Exercices corrigés : Nombres complexes (Terminale)

1. On développe puis on remplace $i^2$ par $-1$ : $$z_1=(3+i)(2-5i)=6-15i+2i-5i^2=6-13i+5=11-13i.$$

2. Avec l'identité $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ : $$z_2=(1-3i)^2=1-6i+9i^2=1-6i-9=-8-6i.$$

3. Le conjugué de $1-i$ est $1+i$. On multiplie en haut et en bas par $1+i$ : $$z_3=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1^2+1^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac12+\frac32i.$$ Donc $\mathrm{Re}(z_3)=\dfrac12$ et $\mathrm{Im}(z_3)=\dfrac32$ (la partie imaginaire est un réel, sans $i$).

Contrôle : $(1-i)\left(\dfrac12+\dfrac32i\right)=\dfrac12+\dfrac32i-\dfrac12i-\dfrac32i^2=2+i$.

4. On a $2026=4\times 506+2$ et $i^4=1$, donc $$i^{2026}=\left(i^4\right)^{506}\times i^2=1\times(-1)=-1.$$

1. $(2-i)z+3i=1+i\iff(2-i)z=1-2i$. Comme $2-i\neq 0$ : $$z=\frac{1-2i}{2-i}=\frac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2+i-4i-2i^2}{4+1}=\frac{4-3i}{5}=\frac45-\frac35i.$$ Vérification : $(2-i)(4-3i)=8-6i-4i+3i^2=5-10i$, donc $(2-i)\times\dfrac{4-3i}{5}=1-2i$, puis $1-2i+3i=1+i$. L'ensemble des solutions est $\left\{\dfrac45-\dfrac35i\right\}$.

2. On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels, donc $\overline{z}=x-iy$ : $$2z+i\overline{z}=2x+2iy+ix-i^2y=(2x+y)+i(x+2y).$$ Par identification des parties réelles et imaginaires, l'équation équivaut au système $$\begin{cases}2x+y=5\\x+2y=4\end{cases}$$ La première ligne donne $y=5-2x$. En remplaçant : $x+10-4x=4$, soit $-3x=-6$, donc $x=2$ et $y=1$.

Vérification : $2(2+i)+i(2-i)=4+2i+2i-i^2=5+4i$. L'unique solution est $z=2+i$.

1. $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-4\times(-3)+6=-27+9+12+6=0$. Donc $-3$ est racine de $P$.

2. Pour tout $z$ : $$(z+3)(z^2+\beta z+\gamma)=z^3+(\beta+3)z^2+(\gamma+3\beta)z+3\gamma.$$ Par identification avec $z^3+z^2-4z+6$ : $\beta+3=1$ et $3\gamma=6$, donc $\beta=-2$ et $\gamma=2$. On vérifie le coefficient de $z$ : $\gamma+3\beta=2-6=-4$. Ainsi $P(z)=(z+3)(z^2-2z+2)$.

3. Par la propriété du produit nul, $P(z)=0\iff z=-3$ ou $z^2-2z+2=0$. Ce trinôme a des coefficients réels et $\Delta=4-8=-4<0$ ; ses solutions sont $\dfrac{2-2i}{2}=1-i$ et $\dfrac{2+2i}{2}=1+i$. L'ensemble des solutions est $\{-3\,;\,1+i\,;\,1-i\}$.

4. $AB=|1+i-(-3)|=|4+i|=\sqrt{17}$ et $AC=|1-i+3|=|4-i|=\sqrt{17}$. Donc $AB=AC$ : le triangle est isocèle en $A$.

Les points $B(1;1)$ et $C(1;-1)$ sont sur la droite d'équation $x=1$, donc $BC=2$. Le milieu $H$ de $[BC]$ a pour affixe $1$ ; comme le triangle est isocèle en $A$, $(AH)$ est la hauteur issue de $A$, et $AH=|1-(-3)|=4$. L'aire vaut $$\frac{BC\times AH}{2}=\frac{2\times4}{2}=4.$$

1. $|z-1+2i|=|z-(1-2i)|$. Avec $\Omega(1-2i)$, la condition s'écrit $\Omega M=3$. L'ensemble est le cercle de centre $\Omega(1;-2)$ et de rayon $3$.

2. Avec $A(3)$ et $B(-i)$, la condition s'écrit $MA=MB$ : l'ensemble est la médiatrice de $[AB]$. En posant $z=x+iy$ et en élevant au carré (les deux membres sont positifs) : $$(x-3)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\iff -6x+9=2y+1\iff 3x+y-4=0.$$ Contrôle : le milieu de $[AB]$, de coordonnées $\left(\dfrac32;-\dfrac12\right)$, vérifie $\dfrac92-\dfrac12-4=0$.

3. On pose $z=x+iy$. Les deux membres étant positifs, la condition équivaut à $|z-2|^2=4|z+1|^2$ : $$\begin{aligned}(x-2)^2+y^2=4\left[(x+1)^2+y^2\right]&\iff x^2-4x+4+y^2=4x^2+8x+4+4y^2\\&\iff 3x^2+12x+3y^2=0\\&\iff x^2+4x+y^2=0\\&\iff (x+2)^2+y^2=4.\end{aligned}$$ L'ensemble est le cercle de centre le point de coordonnées $(-2;0)$ et de rayon $2$. Contrôle : $O$ convient, car $|0-2|=2=2|0+1|$.

4. $\overline{z}+2i=\overline{z-2i}$ et un nombre a le même module que son conjugué. La condition équivaut donc à $|z-2i|=1$ : l'ensemble est le cercle de centre le point d'affixe $2i$ et de rayon $1$.

1. Par la formule d'Euler puis celle du binôme : $$\cos^4\theta=\frac{\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4}{2^4}=\frac{1}{16}\left(e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}\right),$$ car $e^{ik\theta}e^{-i(4-k)\theta}=e^{i(2k-4)\theta}$. On regroupe et on applique Euler dans l'autre sens : $$\cos^4\theta=\frac{1}{16}\left(2\cos(4\theta)+8\cos(2\theta)+6\right)=\frac18\cos(4\theta)+\frac12\cos(2\theta)+\frac38.$$ Contrôle avec $\theta=0$ : $\dfrac18+\dfrac12+\dfrac38=1=\cos^40$.

2. Une primitive est $$F(\theta)=\frac{1}{32}\sin(4\theta)+\frac14\sin(2\theta)+\frac38\theta.$$

3. $I=F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-F(0)=\dfrac{1}{32}\sin(2\pi)+\dfrac14\sin\pi+\dfrac{3\pi}{16}-0=\dfrac{3\pi}{16}$.

1. On écrit $1=e^{i\theta/2}e^{-i\theta/2}$ : $$1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\right)=e^{i\theta/2}\times\left(-2i\sin\frac{\theta}{2}\right),$$ car $e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin\alpha$ d'après Euler. Comme $\theta\in\,]0;2\pi[$, on a $\dfrac{\theta}{2}\in\,]0;\pi[$, donc $\sin\dfrac{\theta}{2}>0$. Avec $-i=e^{-i\pi/2}$ : $$1-e^{i\theta}=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta-\pi}{2}},$$ qui est une forme exponentielle. Donc $\left|1-e^{i\theta}\right|=2\sin\dfrac{\theta}{2}$ et $\arg\left(1-e^{i\theta}\right)=\dfrac{\theta-\pi}{2}\;[2\pi]$.

2. Par la formule de Moivre, $e^{ik\theta}=\left(e^{i\theta}\right)^k$ : $S$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\theta}$. Comme $\theta\in\,]0;2\pi[$, $e^{i\theta}\neq1$, donc $$S=\frac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}}.$$ Le calcul de la question 1 (qui n'utilise que la formule d'Euler) appliqué à $n\theta$ donne $1-e^{in\theta}=-2i\sin\left(\dfrac{n\theta}{2}\right)e^{in\theta/2}$. Comme $\sin\dfrac{\theta}{2}\neq0$ : $$S=\frac{-2i\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)e^{in\theta/2}}{-2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}}=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,e^{i\frac{(n-1)\theta}{2}}.$$

3. $C=\mathrm{Re}(S)$, car $\mathrm{Re}\left(e^{ik\theta}\right)=\cos(k\theta)$ et la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles. Le facteur $\dfrac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ étant réel : $$C=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{(n-1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$

4. Pour $n=3$, $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ : directement, $C=\cos0+\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\dfrac{2\pi}{3}=1+\dfrac12-\dfrac12=1$. Par la formule : $\dfrac{\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1\times\frac12}{\frac12}=1$. Les deux résultats concordent.

Pour $n\geq2$, $\theta=\dfrac{2\pi}{n}$ appartient à $]0;2\pi[$ et $\dfrac{n\theta}{2}=\pi$, donc $\sin\dfrac{n\theta}{2}=0$ et la somme est nulle. On retrouve que la somme des éléments de $\mathbb{U}_n$ est nulle, dont c'est la partie réelle.

1. $\omega^5=e^{2i\pi}=1$ et $\omega\neq1$ car $0<\dfrac{2\pi}{5}<2\pi$. La somme est géométrique de raison $\omega\neq1$ : $$1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\frac{1-\omega^5}{1-\omega}=0.$$

2. $|\omega|=1$, donc $\dfrac1\omega=\overline{\omega}$. Comme $\omega^5=1$ : $\omega^4=\dfrac{\omega^5}{\omega}=\dfrac1\omega=\overline{\omega}$. De même $\omega^3=\dfrac{1}{\omega^2}=\overline{\omega}^{\,2}=\overline{\omega^2}$, car $|\omega^2|=1$.

Ainsi $a=\omega+\overline{\omega}=2\,\mathrm{Re}(\omega)=2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ et $b=\omega^2+\overline{\omega^2}=2\,\mathrm{Re}\left(e^{4i\pi/5}\right)=2\cos\dfrac{4\pi}{5}$.

3. D'après la question 1 : $a+b=\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=-1$. $$ab=(\omega+\omega^4)(\omega^2+\omega^3)=\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7=\omega^3+\omega^4+\omega+\omega^2=-1,$$ car $\omega^6=\omega^5\omega=\omega$ et $\omega^7=\omega^2$.

4. Pour tout $X$, $(X-a)(X-b)=X^2-(a+b)X+ab=X^2+X-1$. Donc $a$ et $b$ sont les solutions de $X^2+X-1=0$. Son discriminant vaut $1+4=5$, ses solutions sont $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.

Comme $0<\dfrac{2\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$, $a=2\cos\dfrac{2\pi}{5}>0$ ; or $\dfrac{-1-\sqrt5}{2}<0$. Donc $a=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$, $b=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $$\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}.$$

5. On a aussi $\cos\dfrac{4\pi}{5}=\dfrac{b}{2}=-\dfrac{1+\sqrt5}{4}$. Or $\cos\dfrac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{5}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{5}$. Donc $$\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$

Partie A

1. $P(2)=8-16+16-8=0$.

2. Pour tout $z$ : $(z-2)(z^2+\beta z+\gamma)=z^3+(\beta-2)z^2+(\gamma-2\beta)z-2\gamma$. Par identification : $\beta-2=-4$ et $-2\gamma=-8$, donc $\beta=-2$ et $\gamma=4$. Vérification du coefficient de $z$ : $\gamma-2\beta=4+4=8$. Ainsi $P(z)=(z-2)(z^2-2z+4)$.

3. Par produit nul, $P(z)=0\iff z=2$ ou $z^2-2z+4=0$. Ce trinôme à coefficients réels a pour discriminant $\Delta=4-16=-12<0$, et $\sqrt{-\Delta}=2\sqrt3$. Ses solutions sont $\dfrac{2\pm2i\sqrt3}{2}=1\pm i\sqrt3$. L'ensemble des solutions est $\{2\,;\,1+i\sqrt3\,;\,1-i\sqrt3\}$.

Partie B

1. $|b|=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=\dfrac12$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$, donc $b=2e^{i\pi/3}$. Comme $c=\overline{b}$, $c=2e^{-i\pi/3}$.

2. $OA=|a|=2$, $OB=|b|=2$, $OC=|c|=2$. Les trois points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.

3. $OA=OB=2$ et $AB=|b-a|=\left|-1+i\sqrt3\right|=\sqrt{1+3}=2$. Les trois côtés ont la même longueur : $OAB$ est équilatéral.

4. Le milieu de $[OA]$ a pour affixe $\dfrac{0+2}{2}=1$ et celui de $[BC]$ a pour affixe $\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{2}{2}=1$. Les diagonales de $OBAC$ ont le même milieu : c'est un parallélogramme. De plus $OB=OC=2$ : deux côtés consécutifs sont égaux, donc $OBAC$ est un losange.

Partie C

1. $b^n=2^ne^{in\pi/3}=2^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{3}+i\sin\dfrac{n\pi}{3}\right)$ avec $2^n>0$. Donc $b^n$ est réel si et seulement si $\sin\dfrac{n\pi}{3}=0$, c'est-à-dire s'il existe un entier $k$ tel que $\dfrac{n\pi}{3}=k\pi$, soit $n=3k$. Les entiers cherchés sont les multiples de $3$.

2. $2027=6\times337+5$, donc $\dfrac{2027\pi}{3}=337\times2\pi+\dfrac{5\pi}{3}$ et $$b^{2027}=2^{2027}e^{5i\pi/3}=2^{2027}\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)=2^{2026}-i\,2^{2026}\sqrt3.$$