Fiche résumé : Compléments sur la dérivation, convexité (Terminale)

Ce chapitre complète les outils de dérivation avec la dérivée d'une fonction composée et la dérivée seconde. Il décrit ensuite la forme d'une courbe, tournée vers le haut ou vers le bas, et en tire des inégalités utiles en analyse.

Composée : $(v\circ u)(x)=v(u(x))$ ; en général $v\circ u\neq u\circ v$.
Dérivée d'une composée : $(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)$.
Cas usuels : $(e^u)'=u'e^u$ ; $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ ; $\left(\frac1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}$ ($u\neq0$) ; $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ ($u>0$) ; $(g(ax+b))'=a\,g'(ax+b)$.
Dérivée seconde : $f''=(f')'$ ; son signe donne les variations de $f'$.
Convexe sur $I$ : courbe en dessous de ses cordes. Concave : au-dessus de ses cordes.
Équivalences ($f$ dérivable, admises) : $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ courbe au-dessus de ses tangentes $\iff$ $f''\geqslant 0$ (si $f$ deux fois dérivable). Concave : inégalités inversées.
Démonstration exigible : si $f''\geqslant0$ sur $I$, $g(x)=f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)]$ a pour dérivée $f'(x)-f'(a)$, négative avant $a$, positive après ; minimum $g(a)=0$ ; donc $g\geqslant 0$.
Référence : $x^2$, $e^x$ convexes sur $\mathbb{R}$ ; $\sqrt x$ concave sur $[0\,;+\infty[$ ; $\frac1x$ concave sur $]-\infty\,;0[$, convexe sur $]0\,;+\infty[$ ; $x^3$ concave puis convexe.
Point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente ; c'est le cas si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$. Donner $(a\,;f(a))$. Attention : $x^4$ en $0$ n'en est pas un.
Inégalités classiques : $e^x\geqslant 1+x$ et $e^x\geqslant ex$ sur $\mathbb{R}$ ; $\sqrt x\leqslant\frac{x+1}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$ ; $e^x\leqslant 1+(e-1)x$ sur $[0\,;1]$.
Méthode d'inégalité : identifier la tangente ou la corde, prouver la convexité par le signe de $f''$, conclure par la position ; ou étudier la différence.