Nombres complexes
Ce chapitre fait partie du programme de Terminale.
Ce chapitre construit l'ensemble $\mathbb{C}$, dans lequel toute équation du second degré à coefficients réels admet des solutions, et donne trois écritures d'un même nombre : algébrique, trigonométrique et exponentielle. Ces outils servent à calculer des puissances, à transformer des expressions trigonométriques et à traduire des problèmes de géométrie plane en calculs.
Prérequis
- Cercle trigonométrique, valeurs remarquables de $\cos$ et $\sin$, relation $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
- Résolution des équations du second degré dans $\mathbb{R}$ (discriminant, forme canonique)
- Raisonnement par récurrence et somme des termes d'une suite géométrique
- Coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ et relation de Pascal
- Vecteurs, coordonnées, angles orientés et relation de Chasles, produit scalaire
À la fin du chapitre, on sait
- Calculer avec la forme algébrique : sommes, produits, quotients, conjugués, puissances
- Résoudre une équation du premier degré et une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$
- Calculer un module, un argument, et passer d'une forme à une autre
- Utiliser les formules de Moivre et d'Euler pour retrouver des formules de trigonométrie et linéariser
- Décrire l'ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité
- Traduire en nombres complexes des distances, des angles, l'alignement, l'orthogonalité et des ensembles de points
1.Forme algébrique et conjugué
L'ensemble $\mathbb{C}$
On admet l'existence d'un ensemble noté $\mathbb{C}$, appelé ensemble des nombres complexes, tel que :
- $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ ;
- $\mathbb{C}$ contient un nombre noté $i$ vérifiant $i^2=-1$ ;
- $\mathbb{C}$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans $\mathbb{R}$ (commutativité, associativité, distributivité) ;
- tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
Cette écriture est la forme algébrique de $z$. Le réel $a$ est la partie réelle de $z$, notée $\mathrm{Re}(z)$ ; le réel $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\mathrm{Im}(z)$.
Si $b=0$, $z$ est réel. Si $a=0$, $z$ est dit imaginaire pur ; l'ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb{R}$.
Égalité de deux nombres complexes
Soient $a,b,a',b'$ des réels. Par unicité de la forme algébrique :
$$a+ib=a'+ib' \iff a=a' \text{ et } b=b'.$$
En particulier $a+ib=0 \iff a=0$ et $b=0$.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Calculs en forme algébrique
On développe comme dans $\mathbb{R}$, puis on remplace $i^2$ par $-1$.
- $(3-2i)+(-1+5i)=2+3i$.
- $(2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i^2=2+i+3=5+i$.
- $(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i$.
Donc $\mathrm{Re}\big((2+3i)(1-i)\big)=5$ et $\mathrm{Im}\big((2+3i)(1-i)\big)=1$. La partie imaginaire est le réel $1$, et non $i$.
Puissances de $i$
$i^0=1$, $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$. Les puissances de $i$ se répètent de 4 en 4 : pour tout entier naturel $n$, $i^{n}$ ne dépend que du reste de la division de $n$ par $4$.
Par exemple $2027=4\times 506+3$, donc $i^{2027}=i^3=-i$.
Conjugué
Le conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ ($a,b$ réels) est le nombre complexe
$$\overline{z}=a-ib.$$
Exemples : $\overline{3+4i}=3-4i$, $\overline{-2i}=2i$, $\overline{5}=5$.
Propriétés du conjugué
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :
- $z+\overline{z}=2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$ ;
- $z$ est réel $\iff \overline{z}=z$ ; $z$ est imaginaire pur $\iff \overline{z}=-z$ ;
- si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$, qui est un réel positif ;
- $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ ;
- $\overline{zz'}=\overline{z}\;\overline{z'}$ ;
- si $z\neq 0$ : $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$ et $\overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)}=\dfrac{\overline{z'}}{\overline{z}}$ ;
- $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$.
Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance
On pose $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ avec $a,b,a',b'$ réels.
Produit. $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$, donc $\overline{zz'}=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. D'autre part $\overline{z}\;\overline{z'}=(a-ib)(a'-ib')=aa'-iab'-ia'b+i^2bb'=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)$. Les deux expressions sont égales : $\overline{zz'}=\overline{z}\;\overline{z'}$.
Inverse. Soit $z\neq 0$. On a $z\times\dfrac{1}{z}=1$. En prenant le conjugué et en utilisant le résultat précédent : $\overline{z}\times\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1$. Comme $\overline{z}\neq 0$ (sinon $z=0$), on obtient $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}$. Le quotient s'en déduit en écrivant $\dfrac{z'}{z}=z'\times\dfrac{1}{z}$.
Puissance. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$ : $\overline{z^0}=\overline{1}=1=\overline{z}^{\,0}$. Si $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$ pour un entier $n$, alors $\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times\overline{z}=\overline{z}^{\,n}\times\overline{z}=\overline{z}^{\,n+1}$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Écrire un inverse ou un quotient sous forme algébrique
Pour écrire $\dfrac{z'}{z}$ sous forme algébrique ($z\neq 0$) :
- On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\overline{z}$.
- Le dénominateur devient $z\overline{z}=a^2+b^2$, qui est réel.
- On développe le numérateur et on sépare partie réelle et partie imaginaire.
Tout nombre complexe non nul $z=a+ib$ a donc un inverse : $\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$.
Deux quotients
- $\dfrac{1}{3+4i}=\dfrac{3-4i}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3-4i}{9+16}=\dfrac{3}{25}-\dfrac{4}{25}i$.
- $\dfrac{1+2i}{2-i}=\dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i+4i+2i^2}{4+1}=\dfrac{5i}{5}=i$.
Formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$
Pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$ :
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}.$$
Formule du binôme
Par récurrence sur $n$.
Initialisation. Pour $n=0$ : $(a+b)^0=1$ et $\binom{0}{0}a^0b^0=1$.
Hérédité. Supposons la formule vraie pour un entier $n$. Alors
$$\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n+1-k}.\end{aligned}$$
Dans la première somme, on pose $j=k+1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}a^{j}b^{n+1-j}$. En isolant le terme $j=n+1$ de la première somme et le terme $k=0$ de la seconde :
$$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left[\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}\right]a^jb^{n+1-j}+b^{n+1}.$$
Par la relation de Pascal, $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$. Comme $\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1$, on obtient $(a+b)^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}a^jb^{n+1-j}$.
Conclusion. La formule est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$. Elle repose sur la commutativité de la multiplication dans $\mathbb{C}$ (on a écrit $a\,a^k b^{n-k}=a^{k+1}b^{n-k}$ et $b\,a^kb^{n-k}=a^kb^{n+1-k}$).
Calcul de $(2-i)^3$
Avec $a=2$, $b=-i$ et la ligne $1,3,3,1$ du triangle de Pascal :
$$(2-i)^3=2^3+3\times 2^2\times(-i)+3\times 2\times(-i)^2+(-i)^3=8-12i-6+i=2-11i.$$
Vérification : $(2-i)^2=4-4i-1=3-4i$, puis $(3-4i)(2-i)=6-3i-8i+4i^2=2-11i$.
2.Équations dans $\mathbb{C}$
Produit nul
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : $zz'=0 \iff z=0$ ou $z'=0$.
En effet, si $zz'=0$ et $z\neq 0$, alors $z'=\dfrac{1}{z}\times zz'=0$. Cette propriété permet, comme dans $\mathbb{R}$, de résoudre une équation en factorisant.
Résoudre une équation du premier degré
Cas 1 : l'inconnue $z$ apparaît seule. On isole $z$ comme dans $\mathbb{R}$, puis on écrit le résultat sous forme algébrique.
Cas 2 : $z$ et $\overline{z}$ apparaissent ensemble. On ne peut pas isoler $z$ directement.
- On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels, donc $\overline{z}=x-iy$.
- On développe et on écrit chaque membre sous forme algébrique.
- On identifie parties réelles et parties imaginaires : on obtient un système de deux équations réelles.
- On résout le système et on conclut avec $z=x+iy$.
Deux équations du premier degré
Résoudre $(1+i)z=3-i$. Comme $1+i\neq 0$ :
$$z=\frac{3-i}{1+i}=\frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-i+i^2}{2}=\frac{2-4i}{2}=1-2i.$$
Vérification : $(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i^2=3-i$. L'ensemble des solutions est $\{1-2i\}$.
Résoudre $z+2\overline{z}=3-i$. On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels :
$$x+iy+2(x-iy)=3x-iy.$$
L'équation devient $3x-iy=3-i$, soit $3x=3$ et $-y=-1$. Donc $x=1$, $y=1$ et l'unique solution est $z=1+i$.
Équation du second degré à coefficients réels
Soient $a,b,c$ des réels avec $a\neq 0$, et $\Delta=b^2-4ac$. L'équation $az^2+bz+c=0$ d'inconnue $z\in\mathbb{C}$ admet :
- si $\Delta>0$, deux solutions réelles $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
- si $\Delta=0$, une solution réelle $z_0=-\dfrac{b}{2a}$ ;
- si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées
$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\overline{z_1}.$$
Dans tous les cas, pour tout $z\in\mathbb{C}$, $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ (avec $z_1=z_2=z_0$ si $\Delta=0$).
Résolution de l'équation du second degré
Pour tout $z\in\mathbb{C}$, la forme canonique obtenue en première reste valable, car elle n'utilise que les règles de calcul communes à $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ :
$$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right].$$
Les cas $\Delta>0$ et $\Delta=0$ se traitent comme en première. On suppose $\Delta<0$. Alors $-\Delta>0$ et $\Delta=-(\sqrt{-\Delta})^2=\left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2$. Donc
$$\begin{aligned}az^2+bz+c&=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\&=a\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\\&=a(z-z_2)(z-z_1).\end{aligned}$$
Comme $a\neq 0$, la propriété du produit nul donne : $az^2+bz+c=0\iff z=z_1$ ou $z=z_2$. Enfin $a$, $b$ et $\sqrt{-\Delta}$ sont réels, donc $z_2=\overline{z_1}$.
Résoudre $z^2-2z+5=0$
Les coefficients sont réels : $a=1$, $b=-2$, $c=5$. On a $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times 5=-16<0$, et $\sqrt{-\Delta}=4$.
$$z_1=\frac{2-4i}{2}=1-2i,\qquad z_2=\frac{2+4i}{2}=1+2i.$$
L'ensemble des solutions est $\{1-2i\,;\,1+2i\}$ et $z^2-2z+5=(z-1+2i)(z-1-2i)$.
De même, $z^2+z+1=0$ a pour discriminant $-3$ et pour solutions $\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}$.
Somme et produit des solutions
Comme en première, $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}$ et $z_1z_2=\dfrac{c}{a}$, ce qui se lit en développant $a(z-z_1)(z-z_2)$. Ces relations permettent de vérifier un résultat : pour $z^2-2z+5$, on trouve bien $(1-2i)+(1+2i)=2$ et $(1-2i)(1+2i)=1+4=5$.
Pas de racine carrée d'un négatif
Le symbole $\sqrt{\;}$ est réservé aux réels positifs. On n'écrit jamais $\sqrt{-16}$ ni $\sqrt{\Delta}$ lorsque $\Delta<0$. On écrit $\Delta=-16=(4i)^2$, ou on applique directement la formule avec $i\sqrt{-\Delta}$.
Le théorème ne s'applique qu'à des coefficients réels.
Factorisation d'un polynôme par $z-a$
- Pour tout nombre complexe $a$, tout $z\in\mathbb{C}$ et tout entier $n\geq 1$ : $$z^n-a^n=(z-a)\sum_{k=0}^{n-1}z^{k}a^{n-1-k}=(z-a)\left(z^{n-1}+az^{n-2}+\dots+a^{n-2}z+a^{n-1}\right).$$
- Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 1$ à coefficients complexes. Si $P(a)=0$, il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que, pour tout $z$, $P(z)=(z-a)Q(z)$.
- Un polynôme de degré $n\geq 1$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$.
Factorisation et nombre de racines
1. On développe : $(z-a)\sum_{k=0}^{n-1}z^ka^{n-1-k}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{k+1}a^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}z^ka^{n-k}$. En posant $j=k+1$ dans la première somme, elle devient $\sum_{j=1}^{n}z^ja^{n-j}$. Les termes d'indice $1$ à $n-1$ se compensent ; il reste $z^n-a^n$.
2. On écrit $P(z)=\sum_{k=0}^{n}c_kz^k$ avec $c_n\neq 0$. Comme $P(a)=0$ : $$P(z)=P(z)-P(a)=\sum_{k=1}^{n}c_k\left(z^k-a^k\right).$$ D'après le point 1, chaque $z^k-a^k$ s'écrit $(z-a)Q_k(z)$ avec $Q_k$ de degré $k-1$. Donc $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q=\sum_{k=1}^n c_kQ_k$, de degré $n-1$ car seul $c_nQ_n$ contient le terme $c_nz^{n-1}$.
3. Par récurrence sur $n\geq 1$. Un polynôme de degré $1$, $c_1z+c_0$ avec $c_1\neq 0$, a une seule racine $-\dfrac{c_0}{c_1}$. Supposons la propriété vraie au rang $n$ et soit $P$ de degré $n+1$. Si $P$ n'a pas de racine, c'est fini. Sinon, soit $a$ une racine : $P(z)=(z-a)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$. Par produit nul, les racines de $P$ sont $a$ et les racines de $Q$, qui sont au plus $n$. $P$ a donc au plus $n+1$ racines.
Une équation de degré 3
Soit $P(z)=z^3-3z^2+4z-2$. On remarque $P(1)=1-3+4-2=0$, donc $P(z)=(z-1)(z^2+\beta z+\gamma)$. En développant, $(z-1)(z^2+\beta z+\gamma)=z^3+(\beta-1)z^2+(\gamma-\beta)z-\gamma$. Par identification : $\beta-1=-3$, $-\gamma=-2$, d'où $\beta=-2$, $\gamma=2$ (et $\gamma-\beta=4$ est bien vérifié).
$$P(z)=(z-1)(z^2-2z+2).$$
Pour $z^2-2z+2$ : $\Delta=4-8=-4$, solutions $\dfrac{2\pm 2i}{2}=1\pm i$. L'ensemble des solutions de $P(z)=0$ est $\{1\,;\,1-i\,;\,1+i\}$.
3.Plan complexe et module
Image et affixe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, appelé plan complexe.
- Au nombre complexe $z=a+ib$ ($a,b$ réels) on associe le point $M(a;b)$, appelé image de $z$. On dit que $z$ est l'affixe de $M$ et on note $M(z)$.
- De même, $z$ est l'affixe du vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
L'axe des abscisses porte les réels, l'axe des ordonnées les imaginaires purs. L'image de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.
Affixes et vecteurs
Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ :
- le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$ ;
- le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$ ;
- si $\vec{w}$ et $\vec{w}'$ ont pour affixes $z$ et $z'$, et $k$ est réel, $\vec{w}+\vec{w}'$ a pour affixe $z+z'$ et $k\vec{w}$ a pour affixe $kz$.
Module
Le module du nombre complexe $z=a+ib$ ($a,b$ réels) est le réel positif
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Si $M$ est l'image de $z$, alors $|z|=OM$. Si $z$ est réel, $|z|$ est sa valeur absolue : la notation est cohérente.
Propriétés du module
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :
- $|z|=0\iff z=0$ ;
- $z\overline{z}=|z|^2$ ;
- $|\overline{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$ ;
- $|zz'|=|z|\,|z'|$ et $|z^n|=|z|^n$ ;
- si $z\neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$ et $\left|\dfrac{z'}{z}\right|=\dfrac{|z'|}{|z|}$ ;
- si $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $AB=|z_B-z_A|$.
Module d'un produit et d'un quotient
Pour $z=a+ib$ : $z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-i^2b^2=a^2+b^2=|z|^2$.
Avec le conjugué d'un produit : $$|zz'|^2=zz'\,\overline{zz'}=z\overline{z}\,z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2.$$ Les réels $|zz'|$ et $|z|\,|z'|$ sont positifs et ont le même carré, donc ils sont égaux.
Si $z\neq 0$ : $|z|\times\left|\dfrac{1}{z}\right|=\left|z\times\dfrac{1}{z}\right|=1$, donc $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$. La formule du quotient s'en déduit, et celle de la puissance s'obtient par récurrence.
Calculer un module sans forme algébrique
$$\left|\frac{3+4i}{1-i}\right|=\frac{|3+4i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$
$$\left|(1+i)^{6}\right|=|1+i|^6=\left(\sqrt{2}\right)^6=8.$$
Les propriétés du module évitent de développer.
Inégalité triangulaire
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ :
$$|z+z'|\leq |z|+|z'|.$$
Géométriquement, pour trois points $A$, $B$, $C$ : $AC\leq AB+BC$.
Inégalité triangulaire
On a $|z+z'|^2=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+|z'|^2+z\overline{z'}+\overline{z}z'$.
Or $\overline{z}z'=\overline{z\overline{z'}}$, donc $z\overline{z'}+\overline{z}z'=2\,\mathrm{Re}\left(z\overline{z'}\right)$.
Pour tout complexe $w=x+iy$, $\mathrm{Re}(w)=x\leq |x|=\sqrt{x^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}=|w|$. Donc $$|z+z'|^2\leq |z|^2+|z'|^2+2\left|z\overline{z'}\right|=|z|^2+|z'|^2+2|z|\,|z'|=\left(|z|+|z'|\right)^2.$$ Les deux membres $|z+z'|$ et $|z|+|z'|$ étant positifs, on conclut $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.
L'ensemble $\mathbb{U}$
On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$ :
$$\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C}\;:\;|z|=1\}.$$
Ses images forment le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, le cercle trigonométrique.
Stabilité de $\mathbb{U}$
- Si $z$ et $z'$ appartiennent à $\mathbb{U}$, alors $zz'\in\mathbb{U}$, car $|zz'|=|z|\,|z'|=1$.
- Si $z\in\mathbb{U}$, alors $\dfrac{1}{z}\in\mathbb{U}$, car $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}=1$. De plus $z\overline{z}=|z|^2=1$, donc $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$.
4.Forme trigonométrique et forme exponentielle
Argument
Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M$ son image. On appelle argument de $z$ toute mesure, en radians, de l'angle orienté $(\vec{u},\overrightarrow{OM})$. On note $\arg(z)$ l'une de ces mesures.
Si $\theta$ est un argument de $z$, les autres sont les $\theta+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. On écrit $\arg(z)=\theta\;[2\pi]$ (« modulo $2\pi$ »).
Le nombre $0$ n'a pas d'argument.
Exemples : $\arg(3)=0\;[2\pi]$, $\arg(-2)=\pi\;[2\pi]$, $\arg(5i)=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$, $\arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$.
Forme trigonométrique
Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit
$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$$
C'est une forme trigonométrique de $z$. Si $z=a+ib$, on a $a=r\cos\theta$, $b=r\sin\theta$, donc
$$\cos\theta=\frac{a}{r},\qquad \sin\theta=\frac{b}{r}.$$
Réciproquement, si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ avec $r>0$, alors $|z|=r$ et $\arg(z)=\theta\;[2\pi]$. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même module et des arguments égaux modulo $2\pi$.
Déterminer module et argument de $z=a+ib$
- On calcule $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
- On calcule $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
- On reconnaît sur le cercle trigonométrique un angle $\theta$ ayant ce cosinus et ce sinus. Le cosinus seul ne suffit pas : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$ ont le même cosinus.
- On conclut : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.
Astuce : on peut mettre $r$ en facteur, $z=r\left(\dfrac{a}{r}+i\dfrac{b}{r}\right)$, et reconnaître les valeurs remarquables entre parenthèses.
Trois formes trigonométriques
- $z_1=1+i$ : $r=\sqrt{2}$, $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $z_1=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.
- $z_2=-1+i\sqrt{3}$ : $r=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ et $z_2=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.
- $z_3=\sqrt{3}-i$ : $r=2$, $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$, donc $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ et $z_3=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$.
Notation exponentielle
Pour tout réel $\theta$, on note
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$
$e^{i\theta}$ est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ ; son image est le point du cercle trigonométrique associé à $\theta$. Ainsi $\mathbb{U}=\{e^{i\theta},\;\theta\in\mathbb{R}\}$.
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit $z=re^{i\theta}$ : c'est une forme exponentielle de $z$.
Valeurs à connaître : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi/2}=i$, $e^{i\pi}=-1$, $e^{-i\pi/2}=-i$, $e^{2i\pi}=1$.
Relation fondamentale
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^{ia}\times e^{ib}=e^{i(a+b)}.$$
Cette relation justifie la notation : $\theta\mapsto e^{i\theta}$ transforme les sommes en produits, comme la fonction exponentielle réelle.
Justification de la relation fondamentale
La relation équivaut à $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. On peut l'établir avec le produit scalaire de première : pour $\vec{w}_1(\cos a;\sin a)$ et $\vec{w}_2(\cos b;\sin b)$, unitaires et tels que $(\vec{w}_1,\vec{w}_2)=b-a\;[2\pi]$, on a $\vec{w}_1\cdot\vec{w}_2=\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(b-a)$, d'où $\cos(a-b)$, puis les autres formules. Dans ce chapitre, on prend la relation fondamentale comme point de départ et on en déduit les formules de trigonométrie (section suivante).
Calculs en forme exponentielle
Pour $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$ avec $r,r'>0$, et $n\in\mathbb{Z}$ :
| Opération | Forme exponentielle | Module | Argument |
|---|---|---|---|
| $zz'$ | $rr'e^{i(\theta+\theta')}$ | $rr'$ | $\theta+\theta'$ |
| $\dfrac{1}{z}$ | $\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ | $\dfrac{1}{r}$ | $-\theta$ |
| $\dfrac{z}{z'}$ | $\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$ | $\dfrac{r}{r'}$ | $\theta-\theta'$ |
| $z^n$ | $r^ne^{in\theta}$ | $r^n$ | $n\theta$ |
| $\overline{z}$ | $re^{-i\theta}$ | $r$ | $-\theta$ |
Les arguments sont donnés modulo $2\pi$. En résumé : $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$, $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'$, $\arg(z^n)=n\arg z$, $\arg(\overline{z})=-\arg z\;[2\pi]$.
Justification : le produit découle de la relation fondamentale ; $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{0}=1$ donne l'inverse ; le conjugué vient de $\cos(-\theta)=\cos\theta$ et $\sin(-\theta)=-\sin\theta$ ; la puissance s'obtient par récurrence.
Calculer une puissance
Pour calculer $z^n$ avec $n$ grand :
- On écrit $z$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$.
- On calcule $z^n=r^ne^{in\theta}$.
- On réduit $n\theta$ modulo $2\pi$ pour se ramener à un angle connu.
- On revient à la forme algébrique si on la demande.
Calcul de $(1+i)^{10}$ et de $\left(\dfrac{-1+i\sqrt3}{1+i}\right)$
$1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$, donc $(1+i)^{10}=\left(\sqrt{2}\right)^{10}e^{i10\pi/4}=32\,e^{i5\pi/2}$. Or $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi$, donc $(1+i)^{10}=32e^{i\pi/2}=32i$.
Vérification : $(1+i)^2=2i$, donc $(1+i)^{10}=(2i)^5=32i^5=32i$.
Avec $-1+i\sqrt{3}=2e^{2i\pi/3}$ : $$\frac{-1+i\sqrt{3}}{1+i}=\frac{2e^{2i\pi/3}}{\sqrt{2}e^{i\pi/4}}=\sqrt{2}\,e^{i(2\pi/3-\pi/4)}=\sqrt{2}\,e^{5i\pi/12}.$$
Le module est strictement positif
Dans $re^{i\theta}$, le réel $r$ doit être strictement positif. L'écriture $-2e^{i\pi/5}$ n'est pas une forme exponentielle. Comme $-1=e^{i\pi}$ :
$$-2e^{i\pi/5}=2e^{i\pi}e^{i\pi/5}=2e^{6i\pi/5}.$$
Son module est $2$ et un argument est $\dfrac{6\pi}{5}$ (ou $-\dfrac{4\pi}{5}$).
Pas de règle pour la somme
Il n'existe aucune formule simple pour le module ou l'argument d'une somme : en général $|z+z'|\neq|z|+|z'|$ et $\arg(z+z')\neq\arg z+\arg z'$. Par exemple $|1+i|=\sqrt{2}$ alors que $|1|+|i|=2$. Pour une somme, on revient à la forme algébrique ou on utilise la méthode de l'angle moitié (section suivante).
5.Formules de Moivre et d'Euler
Formule de Moivre
Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n\in\mathbb{Z}$ :
$$\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta},\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$
Pour $n\in\mathbb{N}$, c'est une récurrence immédiate à partir de la relation fondamentale ; pour $n$ négatif, on utilise $\left(e^{i\theta}\right)^{-1}=e^{-i\theta}$.
Formules d'addition et de duplication
Soient $a$ et $b$ réels. D'une part $e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$. D'autre part :
$$\begin{aligned}e^{ia}e^{ib}&=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)\\&=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b).\end{aligned}$$
Par la relation fondamentale, ces deux nombres sont égaux. On identifie parties réelles et imaginaires (les cosinus et sinus sont réels) :
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$
En remplaçant $b$ par $-b$, avec $\cos(-b)=\cos b$ et $\sin(-b)=-\sin b$ :
$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$
En prenant $b=a$ (duplication) :
$$\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a,\qquad \sin(2a)=2\sin a\cos a.$$
Les deux dernières formes de $\cos(2a)$ viennent de $\cos^2a+\sin^2a=1$.
Exprimer $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$
On note $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$. Par la formule de Moivre puis celle du binôme :
$$\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)=(c+is)^3=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3=\left(c^3-3cs^2\right)+i\left(3c^2s-s^3\right).$$
On identifie, puis on utilise $s^2=1-c^2$ et $c^2=1-s^2$ :
$$\cos(3\theta)=c^3-3c(1-c^2)=4\cos^3\theta-3\cos\theta,$$ $$\sin(3\theta)=3(1-s^2)s-s^3=3\sin\theta-4\sin^3\theta.$$
Contrôle avec $\theta=0$ : $4-3=1=\cos 0$.
Formules d'Euler
Pour tout réel $\theta$ :
$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$
En effet $e^{-i\theta}=\overline{e^{i\theta}}$, et pour tout complexe $z$ : $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$, $z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$. On applique ces relations à $z=e^{i\theta}$, de partie réelle $\cos\theta$ et de partie imaginaire $\sin\theta$.
Linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$
Linéariser, c'est écrire une puissance de $\cos\theta$ ou de $\sin\theta$ comme une somme de termes $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$ (utile pour calculer une primitive).
- On remplace $\cos\theta$ ou $\sin\theta$ par sa formule d'Euler.
- On développe avec la formule du binôme.
- On regroupe les termes deux par deux : $e^{ik\theta}$ avec $e^{-ik\theta}$.
- On applique Euler dans l'autre sens : $e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos(k\theta)$ et $e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin(k\theta)$.
Linéarisation de $\cos^3\theta$
$$\begin{aligned}\cos^3\theta&=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\left(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\right)\\&=\frac{1}{8}\left(2\cos(3\theta)+6\cos\theta\right)=\frac{1}{4}\cos(3\theta)+\frac{3}{4}\cos\theta.\end{aligned}$$
On retrouve la formule $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$. Application : une primitive de $\theta\mapsto\cos^3\theta$ est $\theta\mapsto\dfrac{1}{12}\sin(3\theta)+\dfrac{3}{4}\sin\theta$.
Factorisation par l'angle moitié
Pour écrire $e^{ia}+e^{ib}$ ou $e^{ia}-e^{ib}$ sous une forme où apparaissent module et argument :
- On met en facteur $e^{i\frac{a+b}{2}}$.
- Il reste $e^{i\frac{a-b}{2}}\pm e^{-i\frac{a-b}{2}}$, qu'on simplifie avec Euler :
$$e^{ia}+e^{ib}=2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}},\qquad e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}}.$$
- On étudie le signe du facteur réel avant de lire module et argument.
Module et argument de $1+e^{i\theta}$
Soit $\theta\in\,]-\pi;\pi[$. On écrit $1=e^{i0}$ et on factorise par $e^{i\theta/2}$ :
$$1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}.$$
Comme $\dfrac{\theta}{2}\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$, on a $\cos\dfrac{\theta}{2}>0$. C'est donc une forme exponentielle : $\left|1+e^{i\theta}\right|=2\cos\dfrac{\theta}{2}$ et $\arg\left(1+e^{i\theta}\right)=\dfrac{\theta}{2}\;[2\pi]$.
Si $\cos\dfrac{\theta}{2}$ était négatif, le module serait $-2\cos\dfrac{\theta}{2}$ et il faudrait ajouter $\pi$ à l'argument.
6.Racines $n$-ièmes de l'unité
Racine $n$-ième de l'unité
Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle racine $n$-ième de l'unité tout nombre complexe $z$ tel que $z^n=1$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble de ces nombres.
Exemples : $\mathbb{U}_1=\{1\}$ ; $\mathbb{U}_2=\{-1\,;\,1\}$ ; $i\in\mathbb{U}_4$ car $i^4=1$.
Description de $\mathbb{U}_n$
Pour tout entier $n\geq 1$, il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité :
$$\mathbb{U}_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\;k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\}.$$
En notant $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$, on a $\mathbb{U}_n=\{1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}\}$.
Description de $\mathbb{U}_n$
Les éléments de $\mathbb{U}_n$ sont de module 1. Si $z^n=1$, alors $|z|^n=|z^n|=1$. Comme $|z|$ est un réel positif, $|z|=1$. On peut donc écrire $z=e^{i\theta}$ avec $\theta$ réel.
Équivalence. Pour $z=e^{i\theta}$ : $z^n=e^{in\theta}$, et $e^{in\theta}=1=e^{i0}$ équivaut à $n\theta=0\;[2\pi]$, c'est-à-dire à l'existence d'un entier $k$ tel que $n\theta=2k\pi$, soit $\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$. Donc $\mathbb{U}_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\;k\in\mathbb{Z}\right\}$.
On se ramène à $k\in\{0,\dots,n-1\}$. Soit $k\in\mathbb{Z}$ ; la division euclidienne donne $k=qn+r$ avec $0\leq r\leq n-1$. Alors $e^{\frac{2ik\pi}{n}}=e^{2iq\pi}e^{\frac{2ir\pi}{n}}=e^{\frac{2ir\pi}{n}}$.
Ces $n$ nombres sont distincts. Pour $0\leq k<k'\leq n-1$, les réels $\dfrac{2k\pi}{n}$ et $\dfrac{2k'\pi}{n}$ sont dans $[0;2\pi[$ et distincts, donc ne diffèrent pas d'un multiple de $2\pi$ : les points correspondants du cercle sont distincts.
$\mathbb{U}_n$ a donc exactement $n$ éléments. Enfin $e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k=\omega^k$ par la formule de Moivre.
Propriétés de $\mathbb{U}_n$
- Pour $n\geq 3$, les images des éléments de $\mathbb{U}_n$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe $1$.
- Le produit de deux éléments de $\mathbb{U}_n$ est dans $\mathbb{U}_n$ ; l'inverse et le conjugué d'un élément de $\mathbb{U}_n$ sont dans $\mathbb{U}_n$.
- Pour $n\geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle : $$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}=0.$$
Somme des racines $n$-ièmes
Soit $n\geq 2$ et $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Comme $0<\dfrac{2\pi}{n}<2\pi$, on a $\omega\neq 1$. La somme est celle des termes d'une suite géométrique de raison $\omega\neq 1$ (la formule reste valable dans $\mathbb{C}$, sa preuve n'utilisant que les règles de calcul) :
$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}=\frac{1-1}{1-\omega}=0.$$
$\mathbb{U}_3$ et $\mathbb{U}_4$
$\mathbb{U}_3$. On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $\mathbb{U}_3=\{1\,;\,j\,;\,j^2\}$ avec $j^2=e^{\frac{4i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\overline{j}$. On vérifie $1+j+j^2=1-\dfrac12-\dfrac12=0$. Les images forment un triangle équilatéral. On retrouve les solutions de $z^2+z+1=0$, puisque $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$.
$\mathbb{U}_4$. Avec $\omega=e^{i\pi/2}=i$ : $\mathbb{U}_4=\{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}$. Les images forment un carré et $1+i-1-i=0$.
Résoudre $z^n=a$ avec $a\neq 0$
- On écrit $a$ sous forme exponentielle : $a=\rho e^{i\alpha}$ avec $\rho>0$.
- On cherche $z$ sous la forme $re^{i\theta}$, $r>0$ ($z=0$ n'est pas solution). L'équation $r^ne^{in\theta}=\rho e^{i\alpha}$ équivaut à $r^n=\rho$ et $n\theta=\alpha\;[2\pi]$.
- Donc $r=\rho^{1/n}$ (unique réel positif dont la puissance $n$-ième vaut $\rho$) et $\theta=\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}$.
- On obtient exactement $n$ solutions, pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$ : $z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$.
Autre lecture : si $z_0$ est une solution, les solutions sont les $z_0\,u$ avec $u\in\mathbb{U}_n$.
Résoudre $z^3=8i$
$8i=8e^{i\pi/2}$. Avec $z=re^{i\theta}$ : $r^3=8$ donc $r=2$, et $3\theta=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$.
- $k=0$ : $z_0=2e^{i\pi/6}=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\sqrt{3}+i$ ;
- $k=1$ : $z_1=2e^{5i\pi/6}=-\sqrt{3}+i$ ;
- $k=2$ : $z_2=2e^{3i\pi/2}=-2i$.
Vérification : $(-2i)^3=-8i^3=8i$. L'ensemble des solutions est $\{\sqrt3+i\,;\,-\sqrt3+i\,;\,-2i\}$.
7.Applications à la géométrie
Distances et angles
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points d'affixes $a$, $b$, $c$, $d$.
- $AB=|b-a|$.
- Si $A\neq B$ : $(\vec{u},\overrightarrow{AB})=\arg(b-a)\;[2\pi]$.
- Si $A\neq B$ et $A\neq C$ : $$\frac{AC}{AB}=\left|\frac{c-a}{b-a}\right|\qquad\text{et}\qquad(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\;[2\pi].$$
- Plus généralement, si $A\neq B$ et $C\neq D$ : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\;[2\pi]$.
Angle et quotient
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $b-a$. Le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$ a donc pour affixe $b-a$, et $(\vec{u},\overrightarrow{AB})=(\vec{u},\overrightarrow{OM})=\arg(b-a)$. De même $(\vec{u},\overrightarrow{AC})=\arg(c-a)$.
Par la relation de Chasles sur les angles orientés : $$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB},\vec{u})+(\vec{u},\overrightarrow{AC})=\arg(c-a)-\arg(b-a)=\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\;[2\pi].$$
Pour le module : $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=\dfrac{|c-a|}{|b-a|}=\dfrac{AC}{AB}$.
Reconnaître une configuration avec $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$
On suppose $A$, $B$, $C$ distincts et on calcule $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique ou exponentielle.
| Condition sur $Z$ | Conclusion |
|---|---|
| $Z$ réel | $A$, $B$, $C$ alignés |
| $Z$ imaginaire pur | $(AB)\perp(AC)$ : triangle rectangle en $A$ |
| $\lvert Z\rvert=1$ | $AB=AC$ : triangle isocèle en $A$ |
| $Z=i$ ou $Z=-i$ | triangle rectangle isocèle en $A$ |
| $Z=e^{i\pi/3}$ ou $Z=e^{-i\pi/3}$ | triangle équilatéral |
Justification : $Z$ réel non nul signifie $\arg Z=0$ ou $\pi\;[2\pi]$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires ; $Z$ imaginaire pur non nul signifie $\arg Z=\pm\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$. Pour l'équilatéral : $AB=AC$ et l'angle en $A$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ en valeur absolue, ce qui caractérise un triangle équilatéral.
Pour deux droites $(AB)$ et $(CD)$ : elles sont parallèles si $\dfrac{d-c}{b-a}$ est réel, perpendiculaires s'il est imaginaire pur.
Nature d'un triangle
Soient $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(3i)$. On calcule $b-a=2+i$ et $c-a=-1+2i$, puis
$$Z=\frac{c-a}{b-a}=\frac{-1+2i}{2+i}=\frac{(-1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{-2+i+4i-2i^2}{5}=\frac{5i}{5}=i.$$
$|Z|=1$ donne $AC=AB$ et $\arg Z=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ donne $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.
Contrôle : $AB=|2+i|=\sqrt5$ et $AC=|-1+2i|=\sqrt5$.
Alignement
Soient $A(1)$, $B(2+i)$, $C(4+3i)$. Alors
$$\frac{c-a}{b-a}=\frac{3+3i}{1+i}=\frac{3(1+i)}{1+i}=3.$$
Ce quotient est réel, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. De plus $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$.
Déterminer un ensemble de points
Pour trouver l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant une condition :
- On repère des points fixes $A(a)$, $B(b)$ et on traduit en distances ou en angles :
- $|z-a|=r$ ($r>0$) : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ;
- $|z-a|=|z-b|$ ($a\neq b$) : $MA=MB$, médiatrice de $[AB]$ ;
- $\dfrac{z-a}{z-b}$ réel ($M\neq B$) : $M$ sur la droite $(AB)$, privée de $B$ ;
- $\dfrac{z-a}{z-b}$ imaginaire pur ($M\neq B$) : $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ ou $M=A$, donc cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$.
- Si la condition ne se lit pas directement, on pose $z=x+iy$ et on obtient une équation cartésienne.
Ensemble défini par une égalité de modules
On cherche les points $M(z)$ tels que $|z-2i|=|z+1|$. Avec $A(2i)$ et $B(-1)$, l'égalité s'écrit $MA=MB$ : l'ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$.
Vérification par le calcul avec $z=x+iy$ : $x^2+(y-2)^2=(x+1)^2+y^2$, soit $-4y+4=2x+1$, c'est-à-dire $2x+4y-3=0$. Le milieu de $[AB]$, d'affixe $\dfrac{-1+2i}{2}$, soit $\left(-\dfrac12;1\right)$, vérifie bien $-1+4-3=0$.
Rotations et écriture complexe
Les transformations du plan ne figurent pas au programme de mathématiques expertes, mais des exercices guidés peuvent les utiliser. L'écriture $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ traduit : $\Omega M'=\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\theta\;[2\pi]$ (pour $M\neq\Omega$), c'est-à-dire que $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$. C'est exactement la lecture de la méthode précédente avec $Z=\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$.