Compléments sur la dérivation, convexité
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Ce chapitre complète les outils de dérivation avec la dérivée d'une fonction composée et la dérivée seconde. Il décrit ensuite la forme d'une courbe, tournée vers le haut ou vers le bas, et en tire des inégalités utiles en analyse.
Prérequis
- Dérivées des fonctions usuelles : $x^n$, $\frac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $e^x$
- Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, et de $x\mapsto g(ax+b)$ (programme de 1re)
- Équation de la tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
- Lien entre le signe de $f'$ et les variations de $f$
- Signe d'une expression du premier ou du second degré, propriétés de l'exponentielle
À la fin du chapitre, on sait
- Reconnaître une fonction composée $v\circ u$ et calculer sa dérivée
- Calculer une dérivée seconde et étudier son signe
- Connaître la définition géométrique d'une fonction convexe ou concave (position par rapport aux cordes)
- Utiliser le lien entre convexité, croissance de $f'$, signe de $f''$ et position par rapport aux tangentes
- Démontrer qu'une fonction de dérivée seconde positive a une courbe au-dessus de ses tangentes
- Déterminer les points d'inflexion d'une courbe
- Établir des inégalités à l'aide de la convexité
1.Composée de deux fonctions et dérivée d'une composée
Fonction composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$, telles que pour tout $x\in I$, $u(x)\in J$.
La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v\circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ ») définie sur $I$ par : $$(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big).$$ On applique d'abord $u$, puis $v$ au résultat.
Décomposer une fonction
-
$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[-1\,;1]$. On pose $u(x)=1-x^2$ et $v(X)=\sqrt{X}$. Pour $x\in[-1\,;1]$, $u(x)\geqslant 0$, donc $v(u(x))$ existe et $f=v\circ u$.
-
$g(x)=e^{3x^2-x}$ sur $\mathbb{R}$ : $u(x)=3x^2-x$ et $v(X)=e^X$, donc $g=v\circ u$.
-
$h(x)=(x^2+1)^5$ : $u(x)=x^2+1$ et $v(X)=X^5$.
L'ordre compte
En général $v\circ u\neq u\circ v$. Avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x^2$ : $$(v\circ u)(x)=(x+1)^2 \qquad (u\circ v)(x)=x^2+1.$$ Pour $x=1$ : $(v\circ u)(1)=4$ alors que $(u\circ v)(1)=2$.
Dérivée d'une composée (admis)
Soit $u$ dérivable sur un intervalle $I$ et $v$ dérivable sur un intervalle $J$, avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. Alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ : $$(v\circ u)'(x)=u'(x)\times v'\big(u(x)\big).$$ Autrement dit : on dérive la fonction « extérieure » $v$ en gardant $u(x)$ à l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de la fonction « intérieure » $u$.
Cas particuliers à connaître
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $e^{u}$ | $u'e^{u}$ | aucune |
| $u^n$, $n\in\mathbb{N}^*$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ | aucune |
| $u^n$, $n$ entier négatif | $n\,u'\,u^{n-1}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | $u>0$ sur $I$ |
| $g(ax+b)$ | $a\,g'(ax+b)$ | $g$ dérivable là où il faut |
Chaque ligne est le théorème appliqué avec $v(X)=e^X$, $v(X)=X^n$, $v(X)=\frac1X$, $v(X)=\sqrt X$ ou $u(x)=ax+b$.
Calculs de dérivées
-
$f(x)=(3x^2-1)^4$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=3x^2-1$, $u'(x)=6x$ : $$f'(x)=4\times 6x\times(3x^2-1)^3=24x(3x^2-1)^3.$$
-
$g(x)=e^{3x^2-x}$ sur $\mathbb{R}$ : $g'(x)=(6x-1)e^{3x^2-x}$.
-
$h(x)=\sqrt{1-x^2}$. La fonction $u:x\mapsto 1-x^2$ est strictement positive sur $]-1\,;1[$, donc $h$ est dérivable sur $]-1\,;1[$ et $$h'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}.$$
-
$k(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-2}$ sur $\mathbb{R}$ ($x^2+1>0$) : $$k'(x)=-2\times 2x\times(x^2+1)^{-3}=\frac{-4x}{(x^2+1)^3}.$$
Dériver une fonction composée
- Repérer la fonction intérieure $u$ (ce qui est « dans » l'exponentielle, sous la racine, élevé à la puissance…) et la fonction extérieure $v$.
- Vérifier les conditions : par exemple $u>0$ pour $\sqrt{u}$, $u\neq 0$ pour $\frac1u$.
- Calculer $u'(x)$.
- Appliquer $(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)$ ou la formule du tableau.
- Simplifier, en gardant la forme factorisée si l'on doit ensuite étudier un signe.
2.Dérivée seconde
Dérivée seconde
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si sa fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$. La dérivée de $f'$ s'appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$ : $$f''=(f')'.$$
Un polynôme
$f(x)=x^4-2x^3$ sur $\mathbb{R}$. $$f'(x)=4x^3-6x^2 \qquad f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1).$$ $f''(x)$ est un trinôme de racines $0$ et $1$, positif à l'extérieur des racines : $f''(x)\geqslant 0$ sur $]-\infty\,;0]\cup[1\,;+\infty[$ et $f''(x)\leqslant 0$ sur $[0\,;1]$.
Avec une exponentielle
$g(x)=xe^x$ sur $\mathbb{R}$. Par la formule du produit : $$g'(x)=1\times e^x+x\times e^x=(x+1)e^x,$$ $$g''(x)=1\times e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x.$$ Comme $e^x>0$, $g''(x)$ a le signe de $x+2$.
Ce que dit le signe de $f''$
$f''$ est la dérivée de $f'$. Son signe donne donc les variations de $f'$ : si $f''\geqslant 0$ sur $I$, $f'$ est croissante sur $I$, c'est-à-dire que les pentes des tangentes augmentent quand $x$ augmente. C'est cette idée qui relie $f''$ à la forme de la courbe dans les sections suivantes.
3.Fonctions convexes et concaves
Corde (ou sécante)
Soit $f$ une fonction de courbe $\mathcal{C}_f$ et $a<b$ deux réels de son ensemble de définition. Le segment $[AB]$ joignant $A(a\,;f(a))$ et $B(b\,;f(b))$ est une corde de $\mathcal{C}_f$. La droite $(AB)$ est une sécante.
Fonction convexe, fonction concave
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous réels $a<b$ de $I$, la portion de $\mathcal{C}_f$ entre les points d'abscisses $a$ et $b$ est située en dessous de la corde $[AB]$.
- $f$ est concave sur $I$ si, pour tous réels $a<b$ de $I$, cette portion de courbe est située au-dessus de la corde $[AB]$.
Image mentale : une fonction convexe a une courbe « en creux », tournée vers le haut, comme $x\mapsto x^2$ ; une fonction concave a une courbe « en bosse », comme $x\mapsto -x^2$.
Vérifier la définition sur un cas
$f(x)=x^2$, $a=0$, $b=2$. Les points sont $A(0\,;0)$ et $B(2\,;4)$. La corde $[AB]$ est portée par la droite $y=2x$.
Pour $x\in[0\,;2]$ : $x^2-2x=x(x-2)\leqslant 0$ car $x\geqslant 0$ et $x-2\leqslant 0$. Donc $x^2\leqslant 2x$ : la courbe est sous la corde. On retrouve ce comportement pour toute corde, ce que la section suivante permettra de justifier rapidement.
Premiers liens
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$.
- Une fonction affine est à la fois convexe et concave sur $\mathbb{R}$ : sa courbe est confondue avec chacune de ses cordes.
Convexe ne veut pas dire croissante
La convexité décrit la forme de la courbe, pas son sens de variation. $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ mais décroissante sur $]-\infty\,;0]$. $x\mapsto e^{-x}$ est convexe et décroissante sur $\mathbb{R}$.
Formulation analytique (hors programme)
La définition se traduit par : pour tous $a,b\in I$ et tout $t\in[0\,;1]$, $$f\big(ta+(1-t)b\big)\leqslant t\,f(a)+(1-t)\,f(b).$$ Cette écriture n'est pas exigible en Terminale ; elle devient la définition usuelle en prépa.
4.Convexité, dérivées et tangentes
Caractérisations de la convexité (admis)
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $f$ est convexe sur $I$ ;
- $f'$ est croissante sur $I$ ;
- $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$.
Si de plus $f$ est deux fois dérivable sur $I$ : $$f \text{ convexe sur } I \iff f''(x)\geqslant 0 \text{ pour tout } x\in I.$$
De même, $f$ concave sur $I$ $\iff$ $f'$ décroissante sur $I$ $\iff$ $\mathcal{C}_f$ en dessous de ses tangentes $\iff$ $f''\leqslant 0$ sur $I$.
Position par rapport aux tangentes (démonstration exigible)
Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f''(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$. Alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes : pour tous $a\in I$ et $x\in I$, $$f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a).$$
Démonstration
Soit $a\in I$. La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
On définit sur $I$ la fonction $g$ par $$g(x)=f(x)-\big[f'(a)(x-a)+f(a)\big].$$ Il s'agit de montrer que $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$.
$g$ est dérivable sur $I$ et, $f'(a)$ et $f(a)$ étant des constantes, $$g'(x)=f'(x)-f'(a).$$
Comme $f''\geqslant 0$ sur $I$, la fonction $f'$ est croissante sur $I$. Donc :
- si $x\leqslant a$, $f'(x)\leqslant f'(a)$, soit $g'(x)\leqslant 0$ ;
- si $x\geqslant a$, $f'(x)\geqslant f'(a)$, soit $g'(x)\geqslant 0$.
| $x$ | $a$ | ||
|---|---|---|---|
| $g'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $g$ | décroissante | $0$ | croissante |
$g$ est décroissante sur $I\cap]-\infty\,;a]$ et croissante sur $I\cap[a\,;+\infty[$ : elle admet donc en $a$ un minimum égal à $$g(a)=f(a)-\big[f'(a)\times 0+f(a)\big]=0.$$ Ainsi $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$, c'est-à-dire $f(x)\geqslant f'(a)(x-a)+f(a)$ : la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$. Ceci valant pour tout $a\in I$, le résultat est démontré.
Pour $f''\leqslant 0$, on applique ce résultat à $-f$ : la courbe de $f$ est en dessous de ses tangentes.
Fonctions de référence
| Fonction | $f''(x)$ | Convexité |
|---|---|---|
| $x^2$ | $2$ | convexe sur $\mathbb{R}$ |
| $x^3$ | $6x$ | concave sur $]-\infty\,;0]$, convexe sur $[0\,;+\infty[$ |
| $\frac1x$ | $\frac{2}{x^3}$ | concave sur $]-\infty\,;0[$, convexe sur $]0\,;+\infty[$ |
| $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{4x\sqrt x}$ | concave sur $[0\,;+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | convexe sur $\mathbb{R}$ |
Pour $\sqrt{x}$, $f''$ n'existe que sur $]0\,;+\infty[$, où elle est négative ; la concavité s'étend à $[0\,;+\infty[$ par la définition avec les cordes.
Étudier la convexité d'une fonction
- Préciser l'intervalle d'étude et justifier que $f$ est deux fois dérivable.
- Calculer $f'(x)$, puis $f''(x)$.
- Mettre $f''(x)$ sous forme factorisée et étudier son signe (tableau de signes).
- Conclure : $f$ convexe là où $f''\geqslant 0$, concave là où $f''\leqslant 0$.
Si l'on connaît seulement $f'$ par sa courbe ou son tableau de variations, on utilise : $f$ convexe là où $f'$ est croissante.
Exemple complet
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$. Comme $x^2+1>0$, $f$ est dérivable et $$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$ Par la formule du quotient, avec $(\sqrt{x^2+1})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ : $$f''(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\times\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.$$ $f''(x)>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
5.Points d'inflexion
Point d'inflexion
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $A$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a\in I$. On dit que $A$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ si la courbe traverse sa tangente en $A$.
En un tel point, la fonction change de convexité : elle passe de convexe à concave, ou l'inverse.
Repérer un point d'inflexion avec $f''$
Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ distinct des bornes. Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors le point $A(a\,;f(a))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
Une fonction polynôme de degré 3
$f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$. $$f'(x)=3x^2-6x \qquad f''(x)=6x-6=6(x-1).$$
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | concave | convexe |
$f''$ s'annule en changeant de signe en $1$, et $f(1)=1-3+2=0$. Le point $A(1\,;0)$ est un point d'inflexion.
Vérification directe : $f'(1)=-3$, la tangente en $A$ est $y=-3(x-1)=-3x+3$ et $$f(x)-(-3x+3)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$ négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$ : la courbe passe bien d'un côté à l'autre de sa tangente.
Fonction $x\mapsto e^{-x^2}$
$f(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=-x^2$ : $$f'(x)=-2xe^{-x^2}.$$ Par la formule du produit : $$f''(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}.$$ Comme $e^{-x^2}>0$, $f''(x)$ a le signe de $2x^2-1$, trinôme de racines $-\frac{\sqrt2}{2}$ et $\frac{\sqrt2}{2}$.
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | convexe | concave | convexe |
$f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac{\sqrt2}{2}\right]$ et sur $\left[\frac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$, concave sur $\left[-\frac{\sqrt2}{2}\,;\frac{\sqrt2}{2}\right]$.
Comme $f\left(\pm\frac{\sqrt2}{2}\right)=e^{-\frac12}$, la courbe admet deux points d'inflexion : $\left(-\frac{\sqrt2}{2}\,;e^{-\frac12}\right)$ et $\left(\frac{\sqrt2}{2}\,;e^{-\frac12}\right)$.
$f''(a)=0$ ne suffit pas
Pour $f(x)=x^4$ : $f''(x)=12x^2$, donc $f''(0)=0$. Mais $f''(x)\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ : $f''$ ne change pas de signe, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. La tangente en $0$ est l'axe $y=0$ et $x^4\geqslant 0$ : la courbe ne traverse pas sa tangente. L'origine n'est pas un point d'inflexion.
Il faut toujours vérifier le changement de signe de $f''$.
Déterminer les points d'inflexion
- Calculer $f''(x)$ et dresser son tableau de signes.
- Relever les valeurs $a$ où $f''$ s'annule en changeant de signe.
- Calculer $f(a)$ : un point d'inflexion est un point, on donne ses deux coordonnées $(a\,;f(a))$.
- Si l'on demande la tangente en ce point, l'écrire avec $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ : la courbe la traverse.
Cas des fonctions de degré 3
Pour $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a\neq 0$, $f''(x)=6ax+2b$ s'annule en changeant de signe en $x=-\frac{b}{3a}$. Toute courbe d'une fonction polynôme de degré 3 a donc exactement un point d'inflexion. Dans l'exemple ci-dessus, $-\frac{-3}{3\times1}=1$.
6.Inégalités obtenues par convexité
La convexité fournit deux types d'inégalités :
- avec les tangentes : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, une fonction concave en dessous ;
- avec les cordes : sur $[a\,;b]$, une fonction convexe est en dessous de la corde $[AB]$, une fonction concave au-dessus.
On compare ainsi une fonction compliquée à une fonction affine.
Démontrer une inégalité par convexité
- Reconnaître dans l'inégalité une fonction $f$ et une fonction affine.
- Identifier la droite : tangente en un point $a$ (calculer $f(a)$ et $f'(a)$) ou corde entre deux points.
- Établir la convexité ou la concavité de $f$ sur l'intervalle (signe de $f''$).
- Conclure par la position de la courbe.
Autre voie, toujours possible : étudier les variations de la différence $g(x)=f(x)-(\text{expression affine})$, comme dans la démonstration de la section 4.
Inégalité fondamentale de l'exponentielle
Montrons que pour tout réel $x$ : $e^x\geqslant 1+x$.
La fonction $\exp$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp''(x)=e^x>0$ : elle est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est donc au-dessus de sa tangente en $0$. Comme $e^0=1$ et $\exp'(0)=1$, cette tangente a pour équation $y=1\times(x-0)+1=x+1$. D'où $e^x\geqslant x+1$ pour tout réel $x$.
De même, la tangente en $1$ est $y=e(x-1)+e=ex$, donc $e^x\geqslant ex$ pour tout réel $x$.
En remplaçant $x$ par $-x$ dans la première : $e^{-x}\geqslant 1-x$ pour tout réel $x$.
Une inégalité de concavité
Montrons que pour tout $x\geqslant 0$ : $\sqrt{x}\leqslant\frac{x+1}{2}$.
Sur $]0\,;+\infty[$, $f(x)=\sqrt x$ a pour dérivée seconde $f''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt x}<0$ : $f$ est concave, sa courbe est en dessous de ses tangentes. Au point d'abscisse $1$ : $f(1)=1$, $f'(1)=\frac{1}{2\sqrt1}=\frac12$, la tangente est $y=\frac12(x-1)+1=\frac{x+1}{2}$. Donc $\sqrt x\leqslant\frac{x+1}{2}$ pour $x>0$.
Pour $x=0$ : $0\leqslant\frac12$, l'inégalité reste vraie. Elle vaut donc sur $[0\,;+\infty[$.
Contrôle algébrique : $\frac{x+1}{2}-\sqrt x=\frac{(\sqrt x-1)^2}{2}\geqslant 0$.
Une inégalité de corde
Montrons que pour tout $x\in[0\,;1]$ : $e^x\leqslant 1+(e-1)x$.
La fonction $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0\,;1]$ sa courbe est en dessous de la corde joignant $A(0\,;1)$ et $B(1\,;e)$. Cette corde a pour coefficient directeur $\frac{e-1}{1-0}=e-1$ et passe par $A$ : elle est portée par la droite $y=1+(e-1)x$. D'où le résultat.
Avec l'inégalité précédente, on obtient l'encadrement, pour $x\in[0\,;1]$ : $$1+x\leqslant e^x\leqslant 1+(e-1)x.$$ Pour $x=0{,}1$ : $1{,}1\leqslant e^{0{,}1}\leqslant 1+0{,}1(e-1)\approx 1{,}172$.
Bien choisir l'intervalle
Une inégalité de tangente n'est valable que sur un intervalle où la fonction est convexe (ou concave). Une inégalité de corde n'est valable qu'entre les deux abscisses $a$ et $b$ : en dehors de $[a\,;b]$, la courbe d'une fonction convexe repasse au-dessus de la sécante. Par exemple $e^2\approx 7{,}39>1+2(e-1)\approx 4{,}44$.
Avec le logarithme
Une fois la fonction $\ln$ étudiée, on montre de la même façon qu'elle est concave sur $]0\,;+\infty[$ ($\ln''(x)=-\frac1{x^2}$) et que sa tangente en $1$ donne : pour tout $x>0$, $\ln x\leqslant x-1$.