Cours : Continuité › Fiche résumé
Terminale · spécialité
Fiche résumé : Continuité (Terminale)
La continuité est l'outil qui permet d'affirmer qu'une équation possède une solution sans savoir la calculer, puis d'encadrer cette solution aussi précisément que voulu. Elle sert aussi à déterminer la limite d'une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Continuité en $a$ : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Continue sur $I$ : continue en tout point de $I$.
- Raccord par morceaux : continuité en $a$ si et seulement si limite à gauche = limite à droite = $f(a)$.
- Fonctions continues : polynômes sur $\mathbb{R}$ ; rationnelles sur chaque intervalle de leur domaine ; $\sqrt{\ }$ sur $[0\,;+\infty[$ ; valeur absolue, $\exp$, $\sin$, $\cos$ sur $\mathbb{R}$. Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.
- Dérivable $\Rightarrow$ continue. La réciproque est fausse ($|x|$ et $\sqrt x$ en $0$).
- Partie entière : discontinue en chaque entier.
- Suites : si $u_n\to\ell$ et $f$ continue en $\ell$, alors $f(u_n)\to f(\ell)$.
- Point fixe : si $u_{n+1}=f(u_n)$, $f$ continue sur $I$, $u_n\to\ell\in I$, alors $f(\ell)=\ell$. Prouver d'abord la convergence.
- TVI : $f$ continue sur $[a\,;b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ au moins un $c\in[a\,;b]$ tel que $f(c)=k$.
- Corollaire : $f$ continue et strictement monotone sur $[a\,;b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ $\Rightarrow$ une unique solution. S'étend aux intervalles ouverts ou non bornés avec les limites aux bornes.
- Rédaction type : continuité, stricte monotonie, valeurs ou limites aux bornes, $k$ compris entre elles, conclusion par le corollaire du TVI, puis encadrement à la calculatrice.
- Tableau de variations : une flèche oblique signifie continue et strictement monotone.
- Dichotomie : $m=\frac{a+b}{2}$ ; si $f(a)f(m)\leqslant 0$ alors $b\leftarrow m$, sinon $a\leftarrow m$. Après $n$ étapes, longueur $\frac{b-a}{2^n}$ ; précision $e$ atteinte dès que $2^n\geqslant\frac{b-a}{e}$ (10 étapes pour $10^{-3}$ sur un intervalle de longueur 1).