QCM : Compléments sur la dérivation, convexité (Terminale)
Ce chapitre complète les outils de dérivation avec la dérivée d'une fonction composée et la dérivée seconde. Il décrit ensuite la forme d'une courbe, tournée vers le haut ou vers le bas, et en tire des inégalités utiles en analyse.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)^3$. Pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :
On applique $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$ et $n=3$ : $f'(x)=3\times 2\times(2x+1)^2=6(2x+1)^2$. Le piège principal est d'oublier le facteur $u'(x)=2$, ce qui donne $3(2x+1)^2$. Le choix $6x(2x+1)^2$ vient d'une confusion entre $u'(x)$ et la dérivée de $x^2$.
Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^{-x^2}$. Pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :
On applique $(e^u)'=u'e^u$ avec $u(x)=-x^2$ et $u'(x)=-2x$ : $g'(x)=-2xe^{-x^2}$. Le piège principal est de croire que l'exponentielle « reste inchangée » et d'écrire $e^{-x^2}$ en oubliant le facteur $u'$. Le choix $-x^2e^{-x^2-1}$ applique à tort la formule de $(x^n)'$ à l'exponentielle. Le choix $-2xe^{-2x}$ dérive aussi l'exposant à l'intérieur de l'exponentielle.
Soit $h$ définie sur $\left]-\frac13\,;+\infty\right[$ par $h(x)=\sqrt{3x+1}$. Pour tout $x$ de cet intervalle, $h'(x)$ est égal à :
Sur cet intervalle, $u(x)=3x+1>0$. On applique donc $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ avec $u'(x)=3$, ce qui donne $h'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$. Le piège principal est d'oublier $u'$ et d'écrire $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$. Le choix $\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$ oublie le facteur $2$ du dénominateur. Le choix $\frac32\sqrt{3x+1}$ confond la dérivée avec une puissance.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+1$. La courbe de $f$ admet un point d'inflexion. Lequel ?
On a $f'(x)=3x^2-12x$, puis $f''(x)=6x-12=6(x-2)$. $f''$ s'annule en changeant de signe en $2$, et $f(2)=8-24+1=-15$. Le point d'inflexion est donc $(2\,;-15)$. Le piège principal est de chercher les racines de $f'$, c'est-à-dire $0$ et $4$ : elles donnent les extremums de $f$, pas les points d'inflexion. Le choix $(2\,;0)$ donne pour ordonnée la valeur $f''(2)=0$ au lieu de $f(2)$.
Soit $f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$. On a $f''(0)=0$. Quelle affirmation est vraie ?
On a $f''(x)=12x^2\geqslant 0$ pour tout réel $x$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. $f''$ s'annule en $0$ sans changer de signe. La tangente en $0$ est l'axe $y=0$ et la courbe reste au-dessus, car $x^4\geqslant 0$ : elle ne traverse pas sa tangente. Le piège principal est de conclure à un point d'inflexion dès que $f''(a)=0$, sans vérifier le changement de signe. Le choix « concave puis convexe » applique à tort le comportement de $x^3$.
La fonction $f:x\mapsto e^{-x}$ est, sur $\mathbb{R}$ :
On a $f'(x)=-e^{-x}$, puis $f''(x)=-(-e^{-x})=e^{-x}>0$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Le piège principal est de confondre sens de variation et convexité : $f$ est bien décroissante, mais cela ne dit rien de la forme de sa courbe. Le choix $f''(x)=-e^{-x}$ vient d'une erreur de signe au second calcul de dérivée.
Soit $f$ une fonction dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Quelle affirmation est toujours vraie ?
D'après le théorème de caractérisation, $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$. Une fonction convexe a une courbe en dessous de ses cordes et au-dessus de ses tangentes : les deux premiers choix inversent ces positions, ce qui est le piège principal. On peut vérifier avec $x\mapsto x^2$. Le choix « $f$ croissante » confond convexité et variations : $x^2$ est convexe mais décroissante sur $]-\infty\,;0]$.
Parmi les inégalités suivantes, laquelle est vraie pour tout réel $x$ ?
La fonction $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$, donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes. La tangente en $1$ a pour équation $y=e(x-1)+e=ex$, d'où $e^x\geqslant ex$ pour tout réel $x$. Le choix $e^x\leqslant 1+x$ inverse l'inégalité de tangente en $0$. Le choix $e^x\geqslant 1+(e-1)x$ porte sur la corde entre $0$ et $1$ : sur $[0\,;1]$, la courbe est au contraire en dessous de cette corde, par exemple $e^{0,5}\approx 1{,}65<1{,}86$. Le choix $e^x\geqslant x+e$ est faux en $0$, car $1<e$.
Soit $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On sait que $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$. Alors :
$f$ est convexe là où $f'$ est croissante et concave là où $f'$ est décroissante. Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$, et le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion. Le piège principal est de lire les variations de $f'$ comme si c'étaient celles de $f$ : les variations de $f$ dépendent du signe de $f'$, qui n'est pas donné ici. Comme $f'$ décroît sur $]-\infty\,;1]$, on a $f''\leqslant 0$ sur cet intervalle, et non $f''>0$.
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?
Par la formule du produit, $f'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x$, puis $f''(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x$. Comme $e^x>0$, $f''(x)\geqslant 0$ si et seulement si $x\geqslant -1$ : $f$ est convexe sur $[-1\,;+\infty[$. Le piège principal est d'étudier le signe de $f'$, ce qui donne $[0\,;+\infty[$ : c'est l'intervalle où $f$ est croissante. Le choix $[1\,;+\infty[$ correspond au signe de $f$ elle-même. Le choix $]-\infty\,;-1]$ est l'intervalle où $f$ est concave.