+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[1\,;+\infty[\subset[0\,;+\infty[$, et la racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ : par composition, $x\mapsto\sqrt{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- $x\mapsto -x$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\exp$ aussi : par composition, $x\mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- Par produit, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Dérivabilité et continuité
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.
Dérivable implique continue
Supposons $f$ dérivable en $a$ : le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers le réel $f'(a)$ quand $x$ tend vers $a$.
Pour tout $x\neq a$ de $I$, on écrit $$f(x)=f(a)+(x-a)\times\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ Quand $x\to a$ : $x-a\to 0$ et $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a)$. Par produit, $(x-a)\times\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\to 0\times f'(a)=0$.
Donc $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ : $f$ est continue en $a$.
La réciproque est fausse
Une fonction peut être continue en $a$ sans y être dérivable.
- La valeur absolue est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ : le taux $\dfrac{|h|}{h}$ vaut $1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$, il n'a pas de limite en $0$.
- La racine carrée est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ : $\dfrac{\sqrt h}{h}=\dfrac{1}{\sqrt h}\to+\infty$ quand $h\to 0^+$.
Convention dans les tableaux de variations
Dans un tableau de variations, une flèche oblique traduit, par convention, que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant. C'est cette convention qui permet d'appliquer directement les théorèmes de la section 4 à partir d'un tableau.
3.3. Continuité et suites
Image d'une suite convergente par une fonction continue (admis)
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite de réels de $I$.
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$ : $$\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=f\Big(\lim_{n\to+\infty}u_n\Big).$$
Application directe
Soit $v_n=\mathrm{e}^{\frac{1}{n+1}}$. La suite $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ converge vers $0$ et la fonction exponentielle est continue en $0$. Donc $(v_n)$ converge vers $\mathrm{e}^0=1$.
De même, $\sqrt{4+\dfrac{1}{n+1}}\to\sqrt4=2$ car la racine carrée est continue en $4$.
Limite d'une suite récurrente
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, à valeurs dans $I$, et $(u_n)$ définie par $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ appartenant à $I$, alors $\ell$ vérifie $$f(\ell)=\ell.$$ On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$.
Preuve du théorème du point fixe
La suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge aussi vers $\ell$.
Par ailleurs, $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$ et $f$ est continue en $\ell$ ; d'après le théorème précédent, $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.
Or $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. Une suite convergente a une seule limite, donc $\ell=f(\ell)$.
Ce que ce théorème ne dit pas
Le théorème ne prouve pas que la suite converge. Il faut d'abord établir la convergence (souvent par le théorème de convergence monotone), puis résoudre $f(\ell)=\ell$.
L'équation $f(\ell)=\ell$ peut avoir plusieurs solutions : on élimine celles qui sont incompatibles avec les informations connues sur la suite (bornes, sens de variation, signe).
Déterminer la limite d'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$
- Montrer, en général par récurrence, que $(u_n)$ est monotone et bornée (par exemple $a\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant b$).
- En déduire par le théorème de convergence monotone que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, et que $\ell\in[a\,;b]$ par passage à la limite dans les inégalités.
- Justifier que $f$ est continue sur $[a\,;b]$.
- Résoudre $f(\ell)=\ell$ et ne garder que la ou les solutions situées dans $[a\,;b]$.
Exemple complet
Soit $f(x)=\sqrt{x+6}$ sur $[0\,;3]$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.
Monotonie et bornes. Montrons par récurrence la propriété $P(n)$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$.
- Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt6\approx 2{,}449$, donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 3$.
- Hérédité : supposons $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$. La fonction $f$ est croissante sur $[0\,;3]$ (composée de $x\mapsto x+6$ et de la racine carrée, toutes deux croissantes). Donc $f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(3)$, soit $\sqrt6\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 3$, et a fortiori $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 3$.
- Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers un réel $\ell$, avec $0\leqslant \ell\leqslant 3$.
Limite. $f$ est continue sur $[0\,;3]$, donc $\ell=\sqrt{\ell+6}$. En élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $\ell^2=\ell+6$, soit $\ell^2-\ell-6=0$, ou encore $(\ell-3)(\ell+2)=0$. Comme $\ell\geqslant 0$, on obtient $\ell=3$.
Conclusion : $\lim_{n\to+\infty}u_n=3$.
4.4. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c\in[a\,;b]$ tel que $f(c)=k$.
Autrement dit, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.
Cas particulier : le changement de signe
Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c'est-à-dire $f(a)\times f(b)\leqslant 0$), alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.
C'est le théorème appliqué avec $k=0$.
Ce que le théorème affirme, et ce qu'il n'affirme pas
- Il donne l'existence d'une solution, pas son unicité : la solution peut ne pas être unique.
- Il ne donne pas la valeur de la solution, seulement sa présence dans $[a\,;b]$.
- L'hypothèse de continuité est indispensable. Avec la partie entière sur $[0\,;1]$ : $E(0)=0$ et $E(1)=1$, mais l'équation $E(x)=0{,}5$ n'a aucune solution, car $E$ ne prend que des valeurs entières.
Existence d'une solution
Soit $g(x)=x^3-2x-5$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme). On a $g(2)=8-4-5=-1$ et $g(3)=27-6-5=16$.
$g$ est continue sur $[2\,;3]$ et $0$ est compris entre $g(2)=-1$ et $g(3)=16$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution dans $[2\,;3]$.
5.5. Fonctions continues strictement monotones
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a\,;b]$.
Preuve
Existence. $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : le théorème des valeurs intermédiaires donne au moins un $c\in[a\,;b]$ tel que $f(c)=k$.
Unicité. Supposons $f$ strictement croissante (le cas décroissant est identique). Soient $c_1$ et $c_2$ deux solutions dans $[a\,;b]$, avec $c_1\neq c_2$, par exemple $c_1<c_2$. La stricte croissance donne $f(c_1)<f(c_2)$, c'est-à-dire $k<k$ : c'est absurde. Donc $c_1=c_2$ et la solution est unique.
Extension aux intervalles ouverts ou non bornés (admis)
Le corollaire s'étend à un intervalle $]a\,;b[$, où $a$ et $b$ peuvent être $-\infty$ ou $+\infty$, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ en $a$ et en $b$.
Par exemple, si $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ avec $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, alors pour tout réel $k$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.
Dans ce cas, $k$ doit être strictement compris entre les deux limites.
Vocabulaire hors programme : bijection
Une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle image $f(I)$ : chaque valeur de $f(I)$ est atteinte exactement une fois. Ce vocabulaire n'est pas exigible en Terminale, mais le corollaire ci-dessus en est le contenu.
Montrer que $f(x)=k$ a une unique solution et l'encadrer
- Justifier que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ (fonctions usuelles, opérations, ou dérivabilité).
- Justifier que $f$ est strictement monotone sur $I$ (souvent par le signe de $f'$).
- Calculer les valeurs (ou limites) aux bornes de $I$ et vérifier que $k$ est compris entre elles.
- Conclure par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : il existe une unique solution $\alpha$ dans $I$.
- Pour encadrer $\alpha$, utiliser la calculatrice (tableau de valeurs) : trouver deux réels $p<q$ proches tels que $f(p)$ et $f(q)$ encadrent $k$. Alors $p<\alpha<q$.
Sur un intervalle borné
Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0\,;1]$.
- $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;1]$.
- $f'(x)=3x^2+1>0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.
- $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.
Encadrement. $f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0$ et $f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0$, donc $0{,}6<\alpha<0{,}7$.
Plus finement : $f(0{,}68)=0{,}314432+0{,}68-1=-0{,}005568<0$ et $f(0{,}69)=0{,}328509+0{,}69-1=0{,}018509>0$, donc $0{,}68<\alpha<0{,}69$.
Sur $\mathbb{R}$, avec des limites
Soit $h(x)=\mathrm{e}^x+x$ sur $\mathbb{R}$.
- $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ (somme de fonctions continues).
- $h'(x)=\mathrm{e}^x+1>0$, donc $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$ donc $\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$.
$0$ est strictement compris entre $-\infty$ et $+\infty$ : l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $\mathbb{R}$.
$h(-1)=\mathrm{e}^{-1}-1\approx-0{,}632<0$ et $h(0)=1>0$, donc $-1<\beta<0$. Avec la calculatrice : $h(-0{,}57)\approx-0{,}0045<0$ et $h(-0{,}56)\approx 0{,}0112>0$, donc $-0{,}57<\beta<-0{,}56$.
Compter les solutions à l'aide d'un tableau de variations
- Dresser le tableau de variations complet (valeurs aux extrémums et limites aux bornes).
- Découper le domaine en intervalles sur lesquels $f$ est strictement monotone.
- Sur chaque intervalle, regarder si $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes : si oui, une unique solution sur cet intervalle ; si non, aucune.
- Additionner.
Trois solutions
Soit $f(x)=x^3-3x+1$ sur $\mathbb{R}$. On a $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, positive sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, négative sur $[-1\,;1]$. De plus $f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$. Les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont celles du terme $x^3$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- Sur $]-\infty\,;-1]$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-\infty$ à $3$, et $0\in\,]-\infty\,;3]$ : une unique solution.
- Sur $[-1\,;1]$ : $f$ continue, strictement décroissante, de $3$ à $-1$, et $0\in[-1\,;3]$ : une unique solution.
- Sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$ : une unique solution.
L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$.
6.6. Algorithme de dichotomie
On suppose $f$ continue sur $[a\,;b]$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires, de sorte que l'équation $f(x)=0$ a une solution dans $[a\,;b]$ (unique si $f$ est de plus strictement monotone).
On coupe l'intervalle en deux au milieu $m=\dfrac{a+b}{2}$ :
- si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires ($f(a)\times f(m)\leqslant 0$), une solution se trouve dans $[a\,;m]$ : on remplace $b$ par $m$ ;
- sinon, $f(m)$ et $f(b)$ sont de signes contraires : une solution se trouve dans $[m\,;b]$, on remplace $a$ par $m$.
À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par $2$ et l'intervalle contient toujours une solution. On s'arrête quand la longueur est inférieure à la précision $e$ souhaitée.
Programme Python
def dichotomie(f, a, b, e):
while b - a > e:
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
return a, b
Exemple d'appel pour $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0\,;1]$ à $10^{-3}$ près :
def f(x):
return x**3 + x - 1
print(dichotomie(f, 0, 1, 0.001))
La fonction renvoie un intervalle $[a\,;b]$ de longueur au plus $e$ qui contient la solution.
Déroulé à la main
Avec $f(x)=x^3+x-1$, $a=0$, $b=1$ ($f(0)=-1<0$, $f(1)=1>0$) :
| Étape | $m$ | $f(m)$ | Signe | Nouvel intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $0{,}5$ | $-0{,}375$ | $-$ | $[0{,}5\,;1]$ |
| 2 | $0{,}75$ | $\approx 0{,}172$ | $+$ | $[0{,}5\,;0{,}75]$ |
| 3 | $0{,}625$ | $\approx -0{,}131$ | $-$ | $[0{,}625\,;0{,}75]$ |
| 4 | $0{,}6875$ | $\approx 0{,}012$ | $+$ | $[0{,}625\,;0{,}6875]$ |
| 5 | $0{,}65625$ | $\approx -0{,}061$ | $-$ | $[0{,}65625\,;0{,}6875]$ |
Après 5 étapes, la solution $\alpha$ est dans un intervalle de longueur $\dfrac{1}{2^5}=0{,}03125$, ce qui est cohérent avec l'encadrement $0{,}68<\alpha<0{,}69$ obtenu à la section 5.
Nombre d'étapes
Après $n$ étapes, l'intervalle a pour longueur $\dfrac{b-a}{2^n}$.
Pour atteindre une précision $e$, il suffit que $\dfrac{b-a}{2^n}\leqslant e$, c'est-à-dire $2^n\geqslant\dfrac{b-a}{e}$.
Exemple : avec $b-a=1$ et $e=10^{-3}$, il faut $2^n\geqslant 1000$. Comme $2^9=512$ et $2^{10}=1024$, il faut 10 étapes.
Autres méthodes
La dichotomie est simple et fonctionne toujours sous les hypothèses données, mais elle est lente : un chiffre décimal exact demande environ 3 à 4 étapes. D'autres méthodes, comme celle de Newton (qui utilise les tangentes) ou de la sécante, convergent beaucoup plus vite ; elles peuvent être rencontrées en exercice, guidées par l'énoncé.