Fiche résumé : Nombres complexes (Terminale)

Ce chapitre construit l'ensemble $\mathbb{C}$, dans lequel toute équation du second degré à coefficients réels admet des solutions, et donne trois écritures d'un même nombre : algébrique, trigonométrique et exponentielle. Ces outils servent à calculer des puissances, à transformer des expressions trigonométriques et à traduire des problèmes de géométrie plane en calculs.

Forme algébrique : $z=a+ib$, $a=\mathrm{Re}(z)$, $b=\mathrm{Im}(z)$ réels, $i^2=-1$. Égalité : mêmes parties réelles et imaginaires.
Conjugué : $\overline{z}=a-ib$ ; $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$, $\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$, $\overline{1/z}=1/\overline{z}$, $\overline{z^n}=\overline{z}^{\,n}$. $z$ réel $\iff\overline{z}=z$ ; $z$ imaginaire pur $\iff\overline{z}=-z$.
Quotient : multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur ; $\dfrac{1}{a+ib}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$.
Binôme : $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ dans $\mathbb{C}$.
Second degré à coefficients réels, $\Delta<0$ : $z_{1,2}=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, conjuguées ; $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.
Polynômes : $z^n-a^n=(z-a)\sum_{k=0}^{n-1}z^ka^{n-1-k}$ ; si $P(a)=0$ alors $P(z)=(z-a)Q(z)$ ; degré $n$ : au plus $n$ racines.
Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=OM$ ; $z\overline{z}=|z|^2$ ; $|zz'|=|z||z'|$, $|z/z'|=|z|/|z'|$, $|z^n|=|z|^n$ ; $|z+z'|\leq|z|+|z'|$ ; $AB=|b-a|$.
$\mathbb{U}$ : nombres de module 1, stable par produit et inverse ; si $z\in\mathbb{U}$, $1/z=\overline{z}$.
Argument ($z\neq0$) : mesure de $(\vec u,\overrightarrow{OM})$, défini modulo $2\pi$ ; $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$, $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
Formes : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ avec $r>0$ ; $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
Règles : $e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}$ ; $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$, $\arg(z/z')=\arg z-\arg z'$, $\arg(z^n)=n\arg z$, $\arg\overline z=-\arg z\;[2\pi]$.
À connaître : $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$, $e^{i\pi}=-1$, $e^{i\pi/2}=i$, $j=e^{2i\pi/3}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$.
Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.
Euler : $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ (linéarisation).
Addition : $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ ; $\cos 2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$, $\sin2a=2\sin a\cos a$.
Angle moitié : $e^{ia}+e^{ib}=2\cos\frac{a-b}{2}\,e^{i\frac{a+b}{2}}$, $e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\frac{a-b}{2}\,e^{i\frac{a+b}{2}}$ (vérifier le signe).
$\mathbb{U}_n$ : $z^n=1\iff z=e^{2ik\pi/n}$, $k\in\{0,\dots,n-1\}$ ; $n$ solutions, sommets d'un polygone régulier ; somme nulle pour $n\geq2$.
$z^n=\rho e^{i\alpha}$ : $z_k=\rho^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}$, $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
Géométrie : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg\dfrac{c-a}{b-a}$, $\dfrac{AC}{AB}=\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|$ ; quotient réel : alignés ; imaginaire pur : perpendiculaires ; $\pm i$ : rectangle isocèle ; $e^{\pm i\pi/3}$ : équilatéral.
Ensembles : $|z-a|=r$ cercle ; $|z-a|=|z-b|$ médiatrice ; sinon poser $z=x+iy$.