Exercices corrigés : Compléments sur la dérivation, convexité (Terminale)

1. $f=u^3$ avec $u(x)=2x-5$, dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x)=2$. Avec $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ : $$f'(x)=3\times 2\times(2x-5)^2=6(2x-5)^2.$$

2. $g=e^{u}$ avec $u(x)=x^2+1$, dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x)=2x$. Avec $(e^u)'=u'e^u$ : $$g'(x)=2xe^{x^2+1}.$$

3. $h=\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x+6$. Pour $x>-2$, $3x>-6$ donc $u(x)>0$ : $h$ est dérivable sur $]-2\,;+\infty[$. Comme $u'(x)=3$ : $$h'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}.$$

4. $k=\frac1u$ avec $u(x)=x^2+x+1$. Le discriminant de ce trinôme vaut $1^2-4\times1\times1=-3<0$ et son coefficient dominant est positif : $u(x)>0$ pour tout réel $x$. Donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec $u'(x)=2x+1$ : $$k'(x)=-\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}.$$

1. $(v\circ u)(x)=v(u(x))=e^{3x-2}$ et $(u\circ v)(x)=u(v(x))=3e^x-2$.

2. $(v\circ u)(0)=e^{-2}$ et $(u\circ v)(0)=3e^0-2=1$. Comme $-2<0$, $e^{-2}<1$ : les deux valeurs sont différentes, donc $v\circ u\neq u\circ v$.

3. $v\circ u$ est de la forme $e^{w}$ avec $w(x)=3x-2$, $w'(x)=3$ : $(v\circ u)'(x)=3e^{3x-2}$.

$(u\circ v)(x)=3e^x-2$ donc $(u\circ v)'(x)=3e^x$. On retrouve la formule : $(u\circ v)'(x)=v'(x)\times u'(v(x))=e^x\times 3$.

4. On pose $s(x)=e^x+1$ et $w(X)=X^3$ : $F=w\circ s$. Comme $s'(x)=e^x$, avec $(s^3)'=3\,s'\,s^2$ : $$F'(x)=3e^x(e^x+1)^2.$$

1. $f$ est une fonction polynôme, donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=4x^3-12x \qquad f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1).$$

2. $f''(x)$ est un trinôme de racines $-1$ et $1$, de coefficient dominant $12>0$ : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

$f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, concave sur $[-1\,;1]$.

3. $f''$ s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$. On calcule $f(-1)=1-6+3=-2$ et $f(1)=1-6+3=-2$. La courbe admet deux points d'inflexion : $(-1\,;-2)$ et $(1\,;-2)$.

4. $f(1)=-2$ et $f'(1)=4-12=-8$. La tangente en $A$ a pour équation $y=-8(x-1)-2$, soit $y=-8x+6$.

$A$ est un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente en $A$. Elle est en dessous pour $x$ proche de $1$ avec $x<1$ (zone où $f$ est concave) et au-dessus pour $x>1$ (zone où $f$ est convexe).

1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et $(e^{-x})'=-e^{-x}$ : $$f'(x)=2xe^{-x}+x^2\times(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}.$$

2. $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $$f''(x)=(2-2x)e^{-x}+(2x-x^2)(-e^{-x})=(2-2x-2x+x^2)e^{-x}=(x^2-4x+2)e^{-x}.$$

3. $e^{-x}>0$, donc $f''(x)$ a le signe de $x^2-4x+2$. Discriminant : $16-8=8$, racines $\frac{4-2\sqrt2}{2}=2-\sqrt2$ et $2+\sqrt2$. Le coefficient dominant est positif.

$f$ est convexe sur $]-\infty\,;2-\sqrt2]$ et sur $[2+\sqrt2\,;+\infty[$, concave sur $[2-\sqrt2\,;2+\sqrt2]$.

4. $f''$ s'annule en changeant de signe en $2-\sqrt2$ et en $2+\sqrt2$.

$(2-\sqrt2)^2=4-4\sqrt2+2=6-4\sqrt2$, donc $f(2-\sqrt2)=(6-4\sqrt2)e^{\sqrt2-2}$.

$(2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2$, donc $f(2+\sqrt2)=(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}$.

Les points d'inflexion sont $\left(2-\sqrt2\,;(6-4\sqrt2)e^{\sqrt2-2}\right)$ et $\left(2+\sqrt2\,;(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}\right)$, d'ordonnées environ $0{,}19$ et $0{,}38$.

1. $f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=-3x^2+6x+1 \qquad f''(x)=-6x+6=-6(x-1).$$ $f''(x)\geqslant 0 \iff x\leqslant 1$. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;1]$ et concave sur $[1\,;+\infty[$.

2. $f''$ ne s'annule qu'en $1$, en changeant de signe. $f(1)=-1+3+1-2=1$. L'unique point d'inflexion est $I(1\,;1)$.

3. $f'(1)=-3+6+1=4$. $T$ a pour équation $y=4(x-1)+1$, soit $y=4x-3$.

4. D'une part $f(x)-(4x-3)=-x^3+3x^2+x-2-4x+3=-x^3+3x^2-3x+1$.

D'autre part $-(x-1)^3=-(x^3-3x^2+3x-1)=-x^3+3x^2-3x+1$. Les deux expressions sont égales.

• Si $x<1$ : $(x-1)^3<0$, donc $f(x)-(4x-3)>0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$.
• Si $x>1$ : $f(x)-(4x-3)<0$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$.

C'est cohérent : sur $]-\infty\,;1]$, $f$ est convexe donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes ; sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est concave donc en dessous. La courbe traverse $T$ en $I$.

1. $f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=1+x$, et $u(x)>0$ pour $x>-1$. Donc $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ et, avec $u'(x)=1$ : $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}.$$

2. $f'(x)=\frac{1}{w(x)}$ avec $w(x)=2\sqrt{1+x}$, dérivable et strictement positive sur $]-1\,;+\infty[$, $w'(x)=2\times\frac{1}{2\sqrt{1+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$. Donc : $$f''(x)=-\frac{w'(x)}{w(x)^2}=-\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{4(1+x)}=-\frac{1}{4(1+x)\sqrt{1+x}}.$$ Pour $x>-1$, $1+x>0$ et $\sqrt{1+x}>0$, donc $f''(x)<0$ : $f$ est concave sur $]-1\,;+\infty[$.

3. $f(0)=1$ et $f'(0)=\frac12$. La tangente a pour équation $y=\frac12x+1$.

4. $f$ étant concave sur $]-1\,;+\infty[$, sa courbe est en dessous de sa tangente en $0$ : pour tout $x>-1$, $\sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac x2$.

Pour $x=-1$ : $\sqrt{0}=0$ et $1-\frac12=\frac12$, et $0\leqslant\frac12$. L'inégalité est donc vraie pour tout $x\geqslant -1$.

5. Avec $x=0{,}02$ : $\sqrt{1{,}02}\leqslant 1+0{,}01=1{,}01$. La calculatrice donne $\sqrt{1{,}02}\approx 1{,}00995$ : la tangente fournit une très bonne approximation près de $0$.

1. $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en $0$ est $y=1+x$ : pour tout réel $x$, $e^x\geqslant 1+x$.

2. $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$g'(x)=e^x-1-x \qquad g''(x)=e^x-1.$$

3. Pour $x\geqslant 0$, $e^x\geqslant e^0=1$ (croissance de $\exp$), donc $g''(x)\geqslant 0$ : $g$ est convexe sur $[0\,;+\infty[$.

$g(0)=1-1-0-0=0$ et $g'(0)=1-1-0=0$ : la tangente en $0$ est la droite $y=0$. La courbe de $g$ étant au-dessus de ses tangentes sur $[0\,;+\infty[$, on a $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\geqslant 0$, c'est-à-dire $$e^x\geqslant 1+x+\frac{x^2}{2}.$$

4. Pour $x\leqslant 0$, $e^x\leqslant 1$, donc $g''(x)\leqslant 0$ : $g$ est concave sur $]-\infty\,;0]$, sa courbe est en dessous de sa tangente $y=0$. Donc $g(x)\leqslant 0$, soit $e^x\leqslant 1+x+\frac{x^2}{2}$ pour $x\leqslant 0$.

Avec la question 1, pour tout $x\leqslant 0$ : $$1+x\leqslant e^x\leqslant 1+x+\frac{x^2}{2}.$$

5. Pour $x=-0{,}1$ : $1+x=0{,}9$ et $1+x+\frac{x^2}{2}=0{,}9+0{,}005=0{,}905$. Donc $0{,}9\leqslant e^{-0{,}1}\leqslant 0{,}905$.

Pour $x=0{,}1\geqslant 0$ : $e^{0{,}1}\geqslant 1+0{,}1+0{,}005=1{,}105$.

La calculatrice donne $e^{-0{,}1}\approx 0{,}9048$ et $e^{0{,}1}\approx 1{,}1052$.

1. Par la dérivée d'une composée, $g'(x)=f'(x)e^{f(x)}$. C'est un produit de fonctions dérivables : $$g''(x)=f''(x)e^{f(x)}+f'(x)\times f'(x)e^{f(x)}=\big(f''(x)+f'(x)^2\big)e^{f(x)}.$$

2. Si $f$ est convexe sur $I$, $f''(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$. De plus $f'(x)^2\geqslant 0$ et $e^{f(x)}>0$. Donc $g''(x)\geqslant 0$ sur $I$ : $g$ est convexe sur $I$.

3. Avec $f(x)=x^2$ : $f''(x)=2\geqslant 0$, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, donc $x\mapsto e^{x^2}$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Directement : $g''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}>0$.

4. Avec $f(x)=-x^2$ : $f'(x)=-2x$, $f''(x)=-2$, donc $g''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}$. En $x=1$ : $g''(1)=2e^{-1}>0$. Plus précisément, $g''(x)>0$ dès que $x^2>\frac12$ : $g$ est convexe sur $\left[\frac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$, donc elle n'est pas concave sur $\mathbb{R}$. La réciproque proposée est fausse.

5. Avec $f(x)=\sqrt x$, deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ : $$f''(x)+f'(x)^2=-\frac{1}{4x\sqrt x}+\frac{1}{4x}=\frac{-1+\sqrt x}{4x\sqrt x}.$$ Donc $k''(x)=\frac{\sqrt x-1}{4x\sqrt x}e^{\sqrt x}$. Comme $4x\sqrt x>0$ et $e^{\sqrt x}>0$, $k''(x)$ a le signe de $\sqrt x-1$, négatif sur $]0\,;1[$ et positif sur $]1\,;+\infty[$.

$k$ est concave sur $]0\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$. $k''$ s'annule en changeant de signe en $1$ et $k(1)=e$ : le point d'inflexion est $(1\,;e)$.

1.a. $\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+1)=-\infty$ et, comme $-x\to+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$. Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

1.b. $f(x)=2xe^{-x}+e^{-x}$. On a $\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$. La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

2.a. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables : $$f'(x)=2e^{-x}+(2x+1)(-e^{-x})=(2-2x-1)e^{-x}=(1-2x)e^{-x}.$$

2.b. $e^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $1-2x$, positif pour $x<\frac12$, négatif pour $x>\frac12$. $f\left(\frac12\right)=2e^{-\frac12}$.

3.a. $f''(x)=-2e^{-x}+(1-2x)(-e^{-x})=(-2-1+2x)e^{-x}=(2x-3)e^{-x}$.

3.b. $f''(x)$ a le signe de $2x-3$ : négatif pour $x<\frac32$, positif pour $x>\frac32$. $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\frac32\right]$ et convexe sur $\left[\frac32\,;+\infty\right[$. $f''$ s'annule en changeant de signe en $\frac32$ et $f\left(\frac32\right)=4e^{-\frac32}$. Le point d'inflexion est $\left(\frac32\,;4e^{-\frac32}\right)$.

4.a. $f(0)=1$ et $f'(0)=1$ : $T$ a pour équation $y=x+1$.

4.b. $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\frac32\right]$, intervalle qui contient $0$ : sur cet intervalle, $\mathcal{C}_f$ est en dessous de sa tangente en $0$. Donc $f(x)\leqslant x+1$ pour tout $x\leqslant\frac32$.

4.c. Pour $x\geqslant\frac32$ : d'après le tableau, $f(x)\leqslant 2e^{-\frac12}$. Comme $-\frac12<0$, $e^{-\frac12}<1$, donc $f(x)<2$. Et $x+1\geqslant\frac52>2$. Ainsi $f(x)<x+1$. Avec 4.b, l'inégalité $f(x)\leqslant x+1$ est vraie pour tout réel $x$.

4.d. Pour tout réel $x$, $(2x+1)e^{-x}\leqslant x+1$. En multipliant par $e^x>0$, et comme $e^{-x}e^x=1$ : $2x+1\leqslant(x+1)e^x$.

1.a. $C$ est dérivable sur $[0\,;10]$ comme produit de fonctions dérivables : $$C'(t)=4e^{-0{,}5t}+4t\times(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=(4-2t)e^{-0{,}5t}=2(2-t)e^{-0{,}5t}.$$

1.b. $e^{-0{,}5t}>0$, donc $C'(t)$ a le signe de $2-t$ : positif sur $[0\,;2]$, négatif sur $[2\,;10]$. On calcule $C(0)=0$, $C(2)=8e^{-1}\approx 2{,}94$ et $C(10)=40e^{-5}\approx 0{,}27$.

La concentration est maximale 2 heures après l'injection ; elle vaut environ $2{,}94$ mg/L.

2.a. $C''(t)=-2e^{-0{,}5t}+(4-2t)(-0{,}5)e^{-0{,}5t}=(-2-2+t)e^{-0{,}5t}=(t-4)e^{-0{,}5t}$.

2.b. $C''(t)$ a le signe de $t-4$ : $C$ est concave sur $[0\,;4]$ et convexe sur $[4\,;10]$. $C''$ s'annule en changeant de signe en $4$, et $C(4)=16e^{-2}\approx 2{,}17$. Le point d'inflexion est $(4\,;16e^{-2})$, soit environ $(4\,;2{,}17)$.

3. D'après 2.b, $C''\leqslant 0$ sur $[0\,;4]$ et $C''\geqslant 0$ sur $[4\,;10]$ : $C'$ est décroissante sur $[0\,;4]$ puis croissante sur $[4\,;10]$. Elle atteint donc son minimum en $t=4$ : $C'(4)=2(2-4)e^{-2}=-4e^{-2}\approx-0{,}54$. Ce nombre est négatif : c'est 4 heures après l'injection que la concentration diminue le plus vite, à environ $0{,}54$ mg/L par heure.

4. $C(0)=0$ et $C'(0)=4$ : la tangente à la courbe en $0$ a pour équation $y=4t$. $C$ est concave sur $[0\,;4]$, donc sa courbe est en dessous de cette tangente sur cet intervalle : $C(t)\leqslant 4t$ pour tout $t\in[0\,;4]$.