Erreurs fréquentes : Compléments sur la dérivation, convexité (Terminale)
Ce chapitre complète les outils de dérivation avec la dérivée d'une fonction composée et la dérivée seconde. Il décrit ensuite la forme d'une courbe, tournée vers le haut ou vers le bas, et en tire des inégalités utiles en analyse.
Écrire $(e^{3x^2-x})'=e^{3x^2-x}$ en oubliant le facteur $u'$.
$(e^{u})'=u'e^{u}$ : $(e^{3x^2-x})'=(6x-1)e^{3x^2-x}$.
Écrire $\big((x^2+1)^5\big)'=5(x^2+1)^4$.
$(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ : $\big((x^2+1)^5\big)'=5\times 2x\times(x^2+1)^4=10x(x^2+1)^4$.
Conclure qu'il y a un point d'inflexion dès que $f''(a)=0$.
Il faut que $f''$ s'annule en changeant de signe. Contre-exemple : $x\mapsto x^4$ en $0$, fonction convexe sur $\mathbb{R}$ sans point d'inflexion.
Étudier le signe de $f'$ pour obtenir la convexité.
Le signe de $f'$ donne les variations de $f$. La convexité se lit sur le signe de $f''$, ou sur les variations de $f'$.
Inverser les positions : « une fonction convexe est au-dessus de ses cordes ».
Convexe : courbe en dessous des cordes et au-dessus des tangentes. Penser à $x\mapsto x^2$ pour vérifier.
Confondre convexe et croissante (« $e^{-x}$ est décroissante, donc concave »).
La convexité décrit la forme de la courbe, indépendamment du sens de variation : $e^{-x}$ est décroissante et convexe car sa dérivée seconde $e^{-x}$ est positive.
Donner un point d'inflexion par sa seule abscisse (« le point d'inflexion est $1$ »).
Un point d'inflexion est un point de la courbe : on donne $(a\,;f(a))$, par exemple $A(1\,;0)$.
Utiliser une inégalité de corde en dehors de l'intervalle $[a\,;b]$.
La courbe d'une fonction convexe n'est sous la corde $[AB]$ qu'entre les abscisses $a$ et $b$ ; au-delà, elle est au-dessus de la sécante $(AB)$.