QCM : Continuité (Terminale)
La continuité est l'outil qui permet d'affirmer qu'une équation possède une solution sans savoir la calculer, puis d'encadrer cette solution aussi précisément que voulu. Elle sert aussi à déterminer la limite d'une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
Soit $k$ un réel et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=kx+1$ si $x\leqslant 2$ et $f(x)=x^2-1$ si $x>2$. Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
On a $f(2)=2k+1$, $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2k+1$ et $\lim_{x\to 2^+}f(x)=4-1=3$. La continuité en $2$ équivaut à $2k+1=3$, soit $k=1$. La réponse $k=\frac32$ vient de l'oubli du $+1$ (on écrit $2k=3$). La réponse $k=2$ vient d'une erreur de signe en isolant $k$ ($2k=3+1$).
Quelle est la limite de la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $v_n=\mathrm{e}^{\frac{2n+1}{n+3}}$ ?
La suite $u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}$ converge vers $2$. La fonction exponentielle est continue en $2$, donc $v_n=\mathrm{e}^{u_n}\to\mathrm{e}^2$. Le choix $\mathrm{e}$ vient d'une erreur sur la limite du quotient (on croit qu'elle vaut $1$). Le choix $+\infty$ vient de l'idée fausse que l'exposant tend vers $+\infty$ parce que $n$ y figure.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;2]$ telle que $f(0)=-1$ et $f(2)=3$. Quelle affirmation est nécessairement vraie ?
$f$ est continue sur $[0\,;2]$ et $0$ est compris entre $f(0)=-1$ et $f(2)=3$ : le théorème des valeurs intermédiaires donne au moins une solution. Il ne donne pas l'unicité, qui demanderait la stricte monotonie, et rien n'indique que $f$ est monotone. Enfin, $f$ peut dépasser $3$ entre $0$ et $2$ : on ne peut pas exclure que $f(x)=4$ ait une solution.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
Le taux d'accroissement $\frac{|h|}{h}$ vaut $1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$ : il n'a pas de limite en $0$, alors que $|x|$ est continue en $0$. Le théorème du cours dit « dérivable implique continue ». Le piège est d'utiliser la réciproque (deuxième choix) ou la fausse contraposée (quatrième choix). La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ car $\frac{\sqrt h}{h}=\frac{1}{\sqrt h}\to+\infty$.
Soit $f(x)=x^3-12x$ sur $\mathbb{R}$. Combien de solutions l'équation $f(x)=20$ admet-elle dans $\mathbb{R}$ ?
$f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-2]$, décroissante sur $[-2\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, avec $f(-2)=16$ et $f(2)=-16$. Sur $]-\infty\,;-2]$, $f$ prend ses valeurs dans $]-\infty\,;16]$ et sur $[-2\,;2]$ dans $[-16\,;16]$ : $20$ n'est atteint sur aucun de ces intervalles. Sur $[2\,;+\infty[$, $f$ est continue, strictement croissante de $-16$ à $+\infty$ : une unique solution. Le piège est de répondre $3$ parce qu'un polynôme de degré 3 « a trois racines », sans regarder la valeur du maximum local.
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$. On admet que $(u_n)$ est croissante et que $1\leqslant u_n\leqslant 3$ pour tout $n$. Quelle est la limite de $(u_n)$ ?
La suite est croissante et majorée, donc elle converge vers un réel $\ell\in[1\,;3]$. La fonction $x\mapsto\sqrt{2x+3}$ est continue sur $[1\,;3]$, donc $\ell=\sqrt{2\ell+3}$, d'où $\ell^2-2\ell-3=0$, soit $(\ell-3)(\ell+1)=0$. Comme $\ell\geqslant 1$, $\ell=3$. Le piège est de garder les deux solutions de l'équation sans utiliser les bornes connues. La valeur $\sqrt5$ est seulement $u_1$.
On applique l'algorithme de dichotomie sur l'intervalle $[1\,;3]$. Combien d'étapes faut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur inférieure ou égale à $10^{-2}$ ?
Après $n$ étapes, la longueur vaut $\frac{3-1}{2^n}=\frac{2}{2^n}$. On veut $\frac{2}{2^n}\leqslant 0{,}01$, soit $2^n\geqslant 200$. Comme $2^7=128$ et $2^8=256$, il faut $8$ étapes. La réponse $7$ vient de l'oubli de la longueur initiale $2$ (on résout $2^n\geqslant 100$). Les réponses $100$ et $200$ confondent la division par $2$ avec un découpage en pas réguliers.
On applique la dichotomie à $f(x)=x^2-2$ avec $a=1$ et $b=2$ (avec la règle : si $f(a)\times f(m)\leqslant 0$ alors $b$ prend la valeur $m$, sinon $a$ prend la valeur $m$). Quel est l'intervalle obtenu après deux étapes ?
Étape 1 : $m=1{,}5$, $f(1)=-1$ et $f(1{,}5)=0{,}25$, produit négatif, donc $b=1{,}5$ : intervalle $[1\,;1{,}5]$. Étape 2 : $m=1{,}25$, $f(1{,}25)=-0{,}4375$, le produit $f(1)\times f(1{,}25)$ est positif, donc $a=1{,}25$ : intervalle $[1{,}25\,;1{,}5]$. Le choix $[1\,;1{,}25]$ vient d'une mise à jour inversée à la deuxième étape, le choix $[1{,}5\,;1{,}75]$ d'une mise à jour inversée dès la première.
Soit $f$ continue et strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$, avec $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$. Combien de solutions l'équation $f(x)=2$ admet-elle dans $]0\,;+\infty[$ ?
$f$ est strictement décroissante et tend vers $2$ en $+\infty$ : pour tout $x>0$, on a $f(x)>2$ (si $f(x_0)\leqslant 2$, alors pour $x>x_0$, $f(x)<f(x_0)\leqslant 2$ et la limite serait strictement inférieure à $2$). La valeur $2$ n'est jamais atteinte. Le corollaire sur un intervalle ouvert exige que $k$ soit strictement compris entre les limites aux bornes. Le piège est de traiter une limite comme une valeur atteinte.
Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier ?
$x\mapsto x^2+1$ est un polynôme, continu sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $[1\,;+\infty[$, et la racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ : par composition, $x\mapsto\sqrt{x^2+1}$ est continue sur $\mathbb{R}$. La partie entière est discontinue en chaque entier. $x\mapsto\frac1x$ n'est pas définie en $0$ : elle est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ séparément, pas sur $\mathbb{R}$. $\sqrt x$ n'est définie que sur $[0\,;+\infty[$.